大学数学-中美大学生数学竞赛试题的推广论文汇总（79篇）.pdf

收稿日期:2006-04-03作者简介:宇永仁(1947-),男,辽宁沈阳人,沈阳师范大学副教授第 25卷第 1期2007 年 1 月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang Normal University(Natural Science)Vol.25,No.1Jan.2007文章编号:1673-5862(2007)01-0127-02从一道数学竞赛题的解法看正确思维的重要性宇永仁1,陈文英2(1.沈阳师范大学 数学与系统科学学院,辽宁 沈阳110034;2.沈阳师范大学 计算中心,辽宁 沈阳110034)摘要:通过一道全国高中数学联赛题的几种不同解法,结合对偶思想、换元思想,说明在解决问题时正确思维的重要性也体现了解题过程中的技巧与方法关键词:正确思维;对偶思想;换元思想中图分类号:O 122.2文献标识码:A解一道具有一定难度的数学题,刚开始也许会感到束手无策,但是,如果认真分析题中给出的条件,寻绎条件与结论之间的内在联系,进行从已知到未知的沟通,就会找到解决问题的思路这里思维的正确与否是解题的关键下面通过一道全国高中数学联赛题谈正确思维的重要性题目:已知 a,b 为正实数,且1a+1b=1 试证:对 n N 有(a+b)n-an-bn22n-2n+1分析:本题是在题设情况下,证明一个不等式成立而不等式左端含 a,b,n,右端只与 n 有关显然,想办法化去 a,b 是证明此题的基本思路而 a,b R+且1a+1b=1 是证明问题唯一可依据的条件因此设法由1a+1b=1 挖掘出其它隐含条件,以确定具体证明方法,由于考虑问题方向不同,下面给出几种不同证法证明:首先由1a+1b=1可推出 3个结论:a+b=ab;ab 4;(a-1)(b-1)=1方法一:左端=(a+b)n-an-bn=(ab)n-an-bn=(an-1)(bn-1)-1=(a-1)(an-1+an-2+a+1)(b-1)(bn-1+bn-2+b+1)-1=(an-1+an-2+a+1)(bn-1+bn-2+b+1)-1(两组 n 个正实数之和的积,要使 a,b 化去,自然想到柯西不等式)abn-1+abn-2+ab+1)2-1(2n-1+2n-2+2+1)2-1=2n-12-12-1=22n-2n+1即(a+b)n-an-bn22n-2n+1成立方法二:左端=(a+b)n-an-bn=C1nan-1b+C2nan-2b2+Cn-1nabn-1设 f=C1nan-1b+C2nan-2b2+Cn-1nabn-1设 f 的对偶式 f(即 f 的反序对偶或自对偶式)f=Cn-1nabn-1+Cn-2na2bn-2+C2nan-2b2+C1nan-1b由 Cmn=Cn-mn,又可确定 f 与 f 之运算,再由均值不等式即可将 a,b 化去f+f=C1n(an-1b+abn-1)+C2n(an-2b2+a2bn-2)+Cn-1n(abn-1+an-1b)2anbn(C1n+C2n+Cn-1n)欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天由 ab 4 及 C0n+C1n+Cnn=2n,又有 f=f易得 f 2n(2n-2)=22n-2n+1,即(a+b)n-an-bn22n-2n+1方法三:由1a+1b=1且 a,b R+,01a 1因此可考虑用换元法去证之设 a=1+t(t 0)由1b=1-1a,可推出 b=1+1t(a+b)n-an-bn=(ab)n-an-bn=(an-1)(bn-1)-1=(a+t)n-11+1tn-1-1=(C1n+C2nt2+Cnntn)C1nt+C2nt2+Cnntn-1(由此形式自然想到应用 Cauchy 不等式使 t 化去)(C1n+C2n+Cnn)2-1=(2n-1)2-1=22 n-2n+1成立通过以上几种证法,说明思维正确是解题关键,在解题过程中灵活应用对偶思想、换元思想、均值不等式、柯西不等式等并结合常用的数学思想和方法,就会使问题迎刃而解参考文献:1金朝枢,苏健一,宇永仁高中数学解题方法与技巧 M沈阳:辽宁人民出版社,1994:129-169 2张桦运用柯西不等式解题的若干技巧 J中学数学,1993(4):22-24 3罗会元配偶、运算、解题中学数学 J1991(7):14-15 4傅世球高中数学解题中隐含条件的挖掘 J数学通报,2005(9):57-59Find out the Importance of Right Thinking fromSolution of a Problem in Mathematics