CADCAM建模技术及应用.pptx

3.13.1模型的基本概念模型的基本概念1.1.线框模型框模型 2.2.表面模型表面模型3.3.实体模型体模型线框模型框模型(a)线框模型(b)表面模型(c)实体模型图3.1三种三维模型的比较线框建模（wireframemodel）线框模型是最早采用的几何模型，且至今仍在广泛使用。线框模型是最早采用的几何模型，且至今仍在广泛使用。线框模型是最早采用的几何模型，且至今仍在广泛使用。线框模型是最早采用的几何模型，且至今仍在广泛使用。在这种建模系统中，三维实体仅通过定点和棱边来描述形体的在这种建模系统中，三维实体仅通过定点和棱边来描述形体的在这种建模系统中，三维实体仅通过定点和棱边来描述形体的在这种建模系统中，三维实体仅通过定点和棱边来描述形体的几何形状，其模型的数据结构由一个顶点表和一个棱边表组成。几何形状，其模型的数据结构由一个顶点表和一个棱边表组成。几何形状，其模型的数据结构由一个顶点表和一个棱边表组成。几何形状，其模型的数据结构由一个顶点表和一个棱边表组成。顶点表用于记录各顶点的坐标值，棱边表用来表示棱边和顶顶点表用于记录各顶点的坐标值，棱边表用来表示棱边和顶顶点表用于记录各顶点的坐标值，棱边表用来表示棱边和顶顶点表用于记录各顶点的坐标值，棱边表用来表示棱边和顶点的拓扑关系。点的拓扑关系。点的拓扑关系。点的拓扑关系。(a)(a)线框模型线框模型线框模型线框模型(b)(b)顶点表顶点表顶点表顶点表(c)(c)棱线表棱线表棱线表棱线表线框模型的数据结构原理线框模型的数据结构原理线框模型的数据结构原理线框模型的数据结构原理线线框模型的特点框模型的特点线框建模的优点线框建模的优点线框建模的优点线框建模的优点-所需信息最少，数据运算简单，所占所需信息最少，数据运算简单，所占所需信息最少，数据运算简单，所占所需信息最少，数据运算简单，所占存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间短。存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间短。存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间短。存贮空间较小，硬件的要求不高，容易掌握，处理时间短。线框建模的局限性线框建模的局限性线框建模的局限性线框建模的局限性-几何意义的二义性：几何意义的二义性：几何意义的二义性：几何意义的二义性：一个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。一个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。一个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。一个线框模型可能被解释为若干个有效几何体。1.1.结构体的空间定义缺乏严密性结构体的空间定义缺乏严密性结构体的空间定义缺乏严密性结构体的空间定义缺乏严密性 2.2.拓扑关系缺乏有效性拓扑关系缺乏有效性拓扑关系缺乏有效性拓扑关系缺乏有效性 3.3.描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物性计算描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物性计算描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物性计算描述的结构体无法进行消隐、干涉检查、物性计算线框模型的多义性线框模型的多义性线框模型的多义性线框模型的多义性 通通通通常常常常，线线线线框框框框建建建建模模模模用用用用来来来来表表表表示示示示二二二二维维维维图图图图形形形形信信信信息息息息，也也也也可可可可以以以以在在在在其其其其它它它它的的的的建建建建模模模模过过过过程程程程中中中中，快快快快速速速速显显显显示示示示某某某某些些些些中间结果。中间结果。中间结果。中间结果。它它它它与与与与其其其其他他他他的的的的建建建建模模模模方方方方法法法法相相相相配配配配合合合合，成成成成为为为为CADCAD建建建建模模模模系系系系统统统统中中中中不不不不可可可可或缺的组成部分。或缺的组成部分。或缺的组成部分。或缺的组成部分。