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古典概型和几何概型练习卷

7

1（本小题满分12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中
抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（1） 求z的值.
（2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.
(3)样本的平均数为,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.
2（本小题满分12分）设集合其中是先后随机投掷2枚正方体骰子出现的点数，
（1）求的概率
（2）求点正好落在区域上的概率。
3、(本小题满分12分)
某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取
48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（3）已知，，求高三年级中女生比男生多的概率．

解：（1） ，
（2）高三年级人数为
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为（名）．
（3）设高三年级女生比男生多的事件为A，高三年级女生、男生数记为，由
（2）知，且、，基本事件空间包含的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），┅，（255，245）共11个．事件A包含的基本事件不（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个．

4．（本小题满分12分）
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为．
（1）求事件“”的概率；
（2）求事件“”的概率；
解：设表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：，，，，，，，，……，，，共36个基本事件． （4分）
（1）用表示事件“”，
则的结果有，，，共3个基本事件．
∴． （8分）
（2）用表示事件“”，
则的结果有，，，，，，，，共8个基本事件．
∴． （12分）
5（本小题满分13分）某校随机抽取100名学生高中学业水平考试的X科成绩，并将成绩分成5组，得到频率分布表（部分）如下．
⑴直接写出频率分布表中①②③的值；
⑵如果每组学生的平均分都是分组端点的平均值（例如，第1组5个学生的平均分是），估计该校学生本次学业水平测试X科的平均分；

解⑴从下至下，三个空依次是、、……3分．
⑵第2、3、4、5组学生的平均分依次是
、、、……5分，
该校学生X科的平均分……7分，
……8分．
6．（本小题满分12分）已知直线：，直线：，其中，．
（1）求直线的概率；
（2）求直线与的交点位于第一象限的概率．
解：（1）解：直线的斜率，直线的斜率．
设事件为“直线”．
，的总事件数为，，…，，，，…，，…，，共36种．
若，则，即，即．
满足条件的实数对有、、共三种情形．
所以．
答：直线的概率为．
（2）解：设事件为“直线与的交点位于第一象限”，由于直线与有交点，则．
联立方程组解得
因为直线与的交点位于第一象限，则
即解得．
，的总事件数为，，…，，，，…，，…，，共36种．
满足条件的实数对有、、、、、共六种．
所以．
答：直线与的交点位于第一象限的概率为．
7．（本小题满分12分）一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求：
（Ⅰ）连续取两次都是白球的概率；
（Ⅱ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，连续取三次分数之和为4分的概率．
解：（1）设连续取两次的事件总数为：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以．
…………………………… 2分
设事件A：连续取两次都是白球，（白1，白1）（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个， ……………………… 4分
所以，。 ……………………… 6分
（2）连续取三次的基本事件总数为N：（红，红，红），（红，红，白1），（红，红，白2），（红，红，黑），有4个；（红，白1，红），（红，白1，白1），等等也是4个，如此，个； …………………………… 8分
设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：
（红，白1，白1），（红，白1，白2），（红，白2，白1），（红，白2，白2），
（白1，红，白1），（白1，红，白2），（白2，红，白1），（白2，红，白2），
（白1，白1，红），（白1，白2，红），（白2，白1，红），（白2，白2，红），
（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），
共15个基本事件，…… 10分
所以，．
8．（本小题满分12分）设集合，，且，用随机变量表示方程的实根的个数，若，求方程有实根的概率；
解：1）因为，所以
当时，的情况数为 ……2分
当时，，的情况数为…4分
记“方程”为事件A，若使方程有实根
则 ，当 时不合题意 ……………7分
故 ，即 ，
则满足条件的实数对为……9分
则P(A) = ……12分

9．（本小题满分12分）已知向量，．（1）若，分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率；（2）若，求满足>0的概率．
（1）解：设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分
用表示事件“”，即.……………3分
则包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．…………………………5分
∴．
答：事件“”的概率为．………6分
（2）解：用表示事件“”，即.………………7分
试验的全部结果所构成的区域为，……8分
构成事件的区域为，
如图所示．………10分
所以所求的概率为．
答：事件“”的概率为．…12分

10.（本小题满分12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，
再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定
在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层
抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
求第3、4、5组每组各抽取多少名
学生进入第二轮面试？
(3)在（2）的前提下，学校决定在6名
学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，
求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

解：（1）由题可知，第2组的频数为人, …………… 1分
第3组的频率为, ………2分
频率分布直方图如右: … 5分
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组:人, ………… 6分
第4组:人, ………… 7分
第5组:人, ………… 8分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
（3）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: ，，，，，
…………10分
其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有:
9中可能, …………11分
所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为…………12分
11．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点．
（Ⅰ）若，，求点位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若，，求的概率．
解：（Ⅰ）若，，则点的个数共有个，列举如下：
，，，，，，，，，，，．
当点的坐标为，，，时，点位于第一象限，
故点位于第一象限的概率为． ………………… 5分
（Ⅱ）这是一个几何概率模型．
如图，若，，则区域的面积是．
满足的点构成的区域为
，即图中的阴影部分． …………… 9分
易知，， 所以扇形的面积是，的面积是，
故的概率为． ………… 13分

12．（本小题满分12分）一工厂生产甲, 乙, 丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml和700ml两种型号,某天的产量如右表(单位:个):
按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个.
（1）求z的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml杯子的概率．

解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得,
,所以x=40. ------2分
则100－40－25＝35，所以，
n=7000，
故z＝2500 ---6分
(2) 设所抽样本中有m个500ml杯子,
因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,
所以,解得m=2 -------9分
也就是抽取了2个500ml杯子,3个700ml杯子,
分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为
(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)
共10个,其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件:
(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,
至少有1个500ml杯子的概率为. -----------12分