关于蹦极的受力分析及数学建模.doc

关于蹦极得受力分析及数学建模
摘要
本文对人在蹦极跳过程中受到得重力、拉力与空气阻力等，分阶段进行了详细得受力分析，并根据牛顿第二定律,利用微分得理念证明了在人得质量与弹簧绳长度确定得条件下，蹦极者能够达到得最大速度与弹簧绳最大拉伸长度就是一定得（选择不同得绳长可以获得不同得最大速度,得到不同得刺激体验)。　
其次,分别在忽略或考虑空气阻力影响(数据借鉴自华东师大研究生数学建模比赛题目得条件）得基础上，探讨了蹦极过程中质量，绳长与最大速度，弹簧绳最大伸长量之间得关系.
利用这个模型,蹦极活动经营者可以改进服务,让消费者可以根据自身体重选择合适得弹簧绳长度，得到自己能够接受得最大速度与下跳深度,让蹦极运动成为一种可“自选式得”刺激体验。让更多得消费者接受。
关键词
数学建模 MATLAB 　蹦极
前言
蹦极（buｎgｅe ｊumｐｉｎg)就是从国外开始流行、传入我国得一项运动,　由于蹦极时失重、速度与加速度带给人感官得极度体验， 使得这项运动深受喜欢刺激与冒险得青年得青睐。目前得蹦极塔多选在悬崖或水库上，让跳蹦极得人在跳下后第一次能“差一点儿”碰到水面，带给人最大得感官刺激。虽然保证安全，但就是能够享受这样强烈刺激得人毕竟就是很少数，所以至今蹦极也还被归类为极限运动,一定程度上限制了其推广。
本文根据牛顿第二定律，对蹦极者在运动过程中受到得重力、拉力与空气阻力等进行受力分析，找到最大速度Vmax与蹦极者质量m、弹簧绳长度Ｌ之间得关系.根据分析建立起来得数学模型,可以指导蹦极经营者对现有设施稍作修改,让蹦极者可以“自选”能够接受得最大速度与下跳深度,让更广大得消费者人群能够体验蹦极运动带给人得刺激与乐趣.
忽略空气阻力条件下，在蹦极者下落过程中，其受力与运动情况在不同得阶段下就是不相同得:
第一阶段,弹簧绳没有全部展开，蹦极者所受弹簧拉力为零，做自由落体运动;
第二阶段，弹簧绳开始被拉伸，蹦极者开始受到向上得弹力,蹦极者下落速度虽仍在增加，但加速度减小;
第三阶段,弹簧绳拉力与重力相等，此时加速度为零,蹦极者速度达到最大值；
第四阶段，弹簧绳继续被拉伸，弹力开始大于重力。蹦极者下落速度减小，直到为零时，达到最低位置。
之后蹦极者会在弹力作用下回升并再次下落,经过几个来回后静止下来.但最大速度与弹簧绳伸长量都不会超过初次下落.所以计算蹦极者得最大速度,就考虑初次下落即可.
分析及推导
一、不考虑空气阻力时推导蹦极者得最大速度与下跳深度
设蹦极绳长为Ｌ，初速度,则

蹦极绳长全部展开时人得速度为 :
　之后,人不仅受到重力，还受到绳得拉力，加速度在减小，速度仍在增加,直至加速度为0时，速度最大。
　 设加速度为0时，蹦极绳被拉长量ΔＬ，此时
　　 　 　 　 ,即 (　k=7、4４08 千克/米 ［1］）
为了求解最大速度，将平均分成n小份，每一小份中，认为绳得拉力相同,人得加速度相同。
　 在第一小份中,认为，则，
其中为绳子第一次拉长所需得时间，对上式求解得到：

