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<p>2024年9月7日
配合《固体物理学》使用
固体物理学·习题指导
第1章 晶体结构 1
第2章 晶体的结合 12
第3章 晶格振动和晶体的热学性质 20
第4章 晶体缺陷 32
第5章 金属电子论 35
第1章 晶体结构
1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于 多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=a
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=a
那么，==
1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？
答：晶面族（123）截a1,a2,a3分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于a1的长度，OB的长度等于a2长度的1/2，OC的长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B和C都不是格点。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴，夹角，如下表所示。
序号
晶系
基矢长度与夹角关系
布拉维晶胞类型
所属点群
1
斜方
任意
简单斜方（图中1所示）
1，2
2
正方
简单正方（图中2所示）
4，4mm
3
六角
简单六角（图中3所示）
3，3m，6，6mm
4
长方
简单长方（图中4所示）
有心长方（图中5所示）
1mm，2mm
1 简单斜方
2 简单正方
3 简单六角
4 简单长方
5 有心长方
二维布拉维点阵
1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（100）（010）
答：证明
设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此
……… (1)
由于a3=–（a1+ a2）
把（1）式的关系代入，即得
根据上面的证明，可以转换晶面族为
（001）→（0001），→，→，→，（100）→，（010）→，→
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：（2）体心立方：（3）面心立方：（4）六方密堆积：（5）金刚石：。
答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：
边长为a的立方晶胞中堆积比率为
假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：
θ= =
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为，那么：
θ= =
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为r，那么：
θ= =
（4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此
θ==
（5）对于金刚石结构
Z=8 那么=.
1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积===13.5*10-30(m3)
1.7 六方晶胞的基失为：，，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为 ， ，
其第一布里渊区如图所示：
1.8 若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为，，。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是
这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。
由|n|=1得到
故
1.9 用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
序号
1
2
3
4
5
θ/（°）
19.611
28.136
35.156
41.156
47.769
已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；
（2）上述各晶面族的面间距；
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式
得
同法得
应用立方晶系面间距公式
可得晶格常数
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.
答：参看下图，晶体点阵初基矢量为
用正交关系式
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设
由
得到下面四个方程式
（1）
（2）
（3）
（4）
由（1）式可得：
由（2）式可得：
由（3）式可得：
由（4）式可得：
于是得出倒易点阵基矢
补充习题：
1.11 什么是晶体？什么是非晶体？试各举一例说明。
答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。
1.12 什么是原胞？什么是晶胞？
答：原胞是具有2维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。
1.13 什么是布拉维原胞？什么是WS原胞？
答：布拉维原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
1.14 试计算面心立方和体心立方的堆垛因子
答：设面心立方晶胞的边长为a，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为。由于面心立方体晶胞中有个原子，所以面心立方的堆垛因子
设体心立方晶胞的边长为a，则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为。由于体心立方晶胞中有个原子，所以体心立方的堆垛因子
1.15 绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。
答：面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色-晶胞，蓝色-原胞。
1.16 试绘出二维正方晶格的W－S原胞，设边长为a。
答：
1.17 请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。
答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为。
第n近邻
简立方
体心立方
面心立方
原子数
原子间距
原子数
原子间距
原子数
原子间距
1
6
8
12
2
12
6
6
3
8