ContestY U Y ong-ren1,CHEN Wen-ying2(1.College of Mathematics and Systems Science,Shenyang Normal University,Shenyang 110034,China;2.Computer Center,Shenyang Normal University,Shenyang 110034,China)Abstract:From three solutions of a problem in the National Mathematics competation for Senior School Students,andcombine these thoughts with dual and changing,to prove the importance of the right thinking in dealing with problems.It alsoindicates the methods and skills in solving.Key words:right thinking;dual thought;ideal of changing128沈阳师范大学学报(自然科学版)第 25卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天第 18卷第 3期工科数学Vol.18,.32002年 6月JOURNAL OF M AT HEMATICS FOR TECHNOLOGYJun.2002从一道数学竞赛题谈起赵征权(合肥工业大学 数学系,合肥230009)第四届(1992年)北京市大学生数学竞赛(非数学专业)有这样一道试题:若函数 f(x)对一切 uv 均有f(u)-f(v)u-v=T f(u)+U f(v),(1)其中 T,U 0且 T+U=1,试求 f(x)的表达式.本题有多种解法,现介绍两种不同于 1的解法.解法一 1 若 f(x)k(k为常数),则 f(x)为一次函数,问题已经解决.2 若 f(x)不恒为常数,则至少存在两点 x1与 x2使 f(x1)f(x2),在(1)式中分别令 u=x1,v=x2及 u=x2,v=x1,可得f(x1)-f(x2)x1-x2=T f(x1)+U f(x2),(2)f(x2)-f(x1)x2-x1=T f(x2)+U f(x1).(3)(2)-(3)可得,0=(U-T)f(x2)-f(x1).因为 f(x1)f(x2),所以必有 T=U=12.由此,问题的条件可改为对任意两个不同的点 u,v,均有f(u)-f(v)u-v=12f(u)+f(v).(4)下证 f(x)必为一个二次多项式.为证命题的结论,可取定 v=0,u=x(可变化),并设 f(0)=a,f(0)=b.代入(4)式,可得f(x)-ax=12f(x)+b.上述等式可视为 f(x)的一阶线性微分方程.解该方程,可得 f(x)=a+bx+cx2(c为任意常数),即 f(x)为二次多项式.解法二前半部分与解法一相同,因而只要证明:当 f(x)不恒为常数且对任意两个不同的点 u,v,均有f(u)-f(v)u-v=12f(u)+f(v)时,f(x)必为二次多项式.因而只要证明 f(x)必为一次函数.为此可设 x1,x2,x3为任意三个互不相同的点,分别把 x1,x2;x1,x3;x2,x3代入(4)式,可得f(x1)-f(x2)x1-x2=12f(x1)+f(x2),(5)f(x1)-f(x3)x1-x3=12f(x1)+f(x3),(6)收稿日期 2001-10-22欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天f(x2)-f(x3)x2-x3=12f(x2)+f(x3).(7)(5)-(6)并除以 x2-x3,以及(6)-(7)并除以 x1-x2,经整理可得f(x1)(x1-x2)(x1-x3)+f(x2)(x2-x1)(x2-x3)+f(x3)(x3-x1)(x3-x2)=12f(x1)-f(x2)x1-x2=12f(x1)-f(x3)x1-x3.由于 x1,x2,x3的任意性,上式说明了函数 y=f(x)的曲线上任意两点的连线的斜率相同,从而 f(x)必为一次函数,进一步地可得到 f(x)是二次多项式.本题的前提条件中等式的左侧实质上是函数 f(x)在 u,v两点处的差商,问题的结论说明了函数在两点处的差商与它的导数之间的内在联系,即当 f(x)在任意两点处的差商恒等于它在相应的两点处的导数均值时,它一定是一个二次多项式.众所周知,函数的 n阶差商与它的 n阶导数之间同样也有着内在的联系,由此可设想把问题推广为如下命题.