工学第二章逻辑代数基础.pptx

第第 二二 章章 逻逻 辑辑 代代 数数 基基 础础目目 录录2.1 2.1 概述概述2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.7 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简本章重点和难点本章重点和难点v 逻辑代数的基本公式、常用公式逻辑代数的基本公式、常用公式v 逻辑代数重要定理逻辑代数重要定理v 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v 化简逻辑函数的方法化简逻辑函数的方法返回返回2.1 2.1 概述概述1 1、基本概念、基本概念逻辑：逻辑：事物的因果关系事物的因果关系逻辑运算：逻辑运算：当当0 0和和1 1表示逻辑状态时，两个二进制数表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算，码按照某种特定的因果关系进行的运算，逻辑运算逻辑运算使用的数学工具是逻辑代数。使用的数学工具是逻辑代数。逻辑代数：逻辑代数：与普通代数不同之处是逻辑代数中的变与普通代数不同之处是逻辑代数中的变量只有量只有0 0和和1 1两个可取值，它们分别用来表示完全两两个可取值，它们分别用来表示完全两个对立的逻辑状态，个对立的逻辑状态，在逻辑代数中，有与、或、非在逻辑代数中，有与、或、非三种基本的逻辑运算。三种基本的逻辑运算。逻辑运算的描述方式逻辑运算的描述方式:逻辑代数表达式、真值表、逻逻辑代数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（辑图、卡诺图、波形图和硬件描述语言（HDL)HDL)等。等。返回返回2.2 2.2 逻辑代数中的三种基本运算代数中的三种基本运算 与（与（ANDAND）或（或（OROR）非（非（NOTNOT）(a)(b)(c)图图(a)(a)中，中，A A、B B同时闭合，指示灯亮；同时闭合，指示灯亮；图图(b)(b)中，中，A A、B B任一个闭合，指示灯亮；任一个闭合，指示灯亮；图图(c)(c)中，中，A A闭合，指示灯灭，闭合，指示灯灭，A A断开，指示灯亮。断开，指示灯亮。返回返回以以A=1A=1表示开关表示开关A A闭合，闭合，A=0A=0表示开关表示开关A A断开；断开；以以Y=1Y=1表示灯亮，表示灯亮，Y=0Y=0表示灯不亮；表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：三种电路的因果关系不同：返回返回逻辑与与(逻辑相乘相乘)特点：特点：条件同条件同时具具备，结果果发生生逻辑表达式：表达式：Y=A AND B =A&B=AB=ABA BA BY Y0 00 00 00 10 10 01 0 00 01 1 11 1逻辑与真值表逻辑与真值表图形符号图形符号返回返回规则：有规则：有0 0为为0 0，全，全1 1为为1 1功能表功能表逻辑或或(逻辑相加相加)特点：特点：条件之一具条件之一具备，结果果发生生逻辑表达式：表达式：Y=A OR B =A+BA BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 0 01 11 1 11 1逻辑或真值表逻辑或真值表图形符号图形符号返回返回规则：有规则：有1 1为为1 1，全，全0 0为为0 0功能表功能表逻辑非非(逻辑求反求反)特点：条件不具特点：条件不具备，结果果发生生 A A Y Y0 0 1 11 10 0逻辑表达式：逻辑表达式：Y=A=NOT A逻辑非真值表逻辑非真值表图形符号图形符号返回返回规则：取反规则：取反功能表功能表逻辑表达式：逻辑表达式：几种常用的复合逻辑运算几种常用的复合逻辑运算1 1、与非、与非逻辑与非真值表逻辑与非真值表图形符号图形符号规则：相同取反，不同取高规则：相同取反，不同取高返回返回2 2、或非、或非逻辑表达式：逻辑表达式：逻辑或非真值表逻辑或非真值表图形符号图形符号规则：相同取反，不同取低规则：相同取反，不同取低返回返回A BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 0 01 11 1 10 03 3、异或、异或逻辑表达式：逻辑表达式：逻辑异或真值表逻辑异或真值表图形符号图形符号规则：相同取低，不同取高规则：相同取低，不同取高返回返回Y=A Y=A B=AB+ABB=AB+ABA BA BY Y0 00 01 10 10 10 01 0 00 01 1 11 14 4、同或、同或逻辑表达式：逻辑表达式：逻辑同或真值表逻辑同或真值表图形符号图形符号规则：相同取高，不同取低规则：相同取高，不同取低返回返回5 5、与或非、与或非逻辑表达式：逻辑表达式：图形符号图形符号返回返回(1)10100011和和00001111相与：相与：例例1 1：求下列逻辑运算结果。