12
24
4
6
24
12
5
24
8
24
6
24
6
8
7
12
24
2472
8
30
24
6
9
24
24
12
10
24
24
24
1.18 绘出金刚石结构的两个面心立方子晶格的套构情况。
答：
金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移1/4的长度套构而成。
1.19 绘出立方晶胞里的晶向与晶面：
答：
1.20 绘出六方晶胞里的晶向与晶面：
答：
1.21 按照WS原胞的构造法，如果BCC中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？
如果BCC中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多少？
答：原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——八个面是正六边形, 六个面是正四边形。
1.22 为什么晶体没有5次对称轴，而准晶体有5次对称轴？
答：设在图中，是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。
晶体中某一晶面的晶列
（1） 旋转角，通过A处的u轴顺时针方向转过后，使B1点转到B’，若通过B处u轴逆时针方向转过角后，A1点转到A’。经过转动后，要使晶格能自身重合，则A’、B’点必须是格点，由于A’、B’和AB平行，A’B’必须等于AB的整数倍，即，于是。
（2） 旋转角，同理，有，于是有
综上，旋转角改写为。即晶体中只存在1、2、3、4、6次转轴。
另外一方面因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列，所以晶体没有5次对称轴，而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态物质形态，即准晶体可以有5次对称轴。
1.23 试写出沿x2轴有90°旋转轴的变换矩阵。
答：（1）逆时针旋转
（2）顺时针旋转
1.24 举例宏观对称元素与微观对称元素
宏观：转动 对称中心 反演 对称面 反映
微观：平移和平移轴 螺旋旋转与螺旋轴 滑移反映和滑移面
1.25 对于立方晶系，晶体的介电常数矩阵简化为什么情况？
答：在晶体中，电位移矢量与电场强度间的关系可以写为：
对于立方晶系，当把电场E同晶体一起转动时，电位移矢量也将作相同的转动。用D’表示转动后的电位移矢量。
设电场E沿着立方轴y，这时
，，
但是，转动是以E为轴的，实际上电场并未改变。而上述转动又是立方体的一个对称操作，所以转动前后晶体没有任何差别，电位移矢量D应不变，即
代入，可得：
，
即
如果取E沿z方向，并绕z轴转动，
同理，可得：
的非对角元都等于零，于是
，（）
再取电场沿立方体方向，则
绕轴转动，使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，则转动后的D’写为
与前论述的一样，电场实际是没变的，晶体所经历的又是一个对称操作，晶体也完全未变，所以，D’和D应相同。
第2章 晶体的结合
2.1
解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。
2.2
解：
2.3
解：
根据弹性模量的定义可知
…………………（1）
上式中利用了的关系式。
设系统包含个原子，则系统的内能可以写成
……………（2）
又因为可把个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距的函数，即
………………（3）
上式中为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，）。
又因为
………………（4）
……………（5）
考虑平衡条件，得，那么（5）式可化为
……（6）
将（6）式代入（1）式得：
，所以
2.4
解：在平衡位置时有
…………（1）
…………（2）
将离解能eV和nm,代入（1）和（2）式可得：
eV·m2，eV·m10。
2.5
解：由题意有以下方程成立：
把，的具体数值代入上述方程组，即得：
由此可得：，
该晶体的有效弹性模量为：
又∵
（上式中表示晶体中所含的原子个数 ，表示与晶体结构有关的因子）
故
＝＝=4.734×1010
2.6
解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；
（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；
（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积，故；
（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；
（5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积；故。
2.7
解：
2.8
解：
2.9
解：NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0，晶胞基矢长为2r0
NaC l晶体中Na+和Cl-的最近距离为。晶胞基矢长为 2，一个晶胞中含有四对正负离子对。
一个原胞（一个NaCl分子）的体积为：
=
NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为：
0.2818nm
由晶体体积弹性模 量的公式：
=
=7.82
由平衡时离子晶体的内聚能公式：
，
将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为：
=
2.10
解：（1）在平衡时，有下式成立
……………（1）
由上式可得
（2）设该个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为，那么有
………………（2）
设为2个原子间的最短距离，则有，那么（2）式可化为
………………（3）
其中（3）式中，
。
那么每个原子的平均晶格能为
2.11
解：.若NaCl晶体的马德隆常数Μ=1.75，晶格常数a=5.64，幂指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：
（1） 离子间距增加多少？
（2） 负压强的理论值是多大？
解：（1）设该NaCl晶体的含有个离子，则其相互作用势能为
………………（1）
上式中的指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。
又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为，则有。
由平衡条件可知
……………（2）
由（2）式可得：。
当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有
……（3）
将代入（3）式可得
因而离子间距增加了
2.12 试利用中性计算三维NaCl晶体的马德隆常数。
