2021年基本不等式知识点.doc

基本不等式知识点
1、不等式基本性质
①（对称性）
②（传递性）
③（可加性）
（同向可加性）
（异向可减性）
④（可积性）

⑤（同向正数可乘性）
（异向正数可除性）
⑥（平办法则）
⑦（开办法则）
⑧（倒数法则）
2、几种重要不等式
①,（当且仅当时取号）. 变形公式：
②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式：
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.
④
（当且仅当时取到等号）.
⑤
（当且仅当时取到等号）.
⑥（当仅当a=b时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
⑦，（其中
规律：不大于1同加则变大，不不大于1同加则变小.
⑧

⑨绝对值三角不等式

3、几种知名不等式
①平均不等式：，，当且仅当时取号）.
（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.
变形公式：

②幂平均不等式：

③二维形式三角不等式：

④二维形式柯西不等式：
当且仅当时，等号成立.
⑤三维形式柯西不等式：

⑥普通形式柯西不等式：

⑦向量形式柯西不等式：
设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设为两组实数.是任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上函数,对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明几种惯用办法
惯用办法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其他办法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常用不等式放缩办法：
①舍去或加上某些项，如
②将分子或分母放大（缩小），
如
等.
5、一元二次不等式解法
求一元二次不等式
解集环节：
一化：化二次项前系数为正数.
二判：判断相应方程根.
三求：求相应方程根.
四画：画出相应函数图象.
五解集：依照图象写出不等式解集.
规律：当二次项系数为正时，不大于取中间，不不大于取两边.
6、高次不等式解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号方向，写出不等式解集.
7、分式不等式解法：先移项通分原则化，则
（时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式解法：转化为有理不等式求解
⑴

⑵
⑶
⑷
⑸
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”一边分析求解.
9、指数不等式解法：
⑴当时,
⑵当时，
规律：依照指数函数性质转化.
10、对数不等式解法
⑴当时，
⑵当时，
规律：依照对数函数性质转化.
11、含绝对值不等式解法：
⑴定义法：
⑵平办法：
⑶同解变形法，其同解定理有：
①
②
③
④
规律：核心是去掉绝对值符号.
12、具有两个（或两个以上）绝对值不等式解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段并集.
13、含参数不等式解法
解形如且含参数不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论原则有：
⑴讨论与0大小；
⑵讨论与0大小；
⑶讨论两根大小.
14、恒成立问题
⑴不等式解集是全体实数（或恒成立）条件是：
①当时
②当时
⑵不等式解集是全体实数（或恒成立）条件是：
①当时
②当时
⑶恒成立
恒成立
⑷恒成立
恒成立
15、线性规划问题
常用目的函数类型：
①“截距”型：
②“斜率”型：或
③“距离”型：或
或
在求该“三型”目的函数最值时，可结合线性规划与代数式几何意义求解，从而使问题简朴化.