表面建模（表面建模（surfacemodelsurfacemodel）是是是是通通通通过过过过对对对对实实实实体体体体的的的的各各各各个个个个表表表表面面面面或或或或曲曲曲曲面面面面进进进进行行行行描描描描述述述述而而而而构构构构造造造造实实实实体体体体模模模模型型型型的一种建模方法。的一种建模方法。的一种建模方法。的一种建模方法。与线框模型相比，除了顶点表和棱线表外，还提供了与线框模型相比，除了顶点表和棱线表外，还提供了与线框模型相比，除了顶点表和棱线表外，还提供了与线框模型相比，除了顶点表和棱线表外，还提供了面表面表面表面表。面表面表面表面表记录了边、面间的拓扑关系。记录了边、面间的拓扑关系。记录了边、面间的拓扑关系。记录了边、面间的拓扑关系。(a)(a)(b)(b)顶点表顶点表顶点表顶点表(c)(c)棱线表棱线表棱线表棱线表(d)(d)表面表表面表表面表表面表表面模型的数据结构原理表面模型的数据结构原理表面模型的数据结构原理表面模型的数据结构原理表面建模的过程建模方法建模方法表面模型的特点表面模型的特点由于增加了有关面的信息，在提供三维实体信息的完整性、严密由于增加了有关面的信息，在提供三维实体信息的完整性、严密由于增加了有关面的信息，在提供三维实体信息的完整性、严密由于增加了有关面的信息，在提供三维实体信息的完整性、严密性方法，表面模型比线框模型进了一步，它克服了线框模型的许性方法，表面模型比线框模型进了一步，它克服了线框模型的许性方法，表面模型比线框模型进了一步，它克服了线框模型的许性方法，表面模型比线框模型进了一步，它克服了线框模型的许多缺点，多缺点，多缺点，多缺点，能够比较完整地定义三维立体的表面能够比较完整地定义三维立体的表面能够比较完整地定义三维立体的表面能够比较完整地定义三维立体的表面，所能描述的零件，所能描述的零件，所能描述的零件，所能描述的零件范围广，特别是一些复杂自由曲面，如飞机机翼、汽车车身、螺范围广，特别是一些复杂自由曲面，如飞机机翼、汽车车身、螺范围广，特别是一些复杂自由曲面，如飞机机翼、汽车车身、螺范围广，特别是一些复杂自由曲面，如飞机机翼、汽车车身、螺旋浆等难于用简单的数学模型表达的物体，均可以应用表面模型。旋浆等难于用简单的数学模型表达的物体，均可以应用表面模型。旋浆等难于用简单的数学模型表达的物体，均可以应用表面模型。旋浆等难于用简单的数学模型表达的物体，均可以应用表面模型。另外，表面模型另外，表面模型另外，表面模型另外，表面模型可以为可以为可以为可以为CAD/CAMCAD/CAM中的其它场合提供数据，中的其它场合提供数据，中的其它场合提供数据，中的其它场合提供数据，例如有例如有例如有例如有限元分析中的网格划分，就可以直接利用表面模型。限元分析中的网格划分，就可以直接利用表面模型。限元分析中的网格划分，就可以直接利用表面模型。限元分析中的网格划分，就可以直接利用表面模型。l l表表表表面面面面模模模模型型型型也也也也有有有有其其其其局局局局限限限限性性性性，由由由由于于于于所所所所描描描描述述述述的的的的仅仅仅仅是是是是实实实实体体体体的的的的外外外外表表表表面面面面，并并并并没没没没切切切切开开开开物物物物体体体体而而而而展展展展示示示示其其其其内内内内部部部部结结结结构构构构，因因因因而而而而，也也也也就就就就无无无无法法法法表表表表示示示示零零零零件件件件的的的的立立立立体体体体属属属属性性性性。由由由由此此此此，很很很很难难难难确确确确定定定定一一一一个个个个表表表表面面面面模模模模型型型型生生生生成成成成的的的的三三三三维维维维物物物物体体体体是是是是一一一一个个个个实实实实心心心心的的的的物物物物体体体体，还还还还是是是是一一一一个个个个具具具具有有有有一一一一定定定定壁壁壁壁厚厚厚厚的的的的壳壳壳壳，这这这这种种种种不不不不确确确确定定定定性性性性同同同同样样样样会会会会给给给给物物物物体体体体的质量特性分析带来问题。的质量特性分析带来问题。的质量特性分析带来问题。的质量特性分析带来问题。实体建模（实体建模（solidmodel）线线框框模模型型和和表表面面模模型型在在完完整整、准准确确地地表表达达实实体体形形状状方方面面各各有有其其局局限限性性，要要想想完完整整地地处处理理三三维维立立体体的的各各种种问问题题，就必须采用实体模型。就必须采用实体模型。实实体体模模型型是是在在表表面面模模型型的的基基础础上上，再再定定义义物物体体存存在在于于面面的的哪哪一一侧侧而而建建立立的的。实实体体模模型型在在定定义义表表面面的的同同时时还还定定义义了该表面的外法矢方向了该表面的外法矢方向。实体建模的优点实体建模的优点1.可以提供实体完整的信息；可以提供实体完整的信息；2.