常数项级数的概念和性质2.pptx

1第九章第九章 无穷级数无穷级数2无穷级数 无穷级数无穷级数常数项级数常数项级数幂级数幂级数第九章主要研究无限个量相加的问题，包括主要研究无限个量相加的问题，包括无限个数和无限个函数相加的问题无限个数和无限个函数相加的问题。3常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节 第九章 4引例：引例：1.计算圆的面积计算圆的面积.正三角形的面积正三角形的面积这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A.a1即即正十二边形的面积为正十二边形的面积为正六边形的面积正六边形的面积+a2 a1a1+a2+a3一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念A=a1+a2+a3+an+当当n时，时，51.定义：定义：给定一个数列给定一个数列将各项依将各项依即即称为称为无穷级数无穷级数.第第 n 项项叫做级数的叫做级数的一般项一般项.次相加所构成的式子：次相加所构成的式子：说明：说明：简记为简记为一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念(2)无穷级数无穷级数(每一项都是数每一项都是数)也称为常数项无穷级数，也称为常数项无穷级数，简称简称(常数项常数项)级数。级数。6问题问题1：无穷个数相加，是否一定有和？无穷个数相加，是否一定有和？无穷个数相加，是否一定有和？无穷个数相加，是否一定有和？例如：例如：1(1)1 (1)1 (1)+如果写成如果写成(11)(11)(11)+,结果是结果是0如果写成如果写成1(1)1(1)1,结果是结果是1结果不同，故无穷个数相加不一定有和结果不同，故无穷个数相加不一定有和问题问题2 ：如果存在和，和等于什么？如果存在和，和等于什么？如果存在和，和等于什么？如果存在和，和等于什么？7两个概念：两个概念：(1)级数的前级数的前 n 项和项和称为级数的称为级数的部分和部分和.其中其中(2)称称 为级数的部分和数列为级数的部分和数列.再看例子再看例子Sn=0.333n8即即即即则称级数则称级数则称级数则称级数收敛，收敛，收敛，收敛，极限极限极限极限s s 称为该级数的称为该级数的称为该级数的称为该级数的和，和，和，和，并记作：并记作：并记作：并记作：如果如果如果如果部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列没有极限，没有极限，没有极限，没有极限，则称级数则称级数则称级数则称级数发散，发散，发散，发散，或者称或者称或者称或者称该级数没有和该级数没有和该级数没有和该级数没有和.2.级数的收敛与发散：级数的收敛与发散：有极限有极限有极限有极限s,如果级数如果级数如果级数如果级数部分和部分和部分和部分和数列数列数列数列注意：注意：注意：注意：(1)(1)常数项常数项常数项常数项级数级数级数级数收敛收敛收敛收敛(发散发散发散发散)存在存在存在存在(不存在不存在不存在不存在).).收敛与发散二者必居其一收敛与发散二者必居其一收敛与发散二者必居其一收敛与发散二者必居其一.(2)(2)给定一个级数，给定一个级数，给定一个级数，给定一个级数，(3)(3)级数收敛时才有和，发散时就没有和级数收敛时才有和，发散时就没有和级数收敛时才有和，发散时就没有和级数收敛时才有和，发散时就没有和.9余项余项余项余项(4)(4)如果级数如果级数如果级数如果级数收敛于收敛于收敛于收敛于s s，即即即即这时：这时：这时：这时：显然显然存在存在存在存在级数级数级数级数 收敛收敛收敛收敛103.级数的敛散性举例：级数的敛散性举例：解解解解所以级数的所以级数的所以级数的所以级数的部分和部分和部分和部分和为：为：为：为：例例例例1 1 判断级数判断级数判断级数判断级数的敛散性的敛散性的敛散性的敛散性.所以原级数所以原级数所以原级数所以原级数发散发散发散发散.11解解解解例例例例2 2 判断级数判断级数判断级数判断级数的敛散性的敛散性的敛散性的敛散性.若收敛若收敛若收敛若收敛,求其和求其和求其和求其和s.s.所以级数所以级数所以级数所以级数收敛，收敛，收敛，收敛，和和和和 s s=1.=1.即即即即技巧技巧:利用利用“拆项相消拆项相消”求求和和12例例3 讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数又称几何级数)解解 收敛收敛 发散发散当当当当时，时，时，时，当当当当时，时，时，时，时时时时 发散发散当当当当 时，时，时，时，的敛散性的敛散性.当当当当 时，时，时，时，级数变为级数变为级数变为级数变为13因此因此n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数从而从而不存在不存在,因此级数发散因此级数发散.综上综上综上综上当当当当时，时，时，时，当当当当时，时，时，时，收敛，收敛，收敛，收敛，发散，发散，发散，发散，收敛；收敛；收敛；收敛；收敛；收敛；收敛；收敛；发散；发散；发散；发散；发散发散发散发散.如：如：如：如：首项首项其和为其和为其和为其和为1.14解解解解所以级数的所以级数的所以级数的所以级数的部分和部分和部分和部分和为：为：为：为：例例例例4 4 判断级数判断级数判断级数判断级数的敛散性的敛散性的敛散性的敛散性.所以原级数所以原级数所以原级数所以原级数发散发散发散发散.