命题设 f(x)在(-,+)内有直到 n阶导数,且对任意的 n+1个互不相同的点 x0,x1,xn,均有等式ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn)=ni=0Tif(n)(xi)(8)成立,其中 T0,T1,Tn为给定的 n+1个常数,那么 f(x)必为 n+1次多项式.为证明上述命题我们需要下面的引理.引理设 f(x)在(-,+)内有 n阶导数存在,且对任意的 n+1个互不相同的点 x1,xn,均有等式ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-x1)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn)=ni=0Tif(n)(xi)成立,其中 T0,Tn是 n+1个常数,若 f(n)(x)不恒为常数,则一定有 T0=T1=Tn.证因为 f(n)(x)不恒为常数,因而一定存在两点 u,v 使 f(n)(u)f(n)(v).现分别令 x0=u,x1=v,而 x2,xn为任意 n-1个与 u,v 不同的点且 x2,xn互不相同,代入(8)式中可得f(u)(u-v)(u-x2)(u-xn)+f(v)(v-u)(v-x2)(v-xn)+f(xn)(xn-u)(xn-v)(xn-xn-1)=T0f(n)(u)+T1f(n)(v)+ni=2Tif(n)(xi).(9)同理,取 x0=v,x1=u,而 x2,xn仍为前面所取得的 n-1个点同样地代入(8)式,可得f(v)(v-u)(v-x2)(v-xn)+f(u)(u-v)(u-x2)(u-xn)+f(xn)(xn-v)(xn-u)(xn-xn-1)=T0f(n)(v)+T1f(n)(u)+ni=2Tif(n)(xi).(10)(9)-(10),可得 0=(T0-T1)f(n)(u)-f(n)(v).因为 f(n)(u)f(n)(v),所以 T0-T1=0,从而 T0=T1.同理可证得 T2=T3=Tn.命题的证明(i)若 f(n)(x)k(k为常数),则 f(x)是一个次数不超过 n的多项式,命题成立.(ii)若 f(n)(x)不恒为常数,由前面的引理可知此时一定有 T0=T1=Tn=T.这样命题的前提条件可改为对任意 n+1个互不相同的点 x0,x1,xn,均有等式ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn)=Tni=0f(n)(xi)(11)成立.如果记 f(x0,x1,xn)=ni=0f(xi)(xi-x0)(xi-xi-1)(xi-xi+1)(xi-xn),相应的等式可改写为f(x0,x1,xn)=Tni=0f(n)(xi).(12)设 x0,x1,xn+1是 n+2个任取的互不相同的点,分别把 x0,x1,xn-1,xn+1及 x1,x2,xn+1代入99第 3期赵征权:从一道数学竞赛题谈起欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天(12)式,可得f(x0,x1,xn-1,xn+1)=Tn-1i=0f(n)(xi)+T f(n)(xn+1),(13)f(x1,x2,xn+1)=Tn+1i=1f(n)(xi).(14)(12)-(13)除以 xn-xn+1,经计算可得f(x0,x1,xn,xn+1)=Tf(n)(xn)-f(n)(xn+1)xn-xn+1.(13)-(14)除以 xn-x0,可得f(x0,x1,xn,xn+1)=Tf(n)(xn)-f(n)(x0)xn-x0.从而对任意的三点 x0,xn,xn+1,均有f(n)(xn)-f(n)(xn+1)xn-xn+1=f(n)(xn)-f(n)(x0)xn-x0,即 f(n)(x)为一次函数,因而 f(x)必为 n+1次多项式.注容易验证,若 f(x)为次数低于 n的多项式时命题中的常数T0,T1,Tn可以取任意值,而 f(x)为 n次多项式时只要取满足关系式ni=0Ti=1n!的任意一组常数即可,而当 f(x)为 n+1次多项式时,必有 T0=T1=an=1(n+1)!成立.参考文献 1李心灿等.大学生数学竞赛试题研究生入学考试难题选编.