常数项级数审敛法.pptx

二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第十一章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 这种级数非常重要这种级数非常重要,以后会看到许多级数的敛散以后会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的审敛性问题性判定问题都可归结为正项级数的审敛性问题.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:对于正项级数对于正项级数即即,正项级数的部分和数列正项级数的部分和数列 sn 为单调增加数列为单调增加数列.中的各项均有中的各项均有un 0,则称这则称这1.定义定义:如果级数如果级数种级数为种级数为正项级数正项级数.由于由于un 0,则其部分和数列则其部分和数列 sn 满足满足:定理定理1:正项级数收敛的正项级数收敛的充分必要条件充分必要条件是其部分和是其部分和数列数列 sn 有界有界.即即,部分和数列部分和数列 sn 有界有界.un vn(n=1,2,).若若收敛收敛,则则收敛收敛;反之反之,若若发散发散,则则发散发散.为两个正项级数为两个正项级数,且且设设3.比较审敛法比较审敛法证明证明:(1)设设由于由于un vn(n=1,2,).则则所以所以收敛收敛.(2)由于由于 sn(n),且且un vn(n=1,2,).则则 n sn (n),即即 n 不是有界数列不是有界数列,所以所以发散发散.证毕证毕.定理定理2：比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.当当n N时时,有有un kvn.若若推论推论:为两个正项级数为两个正项级数,若存在若存在N0,设设收敛收敛,则则若若发散发散,则则发散发散.收敛收敛;反之反之,解解:当当 p 1 时时,n p n,所以所以例例1:讨论讨论 p-级数级数的收敛性的收敛性(p0).则由调和级数则由调和级数的发散性知的发散性知:p-级数级数发散发散.当当 p1 时时,由图可知由图可知即即 sn 有界有界,则则 p-级数收敛级数收敛.重要参考级数重要参考级数:等比级数等比级数,p-级数级数,调和级数调和级数.证明证明:因为因为例例2:证明级数证明级数是发散的是发散的.而级数而级数发散发散,所以级数所以级数发散发散.比较审敛法是一基本方法比较审敛法是一基本方法,虽然有用虽然有用,但应用起来但应用起来却有许多不便却有许多不便.因为它需要建立定理所要求的不等式因为它需要建立定理所要求的不等式,而这种不等式常常不易建立而这种不等式常常不易建立,为此介绍在应用上更为为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法方便的极限形式的比较审敛法.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:为两个正项级数为两个正项级数,如果如果设设则则:(1)当当 0 l 0,定理定理3：由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.当当nN时时,有有即即证明证明(2):由由对于对于=1,N0,当当nN时时,有有即即0 un vn,收敛时收敛时收敛收敛.故当故当证明证明(3):由由则则类似类似(2)的证明有的证明有:0 vn 1,使得使得存在存在,则级数则级数收敛收敛.例例3:判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:(1)(2)极限审敛法是以极限审敛法是以p-级数为比较级数的审敛法级数为比较级数的审敛法.解解(1):由于由于所以级数所以级数发散发散.解解(2):由于由于因级数因级数收敛收敛,收敛收敛.故级数故级数比值审敛法比值审敛法(达朗贝尔达朗贝尔DAlembert判别法判别法):为正项级数为正项级数,如果如果设设则当则当 1()时级数发散时级数发散;当当=1时失效时失效.证明证明:当当 为有限数时为有限数时,对对 0,N0,当当nN时时,有有即即定理定理4：当当 1时时,取取 1 ,使得使得 r=+1,uN+2r uN+1,uN+3r uN+2 r 2uN+1,uN+m1时时,取取 1,当当nN时时,故数列故数列 un 严格单调增加的严格单调增加的,所以有所以有故原级数故原级数发散发散.当当=1时时,比值审敛法失效比值审敛法失效:例如级数例如级数和和两者使用比值审敛法的极两者使用比值审敛法的极限值都有限值都有 =1,但前者发散后者收敛但前者发散后者收敛.un+1 run un,需要需要特别注意特别注意的是的是:后项比前项的极限必须存在后项比前项的极限必须存在或为或为,否则无法判定否则无法判定.比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必寻找参考级数不必寻找参考级数,直接从级直接从级数本身的构成数本身的构成即通项即通项(后项比前项的极限后项比前项的极限)来判定来判定其敛散性其敛散性.例例4:判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性:(2)解解:(1)由于由于(3)由于由于比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法.