2.13 试求出GaAs的离子键比例，Ga、As的电负性分别为1.5、2.0。
2.14 Kr晶体是面心立方结构，满足勒纳-琼斯势，如果只计算到第三近邻，试求热平衡时Kr晶体的结合能。
解：
固体物理学答案(朱建国版)
第3章 晶格振动和晶体的热学性质
3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m－1
解：一维单原子链的解为
据周期边界条件 ，此处N=5,代入上式即得
所以 ＝2（为整数）
由于格波波矢取值范围：。 则
故可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：,,0, ,
由于，代入，m及q值
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）
8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
3.2 求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
式中是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N
解：对一维单原子链，
所以 （1）
由色散关系 求得
（2）
而， 则由（1）式可得
由于 ，则总的振动模数为
令，则积分限为0到 ， 故
3.3 设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为
解：由书上（3－69）式可得 （1）
由（3－71）可得
由此可得 ，代入（1）式得
3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求
（1） 光学波的最高频率和最低频率和；
（2） 声学波的最高频率；
（3） 相应的声子能量（以eV为单位）；
（4） 在300K可以激发频率为，和的声子的数目；
（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
解：（1）
（2）
（3）
， ，
（4）光速 ，
3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10， 且最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。
解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
β 10β β 10β
m
x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2
原子的运动方程应是
即
求格波解， 令
，
代入运动方程，可导出线性方程组为：
令，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得
可解出
色散关系见下图
时，，，
时，，，
3.6．在一维双原子链中，如，求证
[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支
， 由近似式，
得
，
对，由于，
3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图象。
[证] 由（3－18）第一式得 ，当 时 且对声学支，代入上式即得：
，故A＝0， 轻原子静止
再由（3－18）第二式得 ，当 时
且对光学支，，代入上式即得
故B＝0， 重原子静止
3.8 设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10％的振动，推证，对于简单晶格，接近熔点时原子的振动频率，其中M是原子质量。
[解] 当质量为M的原子以频率及等于原子间距的10％的振幅振动时，其振动能为： 在熔点时，原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为，于是有，由此得
3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容
证明：由书可知
在高温时，，则在整个积分范围内为小量，因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入的表达式，得
3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解：由（3－69）式知，状态密度
则
3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于
证明：（解法一）
此题可推广到任意维m，由于
而德拜模型中，故
令，则上式变为
在低温时
则积分 为一个于T无关的常数
故 对三维 m＝3
对本题研究的二维 m＝2
对一维 m＝1
（解法二）
德拜模型考虑的格波是弹性波，波速为的格波的色散关系是。在二维波矢空间内，格波的等频线是一个个的圆环，如图所示
在区间内波速为的格波数目
式中S是二维晶格的总面积，由此可得波速为的格波的模式密度
考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度
格波的振动能
晶格的热容量
3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为， b为待定常数， 平衡间距，求线膨胀系数。
解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数
其中：，
由平衡条件
，
由于 ，
3.13 已知三维晶体在附近一支光学波的色散关系为
， 试求格波的频谱密度
解：
则
这是q空间的一个椭球面，其体积为，而
，，
q空间内的状态密度 ，故椭球内的总状态数N为
故
补充习题：
3.14 具有二维矩形点阵的简单晶格，设原子质量为M，晶格常数分别为a和b，最近邻原子间相互作用的恢复力为β，试求此系统沿；；的格波色散关系。
3.15 Cu，金刚石，NaCl晶体应该分别有几支色散关系？
解：Cu有 3支声学波；
金刚石有3支声学波，3支光学波；
NaCl有3支声学波，3支光学波。
3.16 对于简立方晶胞，设原子质量为M；晶格常数为a；最近邻原子间相互作用的恢复力为β。试求此系统沿方向的格波色散关系。
3.17 对于一维单原子点阵，已知简正模式的色散关系为
式中，β为回复力系数，M为原子质量。
（1）导出模式密度的精确表达式ρ(ω)；
（2）在德拜模型下，求出德拜截止频率（最大频率）ωD.
解答:(1)一维简单晶格的色散关系曲线如下图所示:
由色散关系的对称性可以看出,dω区间对应两个同样大小的波矢空间dq.区间对应L/a个振动模式,单位波矢区间对应有L/2π个振动模式.dω范围则包含
个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为.
由色散关系得:
所以,模式密度:
(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的连续介质,把格波看作弹性波.
