初二数学动点问题总结.doc

初二动点问题
1. 如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s得速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s得速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为ts.
(1)当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形？
(2)当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形？
(3)当t为何值时,四边形PQCD为直角梯形？

分析:
(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.
(2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.
(3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.
所有得关系式都可用含有t得方程来表示,即此题只要解三个方程即可.
解答:
解:(1)∵四边形PQCD平行为四边形
∴PD=CQ
∴24-t=3t
解得:t=6
即当t=6时,四边形PQCD平行为四边形.

(2)过D作DE⊥BC于E
则四边形ABED为矩形
∴BE=AD=24cm
∴EC=BC-BE=2cm
∵四边形PQCD为等腰梯形
∴QC-PD=2CE
即3t-(24-t)=4
解得:t=7(s)
即当t=7(s)时,四边形PQCD为等腰梯形.

(3)由题意知:QC-PD=EC时,
四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2
解得:t=6、5(s)
即当t=6、5(s)时,四边形PQCD为直角梯形.
点评:
此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形得判定,难易程度适中.
如图,△ABC中,点O为AC边上得一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA得外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E.
(1)试说明EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF就是矩形并证明您得结论;
(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF就是正方形,猜想△ABC得形状并证明您得结论.

分析:
(1)根据CE平分∠ACB,MN∥BC,找到相等得角,即∠OEC=∠ECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.
(2)利用矩形得判定解答,即有一个内角就是直角得平行四边形就是矩形.
(3)利用已知条件及正方形得性质解答.
解答:
解:(1)∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB,
∴∠OEC=∠OCE,
∴OE=OC,
同理,OC=OF,
∴OE=OF.

(2)当点O运动到AC中点处时,四边形AECF就是矩形.
如图AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE= ∠ACB,
同理,∠ACF= ∠ACG,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= (∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°,
∴四边形AECF就是矩形.

(3)△ABC就是直角三角形
∵四边形AECF就是正方形,
∴AC⊥EN,故∠AOM=90°,
∵MN∥BC,
∴∠BCA=∠AOM,
∴∠BCA=90°,
∴△ABC就是直角三角形.
点评:
本题主要考查利用平行线得性质“等角对等边”证明出结论(1),再利用结论(1)与矩形得判定证明结论(2),再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题得结论,更要注意前一问题为下一问题提供思路,有相似得思考方法.就是矩形得判定与正方形得性质等得综合运用.
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD得射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动.设点Q运动得时间为t秒.
(1)求NC,MC得长(用t得代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形;
(3)就是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC得面积与周长同时平分？若存在,求出此时t得值;若不存在,请说明理由;
(4)探究:t为何值时,△PMC为等腰三角形.

分析:
(1)依据题意易知四边形ABNQ就是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知,DQ就就是t,即解;∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB,∴CM:CA=CN:CB,(2)CB、CN已知,根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM;
四边形PCDQ构成平行四边形就就是PC=DQ,列方程4-t=t即解;
(3)可先根据QN平分△ABC得周长,得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t得值.然后根据得出得t得值,求出△MNC得面积,即可判断出△MNC得面积就是否为△ABC面积得一半,由此可得出就是否存在符合条件得t值.
(4)由于等腰三角形得两腰不确定,因此分三种情况进行讨论:
①当MP=MC时,那么PC=2NC,据此可求出t得值.
②当CM=CP时,可根据CM与CP得表达式以及题设得等量关系来求出t得值.
③当MP=PC时,在直角三角形MNP中,先用t表示出三边得长,然后根据勾股定理即可得出t得值.
综上所述可得出符合条件得t得值.
解答:
解:(1)∵AQ=3-t
∴CN=4-(3-t)=1+t
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中,cos∠NCM= = ,CM= .
(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形
∴PC=QD,即4-t=t
解得t=2.
(3)如果射线QN将△ABC得周长平分,则有:
MN+NC=AM+BN+AB
即: (1+t)+1+t= (3+4+5)
解得:t= (5分)
而MN= NC= (1+t)
∴S△MNC= (1+t)2= (1+t)2
当t= 时,S△MNC=(1+t)2= ≠ ×4×3
∴不存在某一时刻t,使射线QN恰好将△ABC得面积与周长同时平分.

(4)①当MP=MC时(如图1)
则有:NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2(1+t)
解得:t=
②当CM=CP时(如图2)
则有:
(1+t)=4-t
解得:t=
③当PM=PC时(如图3)
则有:
在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2
而MN= NC= (1+t)
PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3
∴[ (1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2
解得:t1= ,t2=-1(舍去)
∴当t= ,t= ,t= 时,△PMC为等腰三角形
点评:
此题繁杂,难度中等,考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论与数形结合得数学思想方法.
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形得边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边得另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.