：求下列逻辑运算结果。(2)10101100和和00001111相或：相或：0000001110101111(3)10101100的非运算：的非运算：01010011(4)10101100和和00001111异或：异或：10100011(6)10101100和和00001111与非：与非：11110011(5)10101100和和00001111同或：同或：01011100返回返回（1 1）写出）写出10100101与与11110000的加法运的加法运算结果以及逻辑与、逻辑或、逻辑异或和逻算结果以及逻辑与、逻辑或、逻辑异或和逻辑与非的结果。辑与非的结果。思考题思考题1（2 2）写出）写出10101010的逻辑非运算结果。的逻辑非运算结果。返回返回2.3 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式代数的基本公式和常用公式1 1、基本公式、基本公式序号序号公公 式式序号序号公公 式式10 1 1 =0 0;0 0=1 110 0 A=0 0111 1+A=1 121 1 A=A120 0+A=A3A A=A13A+A=A4A A=0 014A+A=1 15A B=B A15A+B=B+A6A(B C)=(A B)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=A B+A C17A+B C=(A+B)(A+C)8(A B)=A+B18(A+B)=AB9(A)=A返回返回其中：其中：v(1)(1)、(2)(2)、(11)(11)、(12)(12)称称 “0101”律律，给出了，给出了变量与常量间的运算规则；变量与常量间的运算规则；v(5)(5)、(15)(15)称称“交换交换”律律，(6)(6)、(16)(16)称称“结合结合”律律，(7)(7)、(17)(17)称称“分配分配”律律，是和普通代数相似的定，是和普通代数相似的定律。律。v(4)(4)、(14)(14)称称“互补互补”律律，(3)(3)、(13)(13)称称“重叠重叠”律律，(8)(8)、(18)(18)称称“反演反演”律律，是特殊定律；，是特殊定律；v(9)(9)称称“还原还原”律律，(10)(10)是对是对0 0和和1 1的求反运算。的求反运算。返回返回例例2 2：请对公式（：请对公式（1717）进行证明）进行证明解解1：右边右边=(A+B)(A+C)=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC=左边左边返回返回公式推演法公式推演法ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000 00 00 00 00 00010010 00 00 01 10 00100100 00 01 10 00 00110111 11 11 11 11 11001000 01 11 11 11 11011010 01 11 11 11 11101100 01 11 11 11 11111111 11 11 11 11 1解解2：真值表法真值表法A+BC(A+B)(A+C)=返回返回序序 号号公公 式式21A+A B=A22A+A B=A+B23A B+A B=A24A(A+B)=A25A B+A C+B C=A B+A CA B A C+B CD=A B+A C26A(AB)=A B;A(AB)=A 2 2、若干常用公式、若干常用公式返回返回例例3 3：证明：证明A+A B=AA+A B=A证明：证明：返回返回说明：在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项说明：在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删去。为因子，则该项是多余的，可以删去。原变量吸收公式原变量吸收公式例例4 4：证明：证明A+AA+AB=A+BB=A+B证明：证明：说明：两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一说明：两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。项的因子，则此因子是多余的，可以消去。反变量吸收公式反变量吸收公式返回返回例例5 5：证明：证明AB+ABAB+AB=A=A证明：证明：说明：两个乘积项相加时，若它们分别包含说明：两个乘积项相加时，若它们分别包含B和和B两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且可两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且可将将B和和B两个因子消去。