可以实现对可见边的判断，具有消隐的功能；可以实现对可见边的判断，具有消隐的功能；3.能顺利实现剖切、有限元网格划分、直到能顺利实现剖切、有限元网格划分、直到NC刀具刀具轨迹的生成。轨迹的生成。实体模型体模型的的数据数据结构构较复复杂实体模型体模型与与线框模型框模型和和表面模型表面模型的的根根本区本区别在于在于:不但不但记录了了全部几何信息全部几何信息，而且，而且记录了了全部点、全部点、线、面、体拓扑信息、面、体拓扑信息。三三维实体模型体模型是是关于物体几何信息和关于物体几何信息和拓扑信息的完整描述拓扑信息的完整描述。实体建模体建模的的数学基数学基础是是拓扑学和集合拓扑学和集合论。一个一个一个一个有效有效实体体(简简称称称称为实为实体体体体)应应具有如下具有如下具有如下具有如下性性质。(1)(1)刚性性，即即即即实实体形状与位置及方向无关。体形状与位置及方向无关。体形状与位置及方向无关。体形状与位置及方向无关。(2)(2)有限性有限性，即占有有限空即占有有限空即占有有限空即占有有限空间间。(3)(3)封封闭性性，即集合运算与即集合运算与即集合运算与即集合运算与刚刚体运体运体运体运动动不改不改不改不改变变有效有效有效有效实实体体体体的性的性的性的性质质，其表面具有，其表面具有，其表面具有，其表面具有连连通性、有界性、非自交性、可定向通性、有界性、非自交性、可定向通性、有界性、非自交性、可定向通性、有界性、非自交性、可定向性和性和性和性和闭闭合性等性合性等性合性等性合性等性质质。(4)(4)边界确定性界确定性。(5)(5)维数一致性数一致性，即没有即没有即没有即没有悬面面和和和和悬边。实体模型在机械产品的设计和制造中得到了实体模型在机械产品的设计和制造中得到了广泛的应用广泛的应用，主要表主要表主要表主要表现现在在在在四个方面四个方面四个方面四个方面:首先，在首先，在首先，在首先，在设计设计中能随中能随中能随中能随时显时显示零件形状，并能利用剖切来示零件形状，并能利用剖切来示零件形状，并能利用剖切来示零件形状，并能利用剖切来检查检查壁壁壁壁的厚薄情况如何、孔是否相交等，能的厚薄情况如何、孔是否相交等，能的厚薄情况如何、孔是否相交等，能的厚薄情况如何、孔是否相交等，能进进行物体的物理特性行物体的物理特性行物体的物理特性行物体的物理特性(如如如如计计算体算体算体算体积积、面、面、面、面积积、质质心、心、心、心、惯惯性矩等的性矩等的性矩等的性矩等的计计算算算算简简称物性称物性称物性称物性计计算算算算)，能栓能栓能栓能栓查查装配中的干涉，能装配中的干涉，能装配中的干涉，能装配中的干涉，能进进行运行运行运行运动动机构的模机构的模机构的模机构的模拟拟，等等，等等，等等，等等，这样这样就就就就使使使使设计设计者能及者能及者能及者能及时发现问题时发现问题修改修改修改修改设计设计，从而提高，从而提高，从而提高，从而提高设计质设计质量量量量;其次，能其次，能其次，能其次，能产产生二生二生二生二维维工程工程工程工程图图，包括零件，包括零件，包括零件，包括零件图图、装配、装配、装配、装配图图，还还能能能能进进行工行工行工行工艺规艺规程程程程设计设计等等等等;再次，制造中能利用生成的三再次，制造中能利用生成的三再次，制造中能利用生成的三再次，制造中能利用生成的三维维几何模型几何模型几何模型几何模型进进行行行行数控自数控自数控自数控自动编动编程和程和程和程和刀具刀具刀具刀具轨轨迹的仿真迹的仿真迹的仿真迹的仿真，还还能能能能进进行工行工行工行工艺规艺规程程程程设计设计等等等等;最后，在最后，在最后，在最后，在机器人及柔性制造中机器人及柔性制造中机器人及柔性制造中机器人及柔性制造中已利用三已利用三已利用三已利用三维维几何模型几何模型几何模型几何模型进进行装配行装配行装配行装配规规划、机器人划、机器人划、机器人划、机器人视觉识别视觉识别、机器人运、机器人运、机器人运、机器人运动动学及学及学及学及动动力学的分析等力学的分析等力学的分析等力学的分析等三种模型三种模型转化化 三种模型是可以三种模型是可以三种模型是可以三种模型是可以转转化的。化的。化的。化的。实体模型可以体模型可以转化化为表面模型，表面模型表面模型，表面模型可以可以转化化为线框模型，框模型，但但转化是不可逆化是不可逆转的。的。也就是也就是也就是也就是说说，表面模型不能，表面模型不能，表面模型不能，表面模型不能转转化化化化为实为实体模型，因体模型，因体模型，因体模型，因为为它所包含的信息比它所包含的信息比它所包含的信息比它所包含的信息比实实体模型少体模型少体模型少体模型少;线线框模型也不框模型也不框模型也不框模型也不可以可以可以可以转转化化化化为为表面模型。