(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形得边(AD或BC)得一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点得四边形就是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点得四边形能否为等腰梯形？如果能,求x得值;如果不能,请说明理由.
分析:
以PQ,MN为两边,以矩形得边(AD或BC)得一部分为第三边构成一个三角形得必须条件就是点P、N重合且点Q、M不重合,此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合,此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x得值.
以P,Q,M,N为顶点得四边形就是平行四边形得话,因为由第一问可知点Q只能在点M得左侧.当点P在点N得左侧时,AP=MC,BQ=ND;当点P在点N得右侧时,AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.
如果以P,Q,M,N为顶点得四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm,BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,x≠0.这些条件不能同时满足,所以不能成为等腰梯形.
解答:
解:(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ,MN为两边,以矩形得边(AD或BC)得一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时,由x2+2x=20,得x1= -1,x2=- -1(舍去).
因为BQ+CM=x+3x=4( -1)＜20,此时点Q与点M不重合.
所以x= -1符合题意.
②当点Q与点M重合时,由x+3x=20,得x=5.
此时DN=x2=25＞20,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
所以所求x得值为 -1.
(2)由(1)知,点Q只能在点M得左侧,
①当点P在点N得左侧时,
由20-(x+3x)=20-(2x+x2),
解得x1=0(舍去),x2=2.
当x=2时四边形PQMN就是平行四边形.
②当点P在点N得右侧时,
由20-(x+3x)=(2x+x2)-20,
解得x1=-10(舍去),x2=4.
当x=4时四边形NQMP就是平行四边形.
所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点得四边形就是平行四边形.
(3)过点Q,M分别作AD得垂线,垂足分别为点E,F.
由于2x＞x,
所以点E一定在点P得左侧.
若以P,Q,M,N为顶点得四边形就是等腰梯形,
则点F一定在点N得右侧,且PE=NF,
即2x-x=x2-3x.
解得x1=0(舍去),x2=4.
由于当x=4时,以P,Q,M,N为顶点得四边形就是平行四边形,
所以以P,Q,M,N为顶点得四边形不能为等腰梯形.
点评:
本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形得边得特点.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始,沿边AD向点D运动,速度为1cm/s;点N从点C开始,沿边CB向点B运动,速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒.

(1)当t为何值时,四边形MNCD就是平行四边形？
(2)当t为何值时,四边形MNCD就是等腰梯形？
分析:
(1)根据平行四边形得性质,对边相等,求得t值;
(2)根据等腰梯形得性质,下底减去上底等于12,求解即可.
解答:
解:(1)∵MD∥NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时,四边形MNCD就是平行四边形;
(2)作DE⊥BC,垂足为E,则CE=21-15=6,当CN-MD=12时,即2t-(15-t)=12,t=9时,四边形MNCD就是等腰梯形
点评:
考查了等腰梯形与平行四边形得性质,动点问题就是中考得重点内容.
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA得方向以每秒2个单位长得速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长得速度向点B运动,P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)设△BPQ得面积为S,求S与t之间得函数关系;
(2)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点得三角形就是等腰三角形？

分析:
(1)若过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知:s= PM×QB=96-6t;
(2)本题应分三种情况进行讨论,①若PQ=BQ,在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入,可将时间t求出;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,由PB2=BM2+PM2,BP=BQ,将数据代入,可将时间t求出;
③若PB=PQ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ,将数据代入,可将时间t求出.
解答:
解:(1)过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12,
∵QB=16-t,
∴s= •QB•PM= (16-t)×12=96-6t(0≤t≤ ).

(2)由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点得三角形就是等腰三角形,可以分三种情况
:
①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得 ;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-2t)2+122=(16-t)2,此方程无解,∴BP≠PQ.
③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得 ,t2=16(不合题意,舍去).
综上所述,当 或 时,以B、P、Q为顶点得三角形就是等腰三角形.
点评:
本题主要考查梯形得性质及勾股定理.在解题(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.
直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O⇒B⇒A运动.
(1)直接写出A、B两点得坐标;
(2)设点Q得运动时间为t(秒),△OPQ得面积为S,求出S与t之间得函数关系式;
(3)当S= 485时,求出点P得坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点得平行四边形得第四个顶点M得坐标.
分析:
(1)分别令y=0,x=0,即可求出A、B得坐标;
(2))因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A得时间就是8秒,点P得速度就是2,从而可求出,
当P在线段OB上运动(或0≤t≤3)时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动(或3＜t≤8)时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,作PD⊥OA于点D,由相似三角形得性质,得 PD=48-6t5,利用S= 12OQ×PD,即可求出答案;
(3)令S= 485,求出t得值,进而求出OD、PD,即可求出P得坐标,利用平行四边形得对边平行且相等,结合简单得计算即可写出M得坐标.
解答:

解:(1)y=0,x=0,求得A(8,0)B(0,6),
(2)∵OA=8,OB=6,∴AB=10.
∵点Q由O到A得时间就是 81=8(秒),
∴点P得速度就是 6+108=2(单位长度/秒).
当P在线段OB上运动(或O≤t≤3)时,
OQ=t,OP=2t,S=t2.
当P在线段BA上运动(或3＜t≤8)时,
OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t,
如图,做PD⊥OA于点D,
由 PDBO=APAB,得PD= 48-6t5.
∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t.

(3)当S= 485时,∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上
当S= 485时,- 35t2+245t= 485
∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245,AD=16-2×4=8
AD= 82-(245)2= 325
∴OD=8- 325= 85
∴P( 85, 245)
M1( 285, 245),M2(- 125, 245),M3( 125,- 245)
点评:
本题主要考查梯形得性质及勾股定理.在解题(2)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.