北京:高等教育出版社,1997.100工科数学第 17卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天 收稿日期 ；修改日期 基金项目河北省自然科学基金资助项目（）作者简介崔凯华（），女，本科在读，光电信息科学与工程专业 ：第 卷第期大学数学 ，年 月 第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广崔凯华，曲宇勋，蒋恺，石粒力（天津大学 数学学院，天津 ）摘要对第六届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）的一道竞赛题进行了推广，探索了高维和高阶形式下的积分与积分定义差值的无穷小的运算性质 关键词大学生数学竞赛；积分；积分的定义 中图分类号 文献标识码 文章编号 （）引言为促进高校数学课程的建设和改革，激发同学们对数学的兴趣，培养其分析问题和解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，中国数学会自 年开始，每年举办一届全国大学生数学竞赛 参加这项活动，有助于全面展示高等数学教学水平和教学改革成果，有助于学生夯实高等数学知识、拓展技能，对于考研学生复习高等数学和全面提高大学生数学综合运用能力起很大的促进作用 大学生数学竞赛试题中，有很多题目非常好，例如第六届大学生数学竞赛预赛（非数学类）的第六题，反映了积分和其定义式之间相差的等价无穷小的性质关于此类题型，在近年来被广泛地考察，所以基于此类题型，我们从两个方向继续推广这个结论，使之具有更一般的意义 第六题如下设，求 （）解令（），则 （）烄烆（）烌烎 烄烆（）烌烎 （）（）熿燀（）（）（）燄燅（）由第一积分中值定理得（）式 （）（）（）（）欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天由拉格朗日中值定理得 （）（）（）（）（）（）（）（）（）事实上，在裴礼文所著 数学分析中的典型问题与方法（，例 ）有这样一道题 设（）在，上可导，（）在，可积，瓔，记（）（）试证 （）（）由此可见，本竞赛题是上述题目的特例主要结论引理若（）在，上不变号，（）在，上的值域，（）在，上可导且导函数有界，则（，），使得（）（）（）（）证因为（）有界，且（），所以（），（），（）又因为（）不变号，不妨令（）在区间内恒成立，故（）（）（）（）（）当时，令（），（），不妨设，则由 定理可知存在（，）（，），使得（）（）（）（）；（）当时，易知（）（为常数），存在（，），使得（）（）（）（）故命题得证 对于多元函数一阶情况的推广定理 设（，）在区域，上具有一阶连续偏导数，令（），（），则有 （，）（）（）（，）（，）（，），（，）（）证 （，）（）（），（，），（）（）（）（）（）（）（，）（）（），（，）大学数学第 卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天 ，（）（）（）（）（）（）（，），（）（）（）（）（）（）（，），（）（）（）（）（）（）（，）（，）（）使用二元函数的 公式可得（）式 ，（）（）（）（）（）（）（，）（）（，）（），（）（其中介于与之间，介于与之间）对上式的每一项分析，由于在每个小区间上，各偏导存在最大值和最小值，即，因为，积分值为负值，故（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）由连续函数的介值定理，每个小区间上必存在点，（），其中（）（）（），（）（）（），使得（）（）（）（）（）（）（，）（）（，）（）（）（）（）（）（）（），每一项做如上处理并相加得（）式 （，）（）（）（）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（）（）（，）（）因此 （，）（）（），（，）（）（）（，）（）（）（，）（）注意到 （）（）（，）（，），（）（）（，）（，）因此（）式（）（，）（）（，）第期崔凯华，等：第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天（，）（，），（，）（）故结论得证同理，我们可以得到元的情况：设（，）在区域，上具有一阶连续偏导数，令（），则有 ，（）（）（）（）（，）（，）（，（），（），（）（）令（，），则上式!（）特别地，当，时（）式（）!（，）（）例如，时 （）（）（）（）（），（）时 （，）（），（），（）（）（）（）具有非常简洁直观的形式可见，在一阶的时候，黎曼积分的近似与积分差值是的同阶无穷小，其系数仅仅与边界值有关系而高阶情况下，也有类似结论，此时的边界值，指的是（）维空间上关于边界值在边界上的积分 至此，关于多元函数的情况讨论结束由于在一阶情况下，我们使用了拉格朗日中值定理，即一阶的泰勒定理，所以，我们在高阶的推广中，就希望能够仿照原来的证明方法，原来是通过拉格朗日中值定理，将阶项减去从而引入阶项，现在则是通过泰勒公式将阶到（）阶项全部减去以引出阶项对于泰勒公式有展开点的选取的问题，这里分别通过端点展开和区间中点展开来讨论这个推广 对于一元函数高阶情况的推广（端点展开）定理 已知（）的阶导数连续，阶导数存在且有界，则有 （）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）（瓔）（）证因为（）（）！