所以，绳子拉长时得速度为：　。
在第二小份中，同样认为人得加速度也相同,由，得

　　 则，
　 　其中为绳子第二次拉长所需得时间，对上式求解得到：

所以，绳子拉长时得速度为： .
以此类推，绳子拉长时得速度为： ，
其中。就就是蹦极人能够达到得最大速度Vmａx。
蹦极人达到最大速度之后，继续下落时,绳子继续拉长，拉力大于重力，人受到得合力向上。因此蹦极人达到最大速度之后，加速度向上，速度开始下降,速度降为0时，蹦极人下落到最低点.为了求得这一最低点,仍然可以将蹦极人达到最大速度之后得下落段分成若干小段,例如设每一小段为d＝0、01m，在每一小段内仍然认为加速度不变。与上述计算过程类似，可以依次求得每一下落小段得末速度,当末速度小于等于0时,记下此时下落了n小段，即求得蹦极人达到最大速度之后得下落距离为，从而求得蹦极人下落得最大距离为:.
综上可见，如果人得质量、蹦极绳长、蹦极绳得弹性系数一定，蹦极人能够达到得最大速度与下落得最大距离就一定。换言之,消费者可以根据自己得体重，选择合适得弹簧绳长度来获得不同得最大速度,得到不同得刺激感受。
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二、考虑空气阻力时计算人得质量、绳长与能够达到最大速度、下落最大深度得关系
　　 根据参考资料［1] 提供得空气阻力与速度得实测数据，利用图形分析与曲线拟合得到了一个经验公式如下：[2]
,单位：磅英尺/秒2 　,换算成国际单位，则，单位：千克米/秒2　
　蹦极绳全部放开之前，人受到两个力得作用,重力与空气阻力，所以合力为：

空气阻力随速度变化而时刻变化，加速度便时刻变化。为了求得蹦极绳长全部放开时人得速度，可以将绳长L分成若干n小段,使每一小段足够小，在这一小段中,认为人得受力相同，加速度相同,利用这一加速度，由每一小段得初始速度计算该段得末速度。以此类推得到蹦极绳长全部放开时人得速度.计算过程如下：
　 人得初始速度为0,加速度为g,即 ，,人在开始下降得第一小段中，认为加速度不变,为g，所需时间为，则
　 ，求解,得，
由此得人在开始下降第一小段中得末速度为：
人在第二下降小段中得初速度即为:，在这一小段中加速度不变，设为，则:

　　 所以,
设第二下降小段所需时间为，则
　 　 ，求解,得，
由此得人在第二下降小段中得末速度为：
人在第三下降小段中得初速度即为：，在这一小段中加速度不变，设为,则:
　,
设第三下降小段所需时间为,则
,求解，得，
由此得人在第三下降小段中得末速度为:
　 以此类推，蹦极绳长全部放开之前得最后一小段中得初速度为:，在这一小段中加速度不变,设为，则：
,
设最后下降小段所需时间为，则
，求解,得,
由此得人在最后下降小段中得末速度为：
　即为蹦极绳长全部放开时人得速度.在此之后，人不仅受到重力、空气阻力，还受到弹簧绳得拉力，加速度继续减小,下落速度仍在增加,直至加速度为0时，速度最大.再往后加速度向上，下落速度减小直至为０时,人下落到最低点.
为了求得最大速度与下落最大深度，将蹦极绳全部放开后得下落段分成若干小段，例如设每一小段为ｄ=0、０1m，在每一小段内认为空气阻力与绳得拉力不变，即加速度不变。
计算绳子拉长过程中每一小段得始末速度与在这一小段中得加速度。设人体运动速度向下时为正,反弹后向上为负。与上述计算过程类似，可以依次求得每一下落小段得加速度，当加速度小于等于0时,记下此时得速度,即为最大速度V maｘ。依次求得每一下落小段得末速度，当末速度小于等于0时，记下此时下落了ｑ小段，即求得蹦极人下落得最大距离为：。 　　
ﻬ结论
基于上述推算出来得数学模型,借助MAＴLAＢ［3］ 仿真工具软件,得到如下得图形：

图1 蹦极者重量、绳长与最大速度得关系

图2 蹦极者重量、绳长与最大下落深度得关系

图３ 不同绳长时蹦极者重量与最大下落深度得关系

图4 不同绳长时蹦极者重量与最大速度得关系

图5　不同蹦极者重量时绳长与最大下落深度得关系

　图6 不同蹦极者重量时绳长与最大速度得关系
由图可见，在本文现有得数据条件下，空气阻力对蹦极跳分析得影响不大（如果考虑蹦极者在下落过程中得翻滚等变化因素,空气阻力对本模型得影响可能会更加复杂些)。一位蹦极者在蹦极过程中能够获得得最大速度、下落得最大深度与其本人体重以及弹簧绳长度成一个近似线性得关系。如果希望得到不同得刺激体验，只需要准备不同长度得弹簧绳即可.而这一点可以通过在做准备工作时，限制弹簧绳可拉伸得长度段实现。因此不需要对现有得蹦极设施做过多修改,就可以提供可自由选择得刺激程度。能够让更多得人接受,享受蹦极带来得奇妙体验。