表面模型。表面模型。表面模型。3.23.2三三维几何建模的理几何建模的理论基基础3.2.13.2.1形体的定形体的定义3.2.23.2.2集合运算集合运算3.2.33.2.3欧拉运算欧拉运算形体的定形体的定义实实体体体体模型；模型；模型；模型；儿何尺寸和拓扑结构儿何尺寸和拓扑结构儿何尺寸和拓扑结构儿何尺寸和拓扑结构。（描述（描述（描述（描述产产品品品品对对象两方面的信息）象两方面的信息）象两方面的信息）象两方面的信息）儿何尺寸儿何尺寸是指有几何意是指有几何意义的点、的点、线、面等、面等（具（具（具（具有确定的位置坐有确定的位置坐有确定的位置坐有确定的位置坐标标和和和和长长度、面度、面度、面度、面积积等度量等度量等度量等度量值值0;0;0;0;拓扑结构拓扑结构反映形体的空反映形体的空反映形体的空反映形体的空间结间结构，包括点、构，包括点、构，包括点、构，包括点、边边、环环、面、面、面、面、实实体等形成的体等形成的体等形成的体等形成的层层次次次次结结构构构构。几何模型的几何模型的几何模型的几何模型的所有拓扑信息构成所有拓扑信息构成所有拓扑信息构成所有拓扑信息构成其其其其拓扑结构拓扑结构拓扑结构拓扑结构(数据数据数据数据结结构构构构)，它反映了它反映了它反映了它反映了产品对象产品对象几何信息之间的连接关系几何信息之间的连接关系。连接关系连接关系连接关系连接关系:任一实体均由空间封闭面组成，面由一个或任一实体均由空间封闭面组成，面由一个或任一实体均由空间封闭面组成，面由一个或任一实体均由空间封闭面组成，面由一个或多个封闭环确定，而环又由一组相邻的边组成，边由多个封闭环确定，而环又由一组相邻的边组成，边由多个封闭环确定，而环又由一组相邻的边组成，边由多个封闭环确定，而环又由一组相邻的边组成，边由两点确定。两点确定。两点确定。两点确定。点是最基本的拓扑信息。点是最基本的拓扑信息。点是最基本的拓扑信息。点是最基本的拓扑信息。形体形体形体形体外壳外壳外壳外壳面面面面环环环环边边边边点点点点几何形体的结几何形体的结几何形体的结几何形体的结构层次构层次构层次构层次图图3.2形体层次结构形体层次结构空空间间几何元素几何元素 1.点（point）点是几何造型中最最基基本本的几何元素，任何几何形体都可以用有序的点的集合来表示。点分为端点、交点、切点、孤立点等。（一般不允许孤立点的存在。）二维坐标系中的点二维坐标系中的点可用可用(x,y)或或x(t),y(t)表示表示;三维空间中的点三维空间中的点可用可用(x,y,z)或或x(t),y(t),z(t)来表示。来表示。以此类推以此类推,N维空间中的点维空间中的点可用坐标可用坐标(x1,，x2，x3，xn)或或(x1(t),，x2(t)，x3(t)，xn(t)来表示。来表示。计算机处理形体的实质计算机处理形体的实质是是对对点集点集与与连连接关系接关系的处理的处理。2.边（edge）；面之面之间的交界的交界边是两个相是两个相邻面或多个相面或多个相邻面之面之间的交界。的交界。边是由两个端点即起点和是由两个端点即起点和终点点界定界定的。的。直直线边就就两个两个端端点点，而，而曲曲线边通常通常由一系列型由一系列型值点或控制点来定点或控制点来定义，或用，或用显式、式、隐式方程表式方程表示。示。边有有方向性方向性，其方向，其方向为由起点沿由起点沿边指向指向终点。点。3.面（face）面是形体表面的一部分，面是形体表面的一部分，有一个外有一个外环和若干个内和若干个内环界定界定，一个面可以没有内一个面可以没有内一个面可以没有内一个面可以没有内环环，但必，但必，但必，但必须须有并且只能有一个外有并且只能有一个外有并且只能有一个外有并且只能有一个外环环。面具有面具有方向性方向性，一般用面的外法矢方向作一般用面的外法矢方向作一般用面的外法矢方向作一般用面的外法矢方向作为该为该面的正方向。面的正方向。面的正方向。面的正方向。该该外法矢方向通常由外法矢方向通常由外法矢方向通常由外法矢方向通常由组组成的外成的外成的外成的外环环的有向棱的有向棱的有向棱的有向棱边边按右手按右手按右手按右手法法法法则则定定定定义义。4.环（loop）环是环是环是环是有序的、有向边组成的面有序的、有向边组成的面有序的、有向边组成的面有序的、有向边组成的面的封闭边界。的封闭边界。的封闭边界。的封闭边界。环中环中环中环中不相邻的边不能相交不相邻的边不能相交不相邻的边不能相交不相邻的边不能相交，而相邻的边两条边共一个端点。