（）大学数学第 卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天（烄烆）（）（）（）（）烌烎！，（）所以 （）（）（）！（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎！熿燀燄燅 （）（）（）（）（）（）烄烆烌烎！熿燀燄燅 （）（）（）（）（）烄烆烌烎熿燀燄燅！（）（）在处 展开（注意到（）减去的正好是（）展开的前项），上式变为 （）（）（）（）（）熿燀燄燅！（）（）由引理可知 （）（）！（）（）（）（）（）！（）（）（）（）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）（）故命题得证 对于一元函数高阶情况的推广（中点展开）定理 已知（）具有阶连续导数，阶导数存在且有界，则有 （）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）（瓔）（）证因为（）（）！（）（）（烄烆）（）（）（）！（）（）烌烎），（）所以 （）（）（）！（）（）熿燀（）（）（烄烆）（）（）（）！（）（）烌烎）燄燅第期崔凯华，等：第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天 熿燀（）（）（烄烆）（）（）！（）（）烌烎）燄燅（）（）在（）处 展开（注意到（）减去的正好是（）展开的前项）（）式 （）（）（）（）！（）（）（）由引理得 （）（）（）！（）（）（）（）（）！（）（）（）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）！（）（）（）（）（）故命题得证注我们的推广定理，其核心就在于对于余项的处理上，对余项使用引理，从而配凑出定积分的形式，得到了定量的式子 所以在余项为偶数阶时，由于对应多项式次幂是偶次，有恒正的性质，可以采用中值定理的方式，而余项是奇数阶时，在中点处展开的多项式在整个区间上有正有负，无法直接使用中值定理，若将奇数阶取正负的情况分别讨论，又过于繁琐且无有效的结论（得到的式子不符合定积分定义式），所以我们只对其中余项为偶数阶的情况讨论因此，高阶形式下的积分与积分定义差值的无穷小的运算性质（中点展开）讨论完毕 应用举例例 设（，）在区域（，），上具有一阶连续偏导数，求极限 （，），（）解由定理 ，此极限值为原式（，）（，）（）（，）（，）（，）（，）（）例 求极限 （）解令（）原式 （）（）（）（）（）（），（）对于上式我们使用定理 ，有大学数学第 卷欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天上式（）！（）（）（）（）（）例（陕西省第九届大学生数学竞赛复赛试题）求极限 （）（）解由定理 ，取，若函数（）在，上存在连续的二阶导数，则有 （）（）（）（）（）（）（），（）此题中取，（），原式 注本文指导教师为张玉琴老师 参考文献张士诚一道大学生数学竞赛题的推广大学数学，（）：裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京：高等教育出版社，（，）：（），：；第期崔凯华，等：第六届全国大学生数学竞赛预赛一道题的推广欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天第 18 卷第 4 期江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报JOURNAL OF JIANGSU TEACHERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVol.18,No.4Aug.,20122012 年 8 月0引言2012 年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛题（本科一级）中有如下一道试题：设 f（x）在 x=0处三阶可导，且 f（0）=0，f（0）=3，求limx0f（ex-1）-f（x）x3。