离心率及范围专题.doc

求解离心率范围六法
在圆锥曲线得诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。离心率就是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”得一个重要数据，在每年得高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。因此求离心率得取值范围，综合性强，就是解析几何复习得一个难点。六种求解这类问题得通法。
一、利用椭圆上一点P(x,y)坐标得取值范围，构造关于a,b,c得不等式
例1 若椭圆上存在一点P，使，其中0为原点，A为椭圆得右顶点，求椭圆离心率e得取值范围。
解：设为椭圆上一点，则
、 ①
因为，所以以OA为直径得圆经过点P，所以
、 ②
联立①、②消去并整理得

当时，P与A重合，不合题意，舍去。
所以
又，所以，
即
得，即
又，故得取值范围就是
二、利用圆锥曲线得焦点与曲线上一点构成得“焦三角形”三边大小关系，构造关于a,b,c不等式
例2 已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，左准线为就是双曲线左支上一点，并且，由双曲线第二定义得，
所以、 ①
由又曲线第一定义得
②
由①-②得

在中，

所以 ，
即、
又，从而解得得取值范围就是。
三、利用圆锥曲线得“焦三角形”+余弦定理+均值不等式
例3 设椭圆得两焦点为F1、F2，问当离心率E在什么范围内取值时，椭圆上存在点P，使=120°、
解：设椭圆得焦距为2c，由椭圆得定义知
、
在中，由余弦定理得

=
=（
所以
所以、
又，故得取值范围就是
四、利用圆锥曲线得定义，结合完全平方数（式）非负得属性构造关于a,b,c得不等式
例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以轴为准线，且左顶点在抛物线上，求椭圆离心率e得取值范围。
解：设椭圆得中心为，并延长交轴于N，则
=
因为，所以。
所以。
所以椭圆离心率得取值范围为。
五、将题中已知不等关系巧妙转化为关于a,b,c得不等式
例5 如图2，已知椭圆得两焦点为F1、F2，斜率为K得直线过右焦点F2，与椭圆交于A、B，与Y轴交于C，B为CF2得中点，若，求椭圆离心率e得取值范围。

解：设F2 (C,0),直线则，代入椭圆方程得、
又所以，
所以，
解得
因为，所以
解得，
所以
六、利用圆锥曲线参数方程设点，结合正余弦函数得有界性，构造关于a,b,c得不等式
例6 若椭圆上存在一点P，使，其中O为原点，A为椭圆得右顶点，求椭圆离心率e得取值范围。
解：设P（），由，
得，
即（ ①
解得
当
因此要使①有解，需，
即、
又，故e得取值范围就是
总之，求圆锥曲线得离心率范围首先从定义出发，利用圆锥曲线上点坐标得范围与焦三角形得三边大小 关系，结合参数方程中三角函数有界性与均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在划归转化。