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古典概型与几何概型
概率(古典概型与几何概型)
【教学目标】
1.了解随机事件的含义，了解频率与概率的区别．
2.理解古典概型，掌握其概率计算公式，会求一些随机事件发生的概率．
3.了解几何概型的意义及其概率的计算方法，会计算简单几何概型的概率．
【教学重点】
对概率含义的正确理解及其在实际中的应用；古典概型与几何概型
【教学难点】
无限过渡到有限，实际背景转化为长度、面积、体积等的问题
【知识点梳理】

1.随机事件
（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件。
（2）不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
2.频率与概率的关系
概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
3.概率的基本性质
（1）随机事件A的概率：.
（2）必然事件的概率为1.
（3）不可能事件的概率为0.
（4）如果事件A与事件B互斥，则.
（5）如果事件A与事件B互为对立事件，那么，即.
4.古典概型
（1）特点：有限性，等可能性.
（2）概率公式：.
5.几何概型
（1）特点：无限性，等可能性.
（2）概率公式：.
古典概型
题型一 随机事件及概率
例1　某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两个同时在地铁第1号车站(首车站)乘车。假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的。约定用有序数对表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”。uBbKyLB。
（1）用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
（2）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
（3）求甲、乙两人同在第4号车站下车的概率．
变式1 同时掷两颗骰子一次
（1）“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？
（2）“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？
（3）“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？
题型二 互斥事件与对立事件
例题1：每一万张有奖明信片中，有一等奖5张，二等奖10张，三等奖100张。某人买了1张，设事件A“这张明信片获一等奖”，事件B“这张明信片获二等奖”，事件C“这张明信片获三等奖”，事件D“这张明信片未获奖”，事件E“这张明信片获奖”，则在这些事件中vXhRZnJ。
⑴． 与事件D互斥的有哪些事件？
⑵． 与事件D对立的有哪些事件？
⑶． 与事件A+B对立的有哪些事件？
⑷． 与事件互斥的有哪些事件？
例题2：某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位。设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：p54GNKP。
⑴．
⑵．1张奖券的中奖概率；
⑶．1张奖券不中特等奖或一等奖的概率。
变式2：对立事件求概率
某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
求：①派出医生至多是2人的概率；②派出医生至少是2人的概率．
变式：（2010湖北，理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ）3lCenZh。
A. B. C. D.
题型三 简单事件的古典概型
例题3：无放回抽取、掷骰子、有放回抽取、排队问题的古典概型
袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率．①A：取出的两球都是白球；②B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．fEZoFlB。
变式3 同时抛掷两枚骰子．
(1)求“点数之和为6”的概率；
(2)求“至少有一个5点或6点”的概率．
题型四 与统计相结合的古典概型
例题4 (2010·福建卷)设平面向量，，其中．
（1）请列出有序数组的所有可能结果；
（2）记“使得成立的”为事件A，求事件A发生的概率．
2．(本题满分12分)(08·广东文)某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
3．(本题满分12分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：YXDCfAA。

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
几何概型
题型一 与长度有关的几何概型概率问题
例题1：在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率（ ）
A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75
变式1：（2010湖南卷理）在区间[-1,2]上随机取一个数，则的概率为 .
题型二 与面积有关的几何概型概率问题
例题2：如果所示，在一个边长为的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为与，高为。向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为 F13jJBS。
变式2：(2011·福建卷)如图1－1，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )EKkIWwL。

图1－1
A. B. C. D.KIzz2B5。
题型三 会面问题中的概率
例3：两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.1urjpcH。
分析：两人不论谁先到都要等40分钟，即2/3小时,设两人到的时间分别为x、y,则当且仅当|x-y|≤2/3时，两人才能见面，因而此问题转化为面积性几何概型itCFIqB。
，
变式3：在区间内任取两个实数，则这两个实数之和小于的概率是 ．
题型四 与体积有关的几何概型概率问题
例题4：在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。Ytw9TWY。
变式4：（2011山东临沂一中期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得的概率是（ ）nLJd1Lz。
A. B. C. D.
【方法与技巧总结】
1. 互斥事件与对立事件的关系：
（1）对立一定互斥，互斥未必对立；
（2）可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)来求，也可通过对立事件公式来求P(A).9R2gC2R。
2.古典概型与几何概型
古典概型
（1）特点：有限性，等可能性.
（2）概率公式：.
几何概型
（1）特点：无限性，等可能性.
（2）概率公式：
课堂练习
一、选择题
1．从12个同类产品中(其中有10个正品，2个次品)，任意抽取3个，下列事件是必然事件的是(　　)
A．3个都是正品　　　　　
B．至少有一个是次品
C．3个都是次品
D．至少有一个是正品
2．给出关于满足AB的非空集合A、B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．
其中正确的是命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)ifNTcZr。
A. B. C. D.7jVpnAg。
4．(2011·威海模拟)一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是(　　)0PUcUEa。
A. B. C. D.hIRkhiD。
5．(2010·江苏卷，理)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．OqGgG5Q。
6.同时掷两枚骰子,所得点数之和为5的概率为 ；
点数之和大于9的概率为 。
7. 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率。PooL6zj。
9（2010湖南文数）在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。Uhcfnxl。
10取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是(　　)．
A. B. C. D.　　　QLvEbzf。
11（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为QVm3sM2。
（A） （B） （C） （D）
12（2009·荣成模拟）设-1≤≤1,-1≤≤1,求关于的方程有实根的概率.
【课后作业】
1、在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5，的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)0g9Ie6r。
A. B. C. D.0RmlRff。
2、将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为(　　)
A. B. C. D.rrWy3AX。
3、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m＝(a，b)，n＝(1,2)，则向量m与向量n不共线的概率是(　　)4J9SudM。
A. B. C. D.qw4FgeY。
4、有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面所有数字之和能被5整除的概率为(　　)tEbFYkr。
A. B. C. D.kBmWHp3。
5、若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．h7SZNkK。
6、(09·江苏)现有5根竹秆，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．kPernq4。
7、我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．GhGeHvH。
8（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。wr9VT4z。
9在长为10cm的线段AB上取一点G，并以AG为半径作一个圆，求圆的面积介于36cm2 到64cm2 的概率TDj3jKK。
10(2011·西安模拟)如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(　　)．B8tE7ut。