此题看起来简单，但得高分的不多，不少学生都能做一点，就是写不对过程和算不出结果，其关键在于学生对此题如何理解和用什么方法去解题缺少一定的认识。事实上，此题有多种解法，这里先给出此题的 6 种不同的解法，后讨论它的一般形式，以供大家参考。1相关引理为了解出此题，需要以下引理。引理 1（洛比达(L Hospital)法则）1设（1）limxaf（x）=limxag（x）=0；（2）在点 a 的某去心邻域内，f（x）和 g（x）都存在且 g（x）0；（3）limxaf（x）g（x）存在；则limxaf（x）g（x）=limxaf（x）g（x）。引理 2（拉格朗日(Lagrange)中值定理）1如果函数 f（x）满足（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；则在开区间（a，b）内至少有一点 （ab），使得 f（b）-f（a）=f（）（b-a）。引理 3（柯西(Cauchy)中值定理）1如果函数 f（x）与 g（x）满足对一道高等数学竞赛题解题方法的探索金 亚 东，施 俊，谢 正 卫，蒋 卫 军（江苏技术师范学院 数理学院，江苏 常州213001）摘要：给出了 2012 年江苏省高等数学竞赛题的一道求极限试题的 6 种不同的解法，比较了 6 种不同解法的特点，并通过第六种解法给出了它的一般形式。关键词：洛比达法则；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式中图分类号：G642.0文献标识码：A文章编号：1674-8522（2012）04-0144-03收稿日期：2012-06-20基金项目：江苏技术师范学院教学研究项目（编号：JG11039）作者简介：金亚东（1979-）,男，江苏常州人，讲师，硕士，主要研究方向为几何与拓扑。欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一 x（a，b），有 g（x）0；则在开区间（a，b）内至少有一点 （ab），使得f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f（）g（）。引理 4（泰勒(Taylor)公式）2-3如果函数 f（x）在含有 x0的某个开区间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，则对任一 x（a，b），有 f（x）=f（x0）+f（x0）（x-x0）+f（x0）2！（x-x0）2+f（x0）n！（x-x0）n+f（n+1）（）（n+1）！（x-x0）n+1或 f（x）=f（x0）+f（x0）（x-x0）+f（x0）2！（x-x0）2+f（x0）n！（x-x0）n+o（x-x0）xxn。其中此定理的条件在3中可为减弱为函数 f（x）在含有 x0的某个开区间（a，b）内具有直到 n 阶的导数，上式也成立。2不同解法解法 1 由洛比达法则和导数的定义可得limx0f（ex-1）-f（x）x3=limx0exf（ex-1）-f（x）3x2=limx0exf（ex-1）+e2xf（ex-1）-f（x）6x=16limx0（exf（ex-1）-f（0）x+e2xf（ex-1）-f（0）x-f（x）-f（0）x+f（0）e2x-1x）=16（f（0）+f苁（0）-f苁（0）+6）=32。解法 2limx0f（ex-1）-f（x）x3=limx0exf（ex-1）-f（x）3x2=limx0（ex-1）f（ex-1）3x2+f（ex-1）-f（x）3x2）=limx0 xf（ex-1）3x2+limx0f（ex-1）-f（x）3x2=limx0f（ex-1）-f（0）3x+limx0exf（ex-1）-f（x）6x=f（0）3+limx0（ex-1）f（ex-1）+f（ex-1）-f（x）6x=1+limx0（ex-1）f（ex-1）6x+limx0f（ex-1）-f（x）6x=1+f（0）6+limx0f（ex-1）-f（x）ex-1-xex-1-x6x=1+36+f苁（0）0=32。解法 3由2中的泰勒公式可知 f（ex-1）=f（x）+f（x）（ex-1-x）+f（x）2！（ex-1-x）2+o（x3），则 f（ex-1）-f（x）=f（x）（ex-1-x）+f（x）2！（ex-1-x）2+o（x3）。于是limx0f（ex-1）-f（x）x3=limx0f（x）（ex-1-x）+f（x）2！（ex-1-x）2+o（x3）x3=limx0f（x）（ex-1-x）x3+limx0f（x）f（ex-1-x）22x3=limx0f（x）（ex-1-x）x3+limx0f（x）f（ex-1-x）22x3=limx0f（x）-f（0）xex-1-xx2+limx0f（x）f（12x2）22x3=f（0）limx012x2x2+0=32。