常数项级数审敛法上.pptx

1第二节第二节 常数项级数审敛法常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法2 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法。法称为审敛法。对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论讨论。3一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题都可归结为正项级数的收敛性问题2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.定理定理4定理定理 1.1.正项级数正项级数收敛收敛部分和序列部分和序列有界有界 .若若收敛收敛 ,部分和数列部分和数列有界有界,故故从而从而又已知又已知故有界故有界.单调递增单调递增,收敛收敛 ,也收敛也收敛.证证:注：注：正项级数收敛的正项级数收敛的本质本质 un 0 0足够足够快。快。53.比较审敛法比较审敛法证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界6不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.7都有推论推论:设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨78(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数89解解由图可知由图可知10重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数11调和级数与调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数级数是两个常用的比较级数.若存在若存在对一切对一切1213例例2 利用比较法判定下列级数的敛散性利用比较法判定下列级数的敛散性:14 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，立定理所要求的不等式，须有参考级数，须有参考级数，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法应用上更为方便的极限形式的比较审敛法注：注：154.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;16证证:据极限定义据极限定义,由由定理定理 2 可知可知同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散;(3)当当l=时时,即即由由定理定理2可知可知,若若发散发散,(1)当当0 l 时时,(2)当当l=0时时,由由定理定理2 知知收敛收敛,若若17是两个是两个正项级数正项级数,(1)当当 时时,两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散;特别取特别取可得如下结论可得如下结论:对正项级数对正项级数(2)当当 且且 收敛时收敛时,(3)当当 且且 发散时发散时,也收敛也收敛;也发散也发散.18解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.19的敛散性的敛散性.例例4.4.判别级数判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知20 思考：思考：判别级数判别级数 的敛散性的敛散性:解解:不是不是 p级数级数发散发散 ,故原级数发散故原级数发散 .21例例5 5 判别级数判别级数（）的敛散性）的敛散性时，时，时，时，当当时，时，所以当所以当时，时，发散；发散；时，时，收敛收敛解解 当当当当当当22证明证明23收敛收敛发散发散24比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.直接从级数本身的构成直接从级数本身的构成即通项来判定其敛散性即通项来判定其敛散性 注意注意:2526解解27比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法28例例7解解由于由于不存在，检比法失效不存在，检比法失效 而而对对由检比法得由检比法得 收敛收敛故由比较审敛法知故由比较审敛法知收敛收敛29例例8.8.讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性 .解解:根据定理根据定理4 4可知可知:级数收敛级数收敛 ;级数发散级数发散 ;30练习练习解解由检比法得由检比法得 级数收敛；级数收敛；级数发散。级数发散。检比法失效检比法失效，但，但即后项大于前项即后项大于前项故级数发散故级数发散3132证明证明取取则则由由知知由由收敛及比较审敛法得收敛及比较审敛法得收敛收敛收敛收敛33由由知知故故不趋于不趋于 0发散发散不能判定不能判定如如都有都有但但收敛收敛发散发散34故级数收敛故级数收敛.35练习练习:判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性36解答提示：解答提示：(1)发散,故原级数发散.（3）发散；（）发散；（4）收敛；（）收敛；（5）收敛；）收敛；（6）收敛）收敛37四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法3.按基本性质按基本性质;38 作业作业 P206 1(1),(3),(5);2 (2),(3),(4);3 (1),(2);4 (1),(3),(5),(6);39备用备用 判别级数判别级数（）的敛散性）的敛散性发散发散失效失效时，时，当当时，时，所以当所以当时，时，收敛；收敛；时，时，发散发散解解当当当当收敛收敛发散发散