两个因子消去。互反变量吸收公式互反变量吸收公式返回返回例例6 6：证明：证明A(A+B)=AA(A+B)=A证明：证明：说明：变量说明：变量A和包含和包含A的和相乘时，其结果等于的和相乘时，其结果等于A，即可以将和消掉。，即可以将和消掉。返回返回例例7 7：证明：证明AB+AAB+AC+BC=AB+AC+BC=AB+AC C证明：证明：说明：若两个乘积项中分别包含说明：若两个乘积项中分别包含A和和A两个因子，两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。则第三个乘积项是多余的，可以消去。混合变量吸收公式混合变量吸收公式可以导出：可以导出：AB+AAB+AC+BCD=AB+AC+BCD=AB+AC C返回返回返回返回例例8 8：证明：证明A(AB)A(AB)=AB=AB证明：证明：说明：当说明：当A和一个乘积项的非相乘，且和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项为乘积项的因子时，则的因子时，则A这个因子可以消去。这个因子可以消去。例例9 9：证明：证明A A(AB)(AB)=A=A证明：证明：说明：当说明：当A和一个乘积项的非相乘，且和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项为乘积项的因子时，其结果就等于的因子时，其结果就等于A。返回返回2.4 2.4 逻辑代数的基本定理代数的基本定理2.4.1 2.4.1 代入定理代入定理在任何一个包含在任何一个包含A A的逻辑等式中，若以另外一的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中个逻辑式代入式中A A的位置，则等式依然成立。的位置，则等式依然成立。含义：含义：返回返回例例1010：用代入定理证明式（用代入定理证明式（1717）适用于多变量的情况。）适用于多变量的情况。A+BC =(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)解：解：例例1111：用代入定理证明德用代入定理证明德.摩根定理也适用于多变量的摩根定理也适用于多变量的情况。情况。解：解：二变量的德二变量的德.摩根定理为摩根定理为(A B)=A+B(A+B)=AB将将(B+C)(B+C)代入等式代入等式(2)(2)中中B B的位置的位置(1)(2)将将(BC)(BC)代入等式代入等式(1)(1)中中B B的位置的位置(A+(B+C)=A(B+C)=A B C(A(BC)=A+(BC)=A+B+C返回返回注意：注意：对复杂逻辑式进行运算时，需遵守与普通代数一对复杂逻辑式进行运算时，需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。，最后算加法。2.4.2 2.4.2 反演定理反演定理对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中所有的：，若将其中所有的：则则:得到的结果就是得到的结果就是Y Y。含义：含义：运算规则：运算规则：v遵循遵循“先括号，然后乘，最后加先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序；的运算优先次序；v不属于单个变量的上的反号保留不变。不属于单个变量的上的反号保留不变。返回返回运用：运用：为求取已知逻辑式的反逻辑式提供方便。为求取已知逻辑式的反逻辑式提供方便。例例1212：已知已知Y=A(B+C)+CDY=A(B+C)+CD，用反演定理求，用反演定理求Y Y。解：解：根据反演定理可以写出根据反演定理可以写出已知：已知：返回返回德德.摩根定律则是反演定理的一个特例。摩根定律则是反演定理的一个特例。n n变量逻辑函数反演律：变量逻辑函数反演律：Y=A1+A2+A3+.+AnY=(A1+A2+A3+.+An)=A1 A2 A3.An则：则：例例1313：若若Y=(ABY=(AB+C)+C)+D)+D)+C+C，用反演定理求，用反演定理求Y Y。解：解：已知已知:Y=(AB+C)+D)+C根据反演定理可以写出根据反演定理可以写出:Y=(A+B)C)D)C返回返回2.4.3 2.4.3 对偶定理对偶定理含义：含义：若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。对于任意一个逻辑式对于任意一个逻辑式Y Y，若将其中的：，若将其中的：得到一个新的逻辑式得到一个新的逻辑式YD，称为，称为Y的对偶式，或的对偶式，或者说者说Y与与YD互为对偶式。互为对偶式。