，而相邻的边两条边共一个端点。，而相邻的边两条边共一个端点。，而相邻的边两条边共一个端点。环环环环有有有有内内内内外外外外之之之之分分分分，确确确确定定定定面面面面的的的的最最最最大大大大外外外外边边边边界界界界的的的的环环环环称称称称为为为为外外外外环环环环，确确确确定定定定面面面面中内孔或凸台边界的环称为内环。中内孔或凸台边界的环称为内环。中内孔或凸台边界的环称为内环。中内孔或凸台边界的环称为内环。环环环环具具具具有有有有方方方方向向向向性性性性，外外外外环环环环各各各各边边边边按按按按逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向排排排排列列列列，内内内内环环环环各各各各边边边边按按按按顺顺顺顺时时时时针针针针方方方方向向向向排排排排列列列列。因因因因此此此此，在在在在面面面面上上上上任任任任一一一一环环环环的的的的左左左左侧侧侧侧总总总总是是是是在在在在面面面面内内内内，而外侧总是在面外而外侧总是在面外而外侧总是在面外而外侧总是在面外。实体面、环、边实体面、环、边实体面、环、边实体面、环、边5.体（body）体是由封是由封闭表面表面围成的三成的三维几何空几何空间。体也是三维空间中非空、有界的封闭子集，其边界是也是三维空间中非空、有界的封闭子集，其边界是也是三维空间中非空、有界的封闭子集，其边界是也是三维空间中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。有限面的并集。有限面的并集。有限面的并集。为保证几何模型的可靠性和可加工性，要求为保证几何模型的可靠性和可加工性，要求为保证几何模型的可靠性和可加工性，要求为保证几何模型的可靠性和可加工性，要求形体上任形体上任形体上任形体上任意一点的足够小的邻域意一点的足够小的邻域意一点的足够小的邻域意一点的足够小的邻域在在在在拓扑上拓扑上拓扑上拓扑上应是一个应是一个应是一个应是一个等价的封闭等价的封闭等价的封闭等价的封闭圆圆圆圆，即围绕该点的形体的邻域在二维空间中可构成一，即围绕该点的形体的邻域在二维空间中可构成一，即围绕该点的形体的邻域在二维空间中可构成一，即围绕该点的形体的邻域在二维空间中可构成一个连通域。个连通域。个连通域。个连通域。满足这一定义的形体称为满足这一定义的形体称为满足这一定义的形体称为满足这一定义的形体称为正则形体正则形体正则形体正则形体。不满足上述要求，这类形体称为不满足上述要求，这类形体称为不满足上述要求，这类形体称为不满足上述要求，这类形体称为非正则形体非正则形体非正则形体非正则形体。(a)表面表面(b)悬线悬线图图3.3非正则形体示例非正则形体示例(c)一条边有一条边有两个以上的两个以上的邻面邻面6.外壳（shell）外壳是指在外壳是指在观察方向上所能看到的形体的察方向上所能看到的形体的最大外最大外轮廓廓线。7 体素（primitive primitive)除点、边、面、环、体外，形体还涉及两个概念:体素（primitiveprimitiveprimitiveprimitive)和半空间(halfspace)。建模系统定义的简单形体称为体素体体体体素素素素可可可可以以以以是是是是用用一一一一些些些些确确确确定定定定的的的的尺尺尺尺寸寸寸寸参参参参数数数数控控控控制制制制其其其其最最最最终终终终位位位位置置置置和和和和形状的一组单元实体形状的一组单元实体形状的一组单元实体形状的一组单元实体体体体体素素素素也也也也可可可可以以以以是是是是由由参参参参数数数数定定定定义义义义的的的的一一一一条条条条(或或或或一一一一组组组组)截截截截面面面面轮轮轮轮廓廓廓廓线线线线沿一条沿一条沿一条沿一条(或一组或一组或一组或一组)空间参数曲线扫描而产生的形体。空间参数曲线扫描而产生的形体。空间参数曲线扫描而产生的形体。空间参数曲线扫描而产生的形体。常见基本体素常见基本体素常见基本体素常见基本体素8 半空间(half space)空间的实体可以用面的半空间来定义，例如，例如，平面平面F(P)=ax+by+cz+dF(P)=ax+by+cz+d可以定义可以定义平平面加上在平面某一侧所有点组成面加上在平面某一侧所有点组成一一个平面个平面的半空间的半空间。这样，一个，一个长方体就可以看成方体就可以看成是六个平面半空是六个平面半空间的交。的交。假假设一几何一几何实体所存在空体所存在空间的集合的集合为S,S,S Sb b b b为集合集合边界界，如，如图3.43.4所示。所示。