A. B. C. D．无法计算abm1xuD。
11送报人每天早上6：30至7：30之间把刘师傅订的报纸送到刘师傅家，若刘师傅离开家去上班的时间在7：00至8：00之间，问：刘师傅在离家前收到报纸的概率是多少？zBqc6Vp。
【参考答案】
1、巩固练习答案
1.答案　D
解析　在基本事件空间中，每一个事件中正品的个数可能是1,2,3，而不可能没有．
2.答案　C
3.答案　C
解析　从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P＝.
4、答案　B
解析　据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为＝.41EGhHn。
5.答案　
解析　设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为.fP9B1Ct。
6答案：；
7．答案：把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1、2，把两黑球也编上序号1、2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来如下：rNE49U5。
白2
白1
黑1
黑2
黑1
黑2
黑2
黑2
黑1
黑1
白1
白1
白1
白1
黑1
黑2
甲
乙
丙
丁
白1
白2
黑1
黑2
黑1
黑2
黑2
黑2
黑1
黑1
白2
白2
白2
白2
黑1
黑2
甲
乙
丙
丁
TbuxBVD。
黑1
白1
白2
黑2
白2
黑2
黑2
黑2
白2
白1
白1
白2
白2
白1
白1
黑2
甲
乙
丙
丁
黑2
白1
白2
白2
黑1
黑1
黑1
白2
黑1
白1
白1
白2
白2
白1
白1
黑1
甲
乙
丙
丁
Bc5rJbU。
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件A，则。fUS4Ejp。
8【答案】
9【解析】把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为
P＝＝.
【答案】 C
10【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为
因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为
【答案】B
11【解析】由题意知方程有实根满足条件：
-1≤≤1，-1≤≤1， ≥0，作平面区域如图.
由图知阴影面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积4，故概率为 .
2、课后作业答案
1、答案　A
解析　从分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球中随机取出2个小球的基本事件数分别为：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9共10种不同情形；而其和为3或6的共3种情形，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是.uX1Chbf。
2、答案　A
解析　若方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，当有序实数对(b，c)的取值为(6,6)，(6,5)，…，(6,1)，(5,6)，(5,5)，…，(5,1)，(4,4)，…，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)时方程有实根，共19种情况，而(b，c)等可能的取值共有36种情况，所以，方程有实根的概率为P＝.fzL70s7。
3、答案　B
解析　若m与n共线，则2a－b＝0，而(a，b)的可能性情况为6×6＝36个．符合2a＝b的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是＝，从而不共线的概率是1－＝.et4uRQy。
4、答案　B
解析　“斜向上的所有数字之和能被5整除”，等价于：两个底面数字之和能被5整除，而两底数所有的情况有4×4＝16(种)，而两底数和为5，包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4种情况，∴P＝＝.f6pONZw。
5、答案　
解析　本题基本事件共6×6个，点数和为4的有3个事件为(1,3)、(2,2)、(3,1)，故P＝＝.VQWTY8F。
6、答案　0.2
解析　从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有C＝10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的种数为2，∴P＝＝0.2.A0lVC5t。
7、解法一　设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A＋B，显然A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.2LLpkC7。
解法二　设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M，则为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P(M)＝1－P()＝1－0.21＝0.79.AlbovJp。
8【解析】如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m 69oOIia。
【答案】
9【解析】圆的面积介于36cm2 到64cm2，则圆的半径介于6cm 到8cm之间，所以
【答案】
10【解析】由几何概型知，＝，故S阴＝×22＝. zrkBtBP。
【答案】 B
11【解析】设“刘师傅在离家前收到报纸”为事件A，在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到的时间和刘师傅离家的时间，则刘师傅能收到报纸的充要条件是x≤y，而（x,y）的所有可能结果是边长为1的正方形，刘师傅在离家前收到报纸的可能结果为图中的阴影部分.lcMKH3J。

【答案】