解法 4由3中的泰勒公式可知 f（ex-1）=f（0）+f（0）（ex-1）+f（0）2！（ex-1）2+f苁（0）3！（ex-1）3+o1（x3）和f（x）=f（0）+f（0）x+f（0）2！x2+f苁（0）3！x3+o2（x3）。于是limx0f（ex-1）-f（x）x3=limx0f（0）2（ex-1）2-x2）+f苁（0）6（ex-1-x）3-x3）+o1（x3）-o2（x3）x3=f（0）2limx0（ex-1）2-x2x3+0=f（0）2limx02（ex-1）ex-2x3x2=f（0）2 limx02（ex-1）ex+2e2x-26x=f（0）2 limx0（ex-1）（2ex+2ex+2）6x=32。第 4 期金亚东 施 俊 谢正卫 等：对一道高等数学竞赛题解题方法的探索145欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天解法 5由拉格朗日中值定理和导数的定义可得limx0f（ex-1）-f（x）x3=limx0f（）（ex-1-x）x3（其中 在 ex-1 和 x 之间）=limx0f（）-f（0）xex-1-xx2=limx0f（）-f（0）limx0 x limx0ex-1-xx2=f（0）1 limx012x2x2=32。解法 6由柯西中值定理和导数的定义可得limx0f（ex-1）-f（x）x3=limx0f（ex-1）-f（x）（ex-1）2-x2（ex-1）2-x2x3=limx0f（）2 limx02（ex-1）ex-2x3x2=limx0f（）-f（0）2 limx02（ex-1）ex+2e2x-26x=f（0）2 limx0（ex-1）（2ex+2ex+2）6x=32。综上所述，解法 1，解法 2，解法 4 用到 f（x）有三阶导数的条件，而解法 3，解法 5，解法 6 只要用到 f（x）有二阶导数的条件。解法 1 用洛比达法则的方法去求函数的极限是学生通常首先想到的方法，大部分学生一上来就用三次洛比达法则得到结果，但是这题有一陷阱，不能用第三次洛比达法则，因为少了一条件“三阶导数连续”。解法 2 是在解法 1 的基础上变了一下形式。解法 3 主要是用泰勒公式，用的是在 x 的某邻域内把 f（x）展开成泰勒公式（2中的泰勒公式），这种把 f（x）展开成泰勒公式的方法不容易想到，大多数是在 0 的某邻域内把 f（x）展开成泰勒公式，但是这种泰勒公式不能解出最后的结论，同样缺少了一条件“三阶导数连续”。只有在3中函数 f（x）具有直到 n 阶的导数，f（x）可展开成上述的泰勒公式（此公式只有专业数学的数学分析里有），这样就得到解法 4。解法 5 主要是用拉格朗日中值定理和夹逼定理，这种方法很不容易想到，此方法先要对 f（ex-1）-f（x）用拉格朗日中值定理，再对limx0 x用夹逼定理求出此极限，此方法难在求limx0 x不会。解法 6 主要是柯西中值定理，这种方法最不容易想到，此方法要会构造柯西中值定理的两函数，这是此方法的要点和难点，这也是六种方法中最一般的方法。通过解法 6 可以得到此题的一般形式，同时可以用 n-1 次柯西中值定理得到此题的一般形式的结果。虽然其他 4 种解法也可以得到此题的一般形式，但用其他 5 种解法得不到结果。3一般形式定理 1设 f（x）在 x=0 处 n 阶可导，且 f（0）=f(n-1)（0）=0,f(n)（0）=a，则limx0f（ex-1）-f（x）xn=a2 (n-1)!。解由柯西中值定理和导数的定义可得limx0f（ex-1）-f（x）xn=limx0f（ex-1）-f（x）（ex-1）n-xn（ex-1）-xnxn+1=limx0f（）nn-1 limx0（ex-1）n-xnxn+1=柯西中值定理再用 n-2 次limx0f（n-1）（）(n（n-1）2)limx0（ex-1x）n-1x=1n!limx0f（n-1）（）-f（n-1）（0）limx0ennex-1x-1x=f（n）（0）n!limx0nnex-1x-1x=f（n）（0）n!limx0n（ex-1x-1）x=f（n）（0）n!limx0n（ex-1-x）x2=f（n）（0）n!limx0n12x2x2=a2(n-1)!。参考文献：1 吴建成.高等数学M.北京：高等教育出版社，2008.2 同济大学数学系.高等数学（上册）M.北京：高等教育出版社，2007.3 华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，2010.