S Sb b b b将空将空间划分划分为两部分两部分，即，即S S存在的空存在的空间与不与不属于属于S S的空的空间。用有向用有向用有向用有向边边界表示界表示界表示界表示时时，沿箭，沿箭，沿箭，沿箭头头所指方向，所指方向，所指方向，所指方向，S S S Sb b b b右右右右侧为侧为实实体存在的空体存在的空体存在的空体存在的空间间，左，左，左，左侧为侧为非非非非实实体存在的空体存在的空体存在的空体存在的空间间。例如一个圆柱体可以例如一个圆柱体可以表示为三个半空间表示为三个半空间S1,S2,S3S1,S2,S3的交集，如的交集，如图图3.53.5所示。所示。式中，式中，R为圆柱体的半径，为圆柱体的半径，H为圆柱体的高度。为圆柱体的高度。3.2.23.2.2集合运算集合运算几何建模中集合运算几何建模中集合运算(Booleanset-(Booleanset-operations)operations)的理的理论依据是集合依据是集合论中的交中的交(intersection)(intersection)、并、并(union)(union)、差、差(difference)(difference)等运算，等运算，集合运算集合运算集合运算集合运算是用来把是用来把是用来把是用来把简单简单形体形体形体形体(体素体素体素体素)组组成成成成复复复复杂杂形形形形体体体体的的的的工具工具工具工具。设有形体有形体A A和和B,B,则集合运算定集合运算定义如下如下(见图3.6),3.6),进行集合操作后几何形体行集合操作后几何形体应保持保持边界良好，界良好，并并应保持初始形状的保持初始形状的维数。数。总之，集合运算仍是几何建模的基本运算方法，可用总之，集合运算仍是几何建模的基本运算方法，可用总之，集合运算仍是几何建模的基本运算方法，可用总之，集合运算仍是几何建模的基本运算方法，可用它去构造较复杂的形体，这也是目前许多几何建模系统它去构造较复杂的形体，这也是目前许多几何建模系统它去构造较复杂的形体，这也是目前许多几何建模系统它去构造较复杂的形体，这也是目前许多几何建模系统采用的基本方法。采用的基本方法。采用的基本方法。采用的基本方法。图图图图3.73.7所示的所示的所示的所示的ABAB是具有良好边界的体素，是具有良好边界的体素，是具有良好边界的体素，是具有良好边界的体素，但经过交运算后，形成了一个没有内部点集但经过交运算后，形成了一个没有内部点集但经过交运算后，形成了一个没有内部点集但经过交运算后，形成了一个没有内部点集的直线，不再是二维实体。的直线，不再是二维实体。的直线，不再是二维实体。的直线，不再是二维实体。尽管这样的集合运算在数学上是正确尽管这样的集合运算在数学上是正确尽管这样的集合运算在数学上是正确尽管这样的集合运算在数学上是正确的，但有时用在几何上是不适当的。的，但有时用在几何上是不适当的。的，但有时用在几何上是不适当的。的，但有时用在几何上是不适当的。运用运用运用运用正则集和正则集合运算的理论正则集和正则集合运算的理论正则集和正则集合运算的理论正则集和正则集合运算的理论可以可以可以可以有效解决上述问题。有效解决上述问题。有效解决上述问题。有效解决上述问题。欧拉特征欧拉特征设设表面表面表面表面s s s s由一个平面模型由一个平面模型由一个平面模型由一个平面模型给给出，且出，且出，且出，且v,e,fv,e,fv,e,fv,e,f分分分分别别表示表示表示表示其其其其顶顶点、点、点、点、边边和小面的个数和小面的个数和小面的个数和小面的个数，那么，那么，那么，那么v-e+fv-e+fv-e+fv-e+f是一个常数，是一个常数，是一个常数，是一个常数，它与它与它与它与s s s s划分形成平面模型的方式无关。划分形成平面模型的方式无关。划分形成平面模型的方式无关。划分形成平面模型的方式无关。该该常数称常数称常数称常数称为为EulerEuler特征特征。v=8,e=13,f=7v-e+f=2欧拉公式欧拉公式欧拉物体欧拉物体满足欧拉公式足欧拉公式V-E+F=2V-E+F=2的形体称的形体称为欧欧拉形体物体拉形体物体(eulershape).(eulershape).欧拉运算欧拉运算增加或者增加或者删除面、除面、边和和顶点点以以生生成新的欧拉物体成新的欧拉物体的的过程程欧拉运算欧拉运算时，必，必须要保要保证欧拉公式欧拉公式和和下述条下述条件件成立，才成立，才能够保证形体的拓扑有效性能够保证形体的拓扑有效性。