因为因为而级数而级数收敛收敛,故级数故级数收敛收敛.还可以用极限审敛法还可以用极限审敛法.故级数故级数收敛收敛.解解:由于由于不存在不存在,比值审敛法失效比值审敛法失效.例例5:判定级数判定级数的敛散性的敛散性.由比值审敛法知级数由比值审敛法知级数收敛收敛,故由比较审敛法知级数故由比较审敛法知级数收敛收敛.例例6:判定级数判定级数的敛散性的敛散性.解解:由于由于由比值审敛法得由比值审敛法得:当当 xe 时时,级数发散级数发散;当当 x=e 时时,检比法失效检比法失效.即后项大于前项即后项大于前项,即即un+1 un,故级数发散故级数发散.由于由于为正项级数为正项级数,如果如果设设则当则当 1时级数发散时级数发散;当当=1时失效时失效.根值审敛法根值审敛法(柯西判别法柯西判别法)证明证明:当当 为有限数时为有限数时,对对 0,N0,当当nN时时,有有即即当当 1时时,取取 1 ,使得使得 r=+1时时,取取 1,则则即即发散发散.则则故故当当 =1时时,不能判定不能判定.但但收敛收敛,发散发散.如如都有都有例例7:判定级数判定级数的敛散性的敛散性.解解:由于由于收敛收敛.故级数故级数例例7:判定级数判定级数的敛散性的敛散性.解解:由于由于收敛收敛.故级数故级数二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正正,负项相间的级数称为交错级数负项相间的级数称为交错级数.莱布尼茨定理莱布尼茨定理（定理（定理6）:如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:(i)un un+1(n=1,2,);(ii)则级数收敛则级数收敛,且其和且其和s u1,其余项其余项 rn的绝对值的绝对值|rn|un+1.证明证明:因为因为 un-1 un 0,所以部分和所以部分和是单调增加的是单调增加的,又又所以数列所以数列 s2n 是有界的是有界的,则有则有又又因为因为所以所以所以交错级数收敛于和所以交错级数收敛于和s,且且s u1.仍满足收敛的两个条件仍满足收敛的两个条件,所以所以定理证毕定理证毕.余项余项解解:所以所以原级数收敛原级数收敛.例例10:判定级数判定级数的敛散性的敛散性.因为因为 un un+1(n 2),又因为又因为三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义:正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级任意项级数数,也称为也称为一般项级数一般项级数.定理定理:若若级数级数收敛收敛,则则级数级数收敛收敛.证明证明:令令(n=1,2,),显然显然,0 vn|un|,由于由于收敛收敛,则级数则级数收敛收敛,又因为又因为所以级数所以级数收敛收敛.这个定理的逆命题不成立这个定理的逆命题不成立:发散发散,但但收敛收敛.例如例如任意项级数任意项级数正项级数正项级数该定理的作用该定理的作用:定义定义:若若收敛收敛,则称级数则称级数为为绝对收敛绝对收敛;若若发散而发散而收敛收敛,则称级数则称级数为为条件收敛条件收敛.例例11:判断级数判断级数的收敛性的收敛性.解解:由于由于收敛收敛,而而收敛收敛,故故所以级数所以级数绝对收敛绝对收敛.将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理级数的敛散性可得到如下定理:例如例如定理定理:设级数设级数若若或或绝对收敛绝对收敛;则当则当 1时时,级数级数发散发散;可能绝对收敛可能绝对收敛,也可能条件收敛也可能条件收敛,当当=1时时,级数级数也可能发散也可能发散.(从而从而有有)的发散性是由比值法或根值法判定的的发散性是由比值法或根值法判定的,必定发散必定发散.这是因为比值法与根值法判定级数这是因为比值法与根值法判定级数如果如果则则发散的原因是通项不趋向于发散的原因是通项不趋向于0.即即例例12:判断级数判断级数的收敛性的收敛性.解解:由于由于所以级数所以级数发散发散.例例13.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别用它法判别部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习：练习：1.判断级数判断级数是绝对收敛，条件收敛还是发散？是绝对收敛，条件收敛还是发散？2.若若 存在，判断级数存在，判断级数 收敛性收敛性 3.设正项级数设正项级数收敛收敛,能否推得能否推得收敛收敛?反之是否成立反之是否成立?思考题思考题思考题解答思考题解答反之不成立反之不成立.例如例如:收敛收敛,而而发散发散.设正项级数设正项级数收敛收敛,能否推得能否推得收敛收敛?反之是否成立反之是否成立?设正项级数设正项级数收敛收敛,可以推得可以推得收敛收敛.因为因为则由比较审敛法的极限形式得证则由比较审敛法的极限形式得证.四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.定义定义:若若sns,则级数收敛则级数收敛.3.必要条件必要条件:若若un0,则级数发散则级数发散.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)2.按基本性质按基本性质.作业作业 P206 1(1),(3);2 (2),(3);3 (1),(2);4 (1),(3),(5);5(2),(3),(5)第三节 目录 上页 下页 返回 结束