如：如：Y=A(B+C)Y=(AB+CD)Y=AB+(C+D)则：则：YD=A+BCYD=(A+B)(C+D)YD=(A+B)(CD)返回返回运用：运用：证明两个逻辑式相等。证明两个逻辑式相等。例例1414：证明恒等式证明恒等式A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)解：解：运用对偶定理来证明运用对偶定理来证明A+BC=A(B+C)=AB+AC(A+B)(A+C)=AB+AC返回返回证明等式的方法：证明等式的方法：v 真值表法真值表法v 基本公式推导法基本公式推导法v 基本定理基本定理(代入定理、反演定理、对偶定理代入定理、反演定理、对偶定理)例例1515：证明证明A A+BC=A+BC=AC C+A+AB B+BC+A+BC+AC CD D解：解：右右=AC+AB+BC+ACD=AC(1+D)+AB+BC=AC+AB+BC=A(C+B)+BC=A(BC)+BC=(A+BC)(BC)+BC)=A+BC德德.摩根定律摩根定律分配律分配律结合律结合律返回返回例例1616：证明证明ABC+ABABC+ABC+ABCC+ABC=AB+AC=AB+AC解：解：左左=ABC+ABC+ABC+ABC=AB(C+C)+ABC+ABC=AB(C+C)+AC(B+B)=AB+AC返回返回注：注：在二在二值逻辑中，中，输入入/输出都只有两种取出都只有两种取值0/10/1。2.5 2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.5.1 2.5.1 逻辑函数逻辑函数若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。定。即：输入即：输入/输出之间是一种函数关系。输出之间是一种函数关系。含义：含义：Y=F(A,B,C,)返回返回如：如：举重裁判电路。举重裁判电路。AC灯灯电源电源B比赛规则规定：比赛规则规定：在一名主裁判和两名副裁判中，必须在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（必须包括主裁判）认定运动员的动作合有两人以上（必须包括主裁判）认定运动员的动作合格，试举才算成功。主裁判掌握着开关格，试举才算成功。主裁判掌握着开关A，两名副裁判，两名副裁判掌握开关掌握开关B和和C。运动员举起杠铃，裁判认为动作合格。运动员举起杠铃，裁判认为动作合格就合上开关，否则不合。就合上开关，否则不合。指示灯指示灯Y是开关是开关A、B、C的二值逻辑函数：的二值逻辑函数：Y=F(A，B，C)返回返回v逻辑真真值表表v逻辑函数式（函数式（逻辑式或函数式）式或函数式）v逻辑图v波形波形图v卡卡诺图v硬件描述硬件描述语言言2.5.2 2.5.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法各种表示方法之间可以相互转换。各种表示方法之间可以相互转换。返回返回输入变量输入变量A B CA B C输出输出Y Y1 1 Y Y2 2 遍历所有可能的输遍历所有可能的输入变量的取值组合入变量的取值组合输出对应的取值输出对应的取值1 1、逻辑真值表、逻辑真值表 将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。列成表格，即可得到真值表。返回返回n n个变量，则为个变量，则为2 2n n个组合。个组合。abcdAB如：楼道开关示意图如：楼道开关示意图开关开关 A灯灯下下下下上上下下上上下下上上上上亮亮灭灭灭灭亮亮开关开关 B开关状态表开关状态表A、B:向上向上1 向下向下-0 L :亮亮-1;灭灭-0确定变量、函数，并赋值确定变量、函数，并赋值开关开关:变量变量 A、B灯灯 :函数函数 L 逻辑真值表逻辑真值表ABL001100010111返回返回例例1717：试列出之前举重裁判电路的逻辑真值表。试列出之前举重裁判电路的逻辑真值表。AC灯灯电源电源B 输入输入A B CA B C输出输出 Y Y0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 11-开关闭合开关闭合0-开关断开开关断开1-灯亮灯亮0-灯灭灯灭返回返回2 2、逻辑函数式、逻辑函数式 将输入将输入/输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/或或/非非的运算的运算式表示就得到逻辑代数式，即逻辑函数式。式表示就得到逻辑代数式，即逻辑函数式。表示方法：表示方法：(1)(1)找出真值表中使找出真值表中使Y=1Y=1的输入变量组合；的输入变量组合；(2)(2)每组输入变量组合对应一个乘积项（每组输入变量组合对应一个乘积项（“与与”运算）运算）其中：其中：1-1-原变量，原变量，0-0-反变量；反变量；(3)(3)将这些乘积项相加（将这些乘积项相加（“或运算或运算”），则得），则得Y Y。