实体实体没有洞穿没有洞穿没有洞穿没有洞穿过过它；它；它；它；面面没有孔，且被没有孔，且被没有孔，且被没有孔，且被单单条条条条边环围边环围住；住；住；住；边边完全与两个面完全与两个面完全与两个面完全与两个面邻邻接，且每端以一个接，且每端以一个接，且每端以一个接，且每端以一个顶顶点点点点结结束；束；束；束；顶点顶点至少是三条至少是三条至少是三条至少是三条边边的的的的汇汇合点。合点。合点。合点。(c)v=9,e=16,f=951234正正正正则则则则形形形形体体体体 形体的欧拉运算(a)v=8,e=12,f=6(b)v=9,e=14,f=71 251234增加一条边：v=8,e=13,f=7欧拉运算提供了欧拉运算提供了欧拉运算提供了欧拉运算提供了构造形体构造形体构造形体构造形体的合理性检验方法。的合理性检验方法。的合理性检验方法。的合理性检验方法。3.2.33.2.3欧拉运算欧拉运算对于具有于具有有限个孔有限个孔的形体，相的形体，相应的欧拉的欧拉公式公式为:V-E+F-H=2(B-P)式中:V,E,F:形体的顶点、边、面数，H:面上的孔穴数(不穿透的孔),P:面上的孔洞数(穿透的孔),B:形体数。广义欧拉公式v-e+f-r=2(s-h)r:多面体表面上内孔数s:相互分离的多面体数h:贯穿多面体的孔洞数v=16,e=32,f=16r=0,s=1,h=1v=24,e=36,f=15r=3,s=1,h=13.33.3几何几何实体建模方法体建模方法3.3.13.3.1CSGCSG表示法表示法3.3.23.3.2B-repB-rep表示法表示法3.3.33.3.3CSGCSG与与B-repB-rep混合建模方法混合建模方法3.3.43.3.4扫描表示法描表示法3.3.53.3.5参数形体参数形体调用法用法3.33.3几何几何实体建模方法体建模方法几何实体建模研究的重点几何实体建模研究的重点是：是：用用简单几何体构造复几何体构造复杂组合合实体体。即研究：即研究：如何方便地定如何方便地定义形状形状简单的几何的几何体（体素），体（体素），如何如何经过适当的布适当的布尔集集合运算构造出所需的复合运算构造出所需的复杂儿何体，儿何体，并并最最终在在图形形设备上上输出各种出各种视图。3.33.3几何几何实体建模方法体建模方法常用的三维实体建模方法常用的三维实体建模方法有有有有:1.1.单单元分解法元分解法元分解法元分解法(celldecomposition);(celldecomposition);(celldecomposition);(celldecomposition);2.2.空空空空间间枚枚枚枚举举法法法法(spatialoccupancyenumeration)(spatialoccupancyenumeration)(spatialoccupancyenumeration)(spatialoccupancyenumeration);3.3.参数形体参数形体参数形体参数形体调调用法用法用法用法(pureprimitiveinstancing)(pureprimitiveinstancing)(pureprimitiveinstancing)(pureprimitiveinstancing);4.4.CSGCSGCSGCSG表示法表示法表示法表示法;5.5.B-repB-repB-repB-rep表示法表示法表示法表示法;6.6.扫扫描表示法描表示法描表示法描表示法(sweeprepresentation)(sweeprepresentation)(sweeprepresentation)(sweeprepresentation)。目前，目前，目前，目前，实实体建模体建模体建模体建模软软件中件中件中件中使用较多的使用较多的表示法表示法是：是：CSGCSG、B-repB-rep和扫描。和扫描。3.3.1CSG表示法构造实体几何数构造实体几何数(CSG)表示法表示法也称也称也称也称几何体素构造法几何体素构造法，是是是是用简单几何体素构造复杂实体用简单几何体素构造复杂实体的建模方法的建模方法的建模方法的建模方法由罗切斯特由罗切斯特由罗切斯特由罗切斯特(Rochester)(Rochester)大学的大学的大学的大学的VoelckerVoelcker和和和和BequichaBequicha等人在等人在等人在等人在19771977年首先提出。年首先提出。年首先提出。年首先提出。CSGCSG表示法的表示法的表示法的表示法的基本思想基本思想是是是是:一个复杂物体可由一些比较简单、规则的形体一个复杂物体可由一些比较简单、规则的形体一个复杂物体可由一些比较简单、规则的形体一个复杂物体可由一些比较简单、规则的形体(体素体素体素体素)经过布尔经过布尔经过布尔经过布尔运算得到。