代入可以求出:
3.18 由正负离子组成的一维原子链，离子间距为a，质量都为m，电荷交替变化。原子间的互作用势是两种作用势之和：（a）近邻两原子之间的短程作用，力常数C；（b）所有离子的库仑作用。
求：（1）库仑力对力常数的贡献
（2）色散关系
解：
3.19 什么是声子？试比较声子与电子的异同点
解：声子不能脱离固体存在，声子只是格波激发的量子，在多体理论中称为集体振荡的准粒子。
3.20 什么是布里渊散射？什么是喇曼散射？
解：光子于与长声学波声子的相互作用一般称之为光子的布里渊散射。光子也可与光学波声子相互作用，这称为光子的喇曼散射。两种散射都不会有倒逆散射。
3.21已知一个格波在某个频率ω下的能量为0.02eV，试求在300K时这个格波的平均声子数是多少？如果能量为0.2eV；2eV，平均声子数又是多少？
解： ，
E=0.02, n=0.858
E=0.2, n=4.4E-4
E=2, n=2.7E-34
3.22 如果晶体做严格的简谐振动，则格林爱森常数等于多少？
解：由3.98式及3.99式可得
简谐近似是指势能函数展开式只取到二阶项，
在简谐振动情况下，势能函数展开式中的三阶及以上系数均为零，
所以在此情况下，。
第4章 晶体缺陷
4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？
答：空位与间隙原子的平衡浓度值是不相同的。
。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。
4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.
4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV，试问当温度为300K时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？
答：设肖特基缺陷数为n，格点数为N。那么由公式
可得
=5.682*10-12
4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV，求该原子在1s内跳跃的次数。P87
答：由公式
可得
=2*1015*0.02=4*1013
4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，W是产生一对缺陷所需要的能量，N是原有的正、负离子对的数目。
（1）试证明：n/N=Bexp（-W/2kBT）；
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V，其中V为原有的体积。
答：
（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。从N个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为
同时，从N个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是
于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数
由此而引起晶体熵的增量为
设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变
（1）
热平衡时，，并应用斯特令公式，从（1）式得
因为实际上N»n，于是得
n/N=Bexp（-W/2kBT）
（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是
式中a为离子最近邻距离。因为为晶体原有的体积，有上式可得
4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：
下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：
T/K
878
1007
1176
1253
1322
D/m2·s-1
1.6*10-20
4.0*10-18
1.1*10-18
4.0*10-17
1.0*10-16
试确定常数Do和扩散激活能EA.
答：由公式 ，可得
当T=878，D=1.6*10-20时，D01=
4.7铜和硅的空位形成能Eu分别是0.3eV和2.8eV。试求T=1000K时，铜和硅的空位浓度。
答：由公式
可得：对于铜
对于硅
4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F带的光吸收就可得F心的形成能EB。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F心的数目增加引起的，试计算F心形成能EB。
答：一价负离子空位俘获一个电子形成F心，所以F心的数目可以看作是一价负离子空位的数目，
由平衡时空位的数目（4.7）式，可得F心的数目
，
其中，
解，得
4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿方向滑移、位错线和平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。
答：如图所示：
4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。
答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。
（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a，则
（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b等于[101]方向上相邻格点间的距离，即
（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是。晶向上原子间距为a，因此，
4.11在FCC晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。
答：刃位错——滑移矢量与位错线垂直 螺位错——滑移矢量与位错线平行
a·b=0
故是刃位错，滑移面
第5章 金属电子论
5.1 已知银是单价金属，费米面近似球面，银的密度rm=10.5´103kg · m-3，原子量A=107.87，电阻率在295K时为1.61´10-3W · m，在20K时为0.0038´10-3W · m（课本数据有误）。试计算：
（1） 费米能级和费米温度；
（2） 费米球半径；
（3） 费米速度；
（4） 费米球的最大截面积；
（5） 室温下和绝对零度附近电子的平均自由程。 P111
解：电子数密度。(p103)
费米波矢
（1） 费米能
费米温度
（2） 费米球的半径
（3） 费米速度
（4） 费米球的最大横截面积
（5） 平均自由时间，平均自由程 p105-106
基本电荷
室温下，
绝对零度附近，
5.2 （1）求出二维情况下电子浓度n 和kF的关系式；
（2） 求出二维情况下rs和kF的关系式；
（3）证明在二维情况下，g(e)=常量，当e>0，或者g(e)=0，当e<0，并求出这个常量的值。
解：（1）由周期性边界条件得到，和（其中和是任意的整数）
于是一个k态在k空间中所占据的面积为：。
费米波矢k是费米面的半径，于是有：，所以。
（2）在自由电子近似下，每个电子占有的体积为
解得
（3）在自由电子近似下，二维晶格的K空间的k~k+dk圆环内的电子状态数为 p110
，
当时，由于，。
即
所以单位面积的二维晶格K空间的状态密度函数g(e)
当时，
5.3 证</p>
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