（下转第 155 页）146第 18 卷江 苏 技 术 师 范 学 院 学 报欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天第 4 期丁先文 袁 婷 邹 舒：概率论与数理统计课程教学的几点思考155Some thoughts in teaching probability and statisticsDING Xian-wen，YUAN Ting，ZOU Shu（School of Mathematics and Physics,Jiangsu Teachers University of Technology,Changzhou 213001,China）Abstract:Based on the teaching practices,this paper discusses the following three questions.Namely,the relationships between conditional probability and product probability,the independence of two di-mensional discrete random variables and the judgment of whether a data set is subject to normal distri-bution.And finallysome conclusions are found.Key words:probabilityand statistics；teaching；discussion；conclusion责任编辑张志钊Analysis and Researching on an Examination Question ofAdvanced Mathematics CompetitionJIN Ya-dong,SHI Jun,XIE Zheng-wei,JIANG Wei-jun（School of Mathematics and Physics,Jiangsu Teachers University of Technology,Changzhou 213003,China）Abstract:This paper gives six different methods of solving a limit question on advanced mathematicscompetiton of Jiangsu province in 2012.We campared the characters of six different methods.Then weestablished a geneeal formofit bysixth method.Key words:LHospital rule;lagrange mean-value theorem;Cauchy mean-value theorem;Taylorformula责任编辑张志钊（上接第 146 页）欢迎加入大学生数学竞赛及考研：122307834 收集整理：我欲封天收稿日期:2010-10-08.基金项目:安康学院教改项目,地方高校“数学”基础课考研教学与辅导的方案设计研究,项目编号:jg02108.作者简介:石卫国(1961-),男,陕西省西安市人,副教授,研究方向:数学教育.大学教学多元函数积分学竞赛题的回顾与展望石卫国(陕西省安康学院 数学系,陕西 安康 725000)摘要:对多元函数积分学在历年数学竞赛中知识点的回顾及统计分析,探究其试题来源,通过对未来试题的预测,提出备考建议。关键词:重积分;曲线积分;曲面积分;数学竞赛中图分类号:O172文献标识码:A 文章编号:1006-7353(2010)06-0017-021 竞赛题的特点比照陕西省大学生(本科)高等数学竞赛至今已举行 8 次,中国大学生数学竞赛赛区赛也已举行2次,每次试题(陕西省除第一次外)均有涉及多元函数积分学的解答题,具体的试题特点呈现如下:陕西省大学生(本科)高等数学竞赛时间顺序分数(满分:120-150)考查的知识点(除基本概念、计算外)第二次(1990 年)5,10,12,138,8,10,10三重积分的球面坐标变换,第一类曲面积分的物理意义,曲线积分与路径无关的条件,两类曲面积分的关系。第三次(1999 年)8,1010,10两类曲面积分的关系,高斯公式,重积分的物理应用(重心,转动惯量)。第四次(2001 年)(初赛)(复赛)11,126,78,810,10重积分的对称性,重积分的物理应用(转动惯量),高斯公式.第五次(2004 年)(初赛)(复赛)4,10,206,84