运算得到。运算得到。运算得到。在几何体素构造中，物体形状的定义是以集合论为在几何体素构造中，物体形状的定义是以集合论为在几何体素构造中，物体形状的定义是以集合论为在几何体素构造中，物体形状的定义是以集合论为基础的，基础的，基础的，基础的，首先是集合本身的定义，首先是集合本身的定义，首先是集合本身的定义，首先是集合本身的定义，其次是集合之间的运算，其次是集合之间的运算，其次是集合之间的运算，其次是集合之间的运算，所以，所以，所以，所以，CSGCSG表示法表示法表示法表示法首先定义有界体素首先定义有界体素首先定义有界体素首先定义有界体素(如立方体、圆柱体、如立方体、圆柱体、如立方体、圆柱体、如立方体、圆柱体、球体、锥体、环状体等球体、锥体、环状体等球体、锥体、环状体等球体、锥体、环状体等)，然后对这些体素施以并、交、差然后对这些体素施以并、交、差然后对这些体素施以并、交、差然后对这些体素施以并、交、差运算。运算。运算。运算。3.3.1CSG表示法由此可见，几何体素构造建立在由此可见，几何体素构造建立在两级模式两级模式的基础之上。的基础之上。第一级第一级是是以半空间为基础定义有限体系以半空间为基础定义有限体系，例例如，球体是一个半空间，圆柱体是两个半空间，立如，球体是一个半空间，圆柱体是两个半空间，立体则是六个半空间。体则是六个半空间。第二级第二级是是对这些体素施以交、并、差运算对这些体素施以交、并、差运算，生成一个二叉树结构生成一个二叉树结构，树的叶节点是是体素或树的叶节点是是体素或变换参数，中间节点集合运算符号，树根是生成的变换参数，中间节点集合运算符号，树根是生成的几何实体。几何实体。3.3.1CSG表示法CSG中，几何体素看成是中，几何体素看成是物体分解为单元物体分解为单元的的结果。结果。在模型被分解为单元以后，在模型被分解为单元以后，通过拼合运算（并通过拼合运算（并集）能使其结合为一体。集）能使其结合为一体。CSG中，有中，有正则布尔运算正则布尔运算(并集、交集、差并集、交集、差集集)，从而既可以增加体素，又可以移去体素从而既可以增加体素，又可以移去体素。U*U*将物体表示成一棵二叉将物体表示成一棵二叉树，称，称为CSGCSG树叶节点叶节点叶节点叶节点-基本体素基本体素基本体素基本体素，如立方体、，如立方体、，如立方体、，如立方体、圆圆柱体、柱体、柱体、柱体、圆圆环环、锥锥体、球体等体、球体等体、球体等体、球体等中间节点中间节点中间节点中间节点-并、交、差并、交、差并、交、差并、交、差正则集合运算正则集合运算正则集合运算正则集合运算U*U*构造立体几何法构造立体几何法(ConstructiveSolidGeometry)数据结构数据结构数据结构数据结构为树状结构为树状结构。树叶为基本体素或变换矩阵，结。树叶为基本体素或变换矩阵，结点为运算，最上面的结点对应着被建模的物体。点为运算，最上面的结点对应着被建模的物体。如下图所示，同一个物体完全可以通过定义不同的基本如下图所示，同一个物体完全可以通过定义不同的基本体素，经过不同的集合运算加以构造。体素，经过不同的集合运算加以构造。CSG结构生成的数据模型比较简单，每个基本体素无结构生成的数据模型比较简单，每个基本体素无需再分解，而是将体素直接存储在数据结构中。需再分解，而是将体素直接存储在数据结构中。采用采用CSG法可以方便地实现对实体的局部修改。法可以方便地实现对实体的局部修改。例例如在物体上倒角、倒圆等，如下图所示。如在物体上倒角、倒圆等，如下图所示。构造立体几何法构造立体几何法(ConstructiveSolidGeometry)数据结构数据结构数据结构数据结构为树状结构为树状结构。树叶为。树叶为基本体基本体素或素或变换矩阵变换矩阵，结结点点为为运算运算，最上面的结点对应着被建模的物体。，最上面的结点对应着被建模的物体。如如如如图图所示，五个所示，五个所示，五个所示，五个“叶叶叶叶”节节点分点分点分点分别别代表体素和平移量，代表体素和平移量，代表体素和平移量，代表体素和平移量，四个内部四个内部四个内部四个内部节节点分点分点分点分别别表示运算表示运算表示运算表示运算结结果，果，果，果，“树树根根根根”表示最表示最表示最表示最终终得到的物体。得到的物体。得到的物体。得到的物体。现现有建模系有建模系有建模系有建模系统为统为用用用用户户提供了基本体素，提供了基本体素，提供了基本体素，提供了基本体素，这这些体素些体素些体素些体素的尺寸、形状、位置、方向由用的尺寸、形状、位置、方向由用的尺寸、形状、位