返回返回法一：由真值表写逻辑函数式法一：由真值表写逻辑函数式法二：直接根据电路功能的要求和与、或的逻辑定法二：直接根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义得义得Y Y。A B C Y0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1例例18 18：用法一将下图所示真值表转换为逻辑函数式。用法一将下图所示真值表转换为逻辑函数式。返回返回例例1919：写出举重裁判电路的逻辑函数式。写出举重裁判电路的逻辑函数式。法法1：Y=ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=AB(C+C)+ABC+ABC=AB(C+C)+AC(B+B)=AB+AC=A(B+C)解：解：法法2：“B、C至少有一个合上至少有一个合上”，表示为，表示为(B+C)“同时还要求合上同时还要求合上A”，则应写作，则应写作A(B+C)所以，逻辑函数式：所以，逻辑函数式：Y=A(B+C)返回返回3 3、逻辑图、逻辑图 将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数辑关系用图形符号表示出来，就可以画出表示函数关系的逻辑图。关系的逻辑图。返回返回如：如：则：则：4 4、波形图、波形图 将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序排列起来画成时间波形，对应的输出值按时间顺序排列起来画成时间波形，其中其中0表示表示低电平低电平，1表示表示高电平高电平。如：如：返回返回5 5、各种表示方法间的相互转换、各种表示方法间的相互转换(1)(1)真值表与逻辑函数式的相互转换真值表与逻辑函数式的相互转换v找出真值表中使找出真值表中使Y=1Y=1的输入变量组合；的输入变量组合；v每组输入变量组合对应一个乘积项（每组输入变量组合对应一个乘积项（“与与”运算）运算）其中：其中：1-1-原变量，原变量，0-0-反变量；反变量；v将这些乘积项相加（将这些乘积项相加（“或运算或运算”），则得），则得Y Y。真值表真值表 逻辑函数逻辑函数式式逻辑函数式逻辑函数式 真值真值表表v把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出函数值，列表。函数值，列表。返回返回例例2020：已知一个奇偶判别函数的真值表如左下图所示，已知一个奇偶判别函数的真值表如左下图所示，试写出它的逻辑函数式。试写出它的逻辑函数式。AB CY 0 000 0 010 0 100 0 111 1 000 1 011 1 101 1 110解：解：A=0,B=1,C=1使使Y=1A=1,B=0,C=1使使Y=1A=1,B=1,C=0使使Y=1且：且：Y=ABC=1且：且：Y=ABC=1且：且：Y=ABC=1返回返回Y=ABC+ABC+ABC所以：所以：例例2121：已知逻辑函数已知逻辑函数Y=A+BC+ABC，求它对应的，求它对应的真值表。真值表。解：解：将将A、B、C各种取值逐一代入各种取值逐一代入Y式中计算，将式中计算，将计算结果列表。计算结果列表。A B CBCABCY0 0 00000 0 11010 1 00110 1 10001 0 00011 0 11011 1 00011 1 1001返回返回(2)(2)逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式与逻辑图的相互转换逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图逻辑图逻辑图 逻辑函数逻辑函数式式 用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就得到所符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就得到所求逻辑图。求逻辑图。从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，可在输出端得到所求逻辑函数符号的输出逻辑式，可在输出端得到所求逻辑函数式。式。返回返回例例2222：已知逻辑函数为已知逻辑函数为Y=(AB+BY=(AB+BC)C)+A+ABCBC，画出，画出对应的逻辑图。对应的逻辑图。对应的逻辑图为：对应的逻辑图为：&C1A11 1B&11 Y解：解：Y=(AB+BC)+ABCY=(AB+BC)+ABC返回返回例例2323：已知函数的逻辑图如下图所示，试求它的逻已知函数的逻辑图如下图所示，试求它的逻辑函数式。