注意：注意：注意：注意：判断敛散性的判断敛散性的判断敛散性的判断敛散性的方法：方法：方法：方法：(1)(1)找找找找(2)(2)求极限求极限求极限求极限15这说明级数这说明级数则级数则级数 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 分别分别收敛收敛于于与与性质性质1.设有两个级数设有两个级数与与，也也收敛收敛，且其和为，且其和为 证证:设设则则也收敛，其和为也收敛，其和为16说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散,则则必发散必发散.但若二级数都发散但若二级数都发散,不一定发散不一定发散.例如例如,(1)性质性质1 也可说成：两个也可说成：两个收敛收敛级数可以逐项相级数可以逐项相加或者逐项相减加或者逐项相减.(用反证法可证用反证法可证)即即 收敛收敛+收敛收敛=收敛，收敛收敛，收敛+发散发散=发散，发散，发散发散+发散可能收敛，也可能发散发散可能收敛，也可能发散17解解例例例例5 518由于极限由于极限或同时发散或同时发散，且当级数同时收敛时，且当级数同时收敛时，同时收敛同时收敛和和性质性质2.设设c为非零常数，则级数为非零常数，则级数与与则则证证:设设则则同时收敛或同时发散，同时收敛或同时发散，若若从而级数从而级数与与同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散.且当同时收敛时，有且当同时收敛时，有 即：即：级数的每一项同乘一个不为零的常数时，敛散性不变级数的每一项同乘一个不为零的常数时，敛散性不变19性质性质3.在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会改变级数不会改变级数的敛散性的敛散性.证证:将级数将级数的前的前 k 项去掉项去掉,的部分和为的部分和为数敛散性相同数敛散性相同.当级数收敛时当级数收敛时,其和的关系为其和的关系为极限状况相同极限状况相同,故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数时，时，如如:类似地类似地类似地类似地 可以证明在级数前面加上有限项不影响级数可以证明在级数前面加上有限项不影响级数可以证明在级数前面加上有限项不影响级数可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性，的敛散性，的敛散性，的敛散性，但影响收敛级数的和但影响收敛级数的和但影响收敛级数的和但影响收敛级数的和.收敛收敛20设设设设性质性质4.证证:若若收敛，任意加括号得到收敛，任意加括号得到若若则则证毕证毕.收敛级数加括号后所得新级数仍收敛，收敛级数加括号后所得新级数仍收敛，且其和不变且其和不变.收敛收敛加括号加括号后后收敛收敛一个新级数，如一个新级数，如和和分别表示新、老两个级数的前分别表示新、老两个级数的前n项和项和推论推论:若加括号后的级数发散若加括号后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.注意注意:收敛级数收敛级数去去括号后所成的级数不一定收敛括号后所成的级数不一定收敛.但但发散发散.例如例如，用反证法可证用反证法可证21例例例例6.6.证明调和级数证明调和级数 是发散的是发散的.解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数即加括弧后的级数发散即加括弧后的级数发散,从而原级数发散从而原级数发散.内内请熟记：调和级数请熟记：调和级数是发散的是发散的.22三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 证证:定理：定理：如如如如:级数级数级数级数 收敛，收敛，收敛，收敛，则有则有则有则有注意：注意：1.1.反之不成立反之不成立(因为是级数收敛的必要条件不充分因为是级数收敛的必要条件不充分).).但它是发散的但它是发散的.故故故故时，时，时，时，不一定收敛不一定收敛不一定收敛不一定收敛.级数级数级数级数但它是发散的但它是发散的.232.2.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散.(.(逆否命题逆否命题)所以是所以是发散的发散的.发散发散发散发散.发散发散发散发散.发散发散发散发散24u判断级数发散的方法判断级数发散的方法:解解25级数的基本概念级数的基本概念级数的基本概念级数的基本概念基本审敛法基本审敛法基本审敛法基本审敛法级数级数级数级数收敛收敛收敛收敛(发散发散发散发散)存在存在存在存在(不存在不存在不存在不存在)1.1.定义法：定义法：定义法：定义法：存在存在存在存在(不存在不存在不存在不存在)级数级数级数级数收敛收敛收敛收敛(发散发散发散发散)；2.2.发散发散发散发散.收敛的收敛的收敛的收敛的必要条件必要条件必要条件必要条件几个重要级数的敛散情况几个重要级数的敛散情况1.1.1.1.等比级数等比级数等比级数等比级数2.2.2.2.调和级数调和级数调和级数调和级数是发散的是发散的是发散的是发散的.小小 结结26作业：作业：P365,4(3),5(1),(5),(7)P365,4(3),5(1),(5),(7)预习：从预习：从366366到到371371页页27例例1 1：判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.解答：解答：所以原级数所以原级数所以原级数所以原级数发散发散发散发散.备用题备用题28例例2解解29解解