辑函数式。逻辑图为：逻辑图为：解：解：逻辑函数式为：逻辑函数式为：返回返回(3)(3)波形图与真值表的相互转换波形图与真值表的相互转换波形图波形图 真值表真值表真值表真值表 波形图波形图 从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数从波形图上找出每个时间段里输入变量与函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就得到所求真值表。就得到所求真值表。将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量将真值表中所有的输入变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到所取值依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到所求波形图。求波形图。返回返回例例2424：见书见书p34p34。例例2525：已知已知A A、B B、C C三个变量，当它们取值包含奇数三个变量，当它们取值包含奇数个个1 1时，输出变量时，输出变量Y Y为为1 1，否则输出均为，否则输出均为0 0，试求该逻，试求该逻辑函数真值表、逻辑函数式和逻辑图，并由辑函数真值表、逻辑函数式和逻辑图，并由A A、B B、C C波形画出波形画出Y Y波形。波形。解：解：(1)(1)真值表为真值表为A B CY0 0 000 0 110 1 010 1 101 0 011 0 101 1 001 1 11返回返回(2)(2)逻辑函数式为逻辑函数式为Y=ABC+ABC+ABC+ABC=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A(B C)+A(BC)=A(B C)+A(B C)=A B C返回返回(3)(3)逻辑图为逻辑图为返回返回(4)(4)波形图波形图见书见书p34p342.5.3 2.5.3 逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式两种标准形式两种标准形式最小项之和最小项之和最大项之积最大项之积返回返回1 1、最小项、最小项(1)(1)含义：含义：在在n变量逻辑函数中，变量逻辑函数中，m为包含为包含n个因子的个因子的乘乘积积项，而且这项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式个变量均以原变量或反变量的形式在在m中出现一次，称中出现一次，称m为该组变量的最小项。为该组变量的最小项。返回返回两变量两变量A,B的最小项的最小项三变量三变量A,B,C的最小项的最小项例如：例如：4个个8个个对于对于n变量函数，有变量函数，有2n个最小项。个最小项。所以：所以：同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于最小项的值等于1。(详见下表详见下表)三三变量最小量最小项的的编号表号表最小项最小项取值取值对应对应编号编号A B C 十进制数十进制数ABC 0 0 00m0ABC0 0 11m1ABC0 1 02m2ABC0 1 13m3ABC1 0 04m4ABC1 0 15m5ABC1 1 06m6ABC1 1 17m7返回返回同理，同理，4 4个变量的个变量的1616个最小项记作个最小项记作m m0 0m m1515。(2)(2)最小项性质最小项性质v对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为为1；v对于变量的任一组取值，对于变量的任一组取值，全体最小项之和为全体最小项之和为1 1 ；v对于变量的任一组取值，对于变量的任一组取值，任何两个最小项之积为任何两个最小项之积为0 0；v两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。留下公共因子。两个最小项只有一个因子不同，称这两个最两个最小项只有一个因子不同，称这两个最小项具有相邻性。小项具有相邻性。相邻：相邻：如：如：ABC与与ABC具有相邻性具有相邻性所以：所以：返回返回2 2、最大项、最大项(1)(1)含义：含义：在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若M为为n个变量之个变量之和和，而，而且这且这n个变量均以原变量或反变量的形式在个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现中出现一次，称一次，称M为该组变量的最大项。为该组变量的最大项。两变量两变量A,B的最大项的最大项三变量三变量A,B,C的最大项的最大项例如：例如：4个个8个个返回返回对于对于n变量函数，有变量函数，有2n个最大项。个最大项。所以：所以：同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的同时，输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于最大项的值等于0。(详见下表详见下表)三变量最大项编号表三变量最大项编号表最大项最大项取值取值对应对应编号编号A B C十进制数十进制数A+B+C0 0 00M0A+B+C0 0 11M1A+B+C0 1 02M2A+B+C0 1 13M3A+B+C1 0 04M4A+B+C1 0 15M5A+B+C1 1 06M6A+B+C1 1 17M7同理，同理，4 4个变量的个变量的1616个最小项记作个最小项记作m m0 0m m1515。返回返回(2)(2)最大项性质最大项性质v在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为值为0；v全体最大项之积为全体最大项之积为0；v任何两个最大项之和为任何两个最大项之和为1；v只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。量之和。如：如：A+B+C与与A+B+C两个最大项只有一个变量不同两个最大项只有一个变量不同所以：所以：返回返回3 3、逻辑函数的最小项之和形式、逻辑函数的最小项之和形式 将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式将给定的逻辑函数式化为若干乘积项之和的形式（亦称（亦称“积之和积之和”形式），然后利用基本公式形式），然后利用基本公式A+A=1将每个乘积项中缺少的因子补全，这样就可以将将每个乘积项中缺少的因子补全，这样就可以将与或与或的形式化为的形式化为最小项之和最小项之和的标准形式。的标准形式。例如：例如：已知已知Y(A,B,C)=ABC+BC，求其最小项之和的形式。，求其最小项之和的形式。则可化为：则可化为：返回返回例例2626：已知已知Y=ABY=AB+BC+BC+ABC+ABC，求其最小项之和的形式。，求其最小项之和的形式。解：解：Y=AB+BC+ABC=AB(C+C)+BC(A+A)+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=m5+m4+m6+m2+m7返回返回例例2727：已知已知Y=ABY=ABC CD+AD+ACD+ACCD+AC，求其最小项之和的，求其最小项之和的形式。形式。解：解：Y=ABCD+ACD+AC=ABCD+ACD(B+B)+AC(B+B)(D+D)=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=m9+m7+m3+m15+m14+m11+m10返回返回思考题思考题2已知：已知：Y=ABCD+BCD+BC，求其展开为最小项，求其展开为最小项之和的形式。之和的形式。返回返回4 4、逻辑函数的最大项之积形式、逻辑函数的最大项之积形式 将给定的逻辑函数式化为若干多项式的将给定的逻辑函数式化为若干多项式的或与或与形式形式（亦称（亦称“和之积和之积”形式），然后利用基本公式形式），然后利用基本公式AA=0将每个多项式中缺少的变量补全，这样就可以将函数将每个多项式中缺少的变量补全，这样就可以将函数式的式的或与或与的形式化为的形式化为最大项之积最大项之积的标准形式。的标准形式。例如：例如：已知已知Y(A,B,C)=AB+AC，化为最大项之积的形式。，化为最大项之积的形式。则可化为：则可化为：Y=AB+AC=(AB+A)(AB+C)=(A+A)(B+A)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)(B+C)返回返回=(A+B+CC)(A+BB+C)(AA+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0 M1 M4 M6Y=(A+B)(A+C)(B+C)返回返回2.5.4 2.5.4 逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换 任何一个逻辑函数任何一个逻辑函数Y都遵守公式都遵守公式Y+Y=1,又因为又因为全部最小项之和恒等于全部最小项之和恒等于1，所以不包含在，所以不包含在Y中的那些中的那些最小项之和就是最小项之和就是Y。之前的内容中，可以通过运算将给定的之前的内容中，可以通过运算将给定的与或与或形形式或式或或与或与形式逻辑函数式变换为最小项之和或最大形式逻辑函数式变换为最小项之和或最大项之积的形式。项之积的形式。如果在实际运算中，受到器件的限制，只能用如果在实际运算中，受到器件的限制，只能用与或非与或非或其他功能的门电路来实现逻辑函数式，就或其他功能的门电路来实现逻辑函数式，就需要用到逻辑函数形式的需要用到逻辑函数形式的变换变换。变换要点：变换要点：返回返回例：例：见书见书p38。2.6 2.6 逻辑函数的化函数的化简法法化简方法：化简方法：v 公式化简法公式化简法v 适用于编制计算机辅助分析程序的适用于编制计算机辅助分析程序的Q-M法。法。v 卡诺图化简法卡诺图化简法返回返回 根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，可根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，可节省器节省器 件，降低成本，提高工作的可靠性。件，降低成本，提高工作的可靠性。化简意义：化简意义：化简标准化简标准(最简的与或表达式最简的与或表达式)v 乘积项的个数最少乘积项的个数最少(与门的个数少）与门的个数少）;v 每个乘积项中包含的变量数最少每个乘积项中包含的变量数最少（与门的输入端（与门的输入端个数少）。个数少）。化简后使电路简单，可靠性提高。化简后使电路简单，可靠性提高。返回返回2.6.1 2.6.1 公式化简法公式化简法反复应用逻辑代数的基本公式和常用公式，消反复应用逻辑代数的基本公式和常用公式，消去函数式中多余的乘积项和多余的因子。去函数式中多余的乘积项和多余的因子。原理：原理：方法：方法：v合并项法合并项法 AB+AB=Av吸收法吸收法v消项法消项法v配项法配项法v其他常用公式其他常用公式A+AB=AA+AB=(A+A)(A+B)=A+BA+A=1A+A=AAA=0A+BC=(A+B)(A+C)(A+B)=AB(AB)=A+B返回返回AB+AC=AB+AC+BC注意：注意：(1)A、B、C都可以是复杂逻辑式都可以是复杂逻辑式(2)一般将表达式转化为一般将表达式转化为“与或与或”形式形式返回返回例例2828：写出下列逻辑函数式的化简结果。写出下列逻辑函数式的化简结果。(1)Y1=AB+(A+C)B+AC(2)Y2=AB+BC+AB+AC(3)Y3=AB+AC+BC+AD(4)Y4=ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BC解：解：(1)Y1=AB+(A+C)B+AC=AB+(AC)B+AC=AB+(AC)+AC)(AC+B)=AB+AC+B=(A+B)(B+B)+AC=A+B+AC=A+B返回返回解：解：(2)Y2=AB+BC+AB+AC=AB+BC+AC+AB+AC=AB+BC+AB+AC+AC=AB+BC+AB+A=A+BC+AB=(A+A)(A+B)+BC=A+B+BC=A+B返回返回另解：另解：(2)Y2=AB+BC+AB+AC=AB+B(A+C)+AC=AB+B(AC)+AC=AB+(AC+B)(AC+(AC)=AB+AC+B=(A+B)(B+B)+AC=A+B+AC=A(1+C)+B=A+B返回返回解：解：(3)Y3=AB+AC+BC+AD=A(B+C)+BC+AD=A(B+C)+BC+AD=A(BC)+BC+AD=A(BC)+BC+AD=A+BC+AD=A+D+BC返回返回解：解：(4)Y4=ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BC=ABC+ABD+BCD+BD+BC=ABC+BD+BCD+BC=B(AC+C)+B(D+CD)=B(A+C)+B(D+C)=AB+BC+BD+BC=AB+BD+B=AB+B=B返回返回2.6.2 2.6.2 卡诺图化简法卡诺图化简法1 1、逻辑函数的卡诺图表示法、逻辑函数的卡诺图表示法实质：实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来。出来。以以2 2n n个小方块分别代表个小方块分别代表n n变量的所有最小项，变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示个变量不同），就得到表示n n变量全部最小项变量全部最小项的卡诺图。的卡诺图。方法：方法：几何相邻性几何相邻性逻辑相邻性逻辑相邻性返回返回二变量的卡诺图二变量的卡诺图三变量的卡诺图三变量的卡诺图四变量的卡诺图四变量的卡诺图返回返回五变量的卡诺图五变量的卡诺图 图形两侧标注的图形两侧标注的0和和1表示使对应小方格内的最表示使对应小方格内的最小项为小项为1的变量取值，同时，这些的变量取值，同时，这些0和和1组成的二进制组成的二进制数所对应的十进制数大小也就是对应的最小项的编号。数所对应的十进制数大小也就是对应的最小项的编号。返回返回方方法法：逻逻辑辑函函数数包包含含有有哪哪几几个个最最小小项项，就就在在卡卡诺诺图图相相对应的方格内填对应的方格内填1 1，其余各方