概率论与数理统计猴博士.doc

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概率论第一课
一、 无放回类题目
例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？
P=C 条件一总条件一取 × C 条件二总条件二取C 总取
P=C42×C32C74

例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？
P=C 条件一总条件一取 × C 条件二总条件二取C 总取
P=C52×C63C115
关于 Cnm 的计算：

二、 有放回类题目
例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？

例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？

三、 需要画图的题目
例1：已知0<x<1，0<y<1，求x>y的概率是多少？

① 表现已知条件
② 表现待求概率的条件
③ 找出①②重合部分
④ P(x>y)=  ③ ①=  1 2
例2：已知-1<x<1，-1<y<1，求x²+y²<1的概率是多少？

Px2+y2<1=S圆S正=π×124=π4
四、 条件概率
公式：P(B|A)=P(AB)P(A)
解释：
事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3
事件B：掷一次骰子，朝上点数是6
P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率
P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率
P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率
例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？
事件A：小明得60分以上
事件B：小明得80分以上
P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率
P(AB)：小明得80分以上的概率
P(B|A)=P(AB)P(A)=80％85％=1617

例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会
发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水
的概率是多少？
事件A：今年没有发生洪水
事件B：明年发生洪水
P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率
P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率

P(B|A)=P(AB)P(A)=85％-80％1-80％=5％20％=14
五、 全概率公式
公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)…

例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。
P(有客车发生故障)
=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)
=20%×0.002+80%×0.01
=0.0084

例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？
P(抽中的员工通过考核)
=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)
=50％×100％+50％×1％
=50.5％
六、 贝叶斯公式
公式：A、B…等个体均可能发生某事，则
P(已知有个体发生某事时，是A发生的)=P(A出现)·P(A发生某事)P(发生某事)

例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。
P(有客车发生故障)
=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)
=20%×0.002+80%×0.01
=0.0084
P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)
=P(高速客车出现)·P(高速客车故障)P(有客车故障)
=20％·0.0020.0084
=121

例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个
考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率
是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，
被抽中的员工是傻狍子的概率。
P(抽中的员工通过考核)
=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)
=50％×100％+50％×1％
=50.5％
P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)
=P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)
=50％·1％50.5％
=1101

概率论第二课
七、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一项，求另一项
公式：fX(x)=FX′(x) FX(x)=-∞xfX(x)dx
例1：设X的分布函数 FX(x)=0，x<1 lnx，1≤x<e1，x≥e ，求X的密度函数 fX(x)。fX(x)=FX′(x)=0'，x<1 (lnx)'，1≤x<e1'，x≥e ⇒0，x<1 1x，1≤x<e0，x≥e ⇒1x，1≤x<e0，其他
例2：设X的密度函数 fX(x)=-12x+1，0≤x≤20，其他 ，求X的分布
函数 FX(x)。
当x>2时，FX(x)=-∞xfX(x)dx=1
当0≤x≤2时，FX(x)=-∞xfX(x)dx=-x24+x
当x<0时，FX(x)=-∞xfX(x)dx=-∞x0dx=0
FX(x)=0，x<0 -x24+x，0≤x≤21，x>2

八、 已知 FX(x)与 fX(x)中的一种，求P
公式：P(a<X<b)=FX(b)-FX(a)=abfX(x)dx
例1：设X的分布函数FX(x)= 0，x<1 lnx，1≤x<e1，x≥e ，求概率Px2<4
P(x2<4)=P(-2<x<2)
=FX(2)-FX(-2)
=ln2-0
=ln2
例2：设X的密度函数fX(x)=-12x+1，0≤x≤20，其他 ，求概率P(-1<x<2)
P(-1<x<2)=-12fX(x)dx
=-10fX(x)dx+02fX(x)dx
=-100dx+02(-12x+1)dx
=0+1
=1
九、 FX(x)或 fX(x)含未知数，求未知数
公式：FX(-∞)=0，FX(+∞)=1，F上(分段点)=F下(分段点)
-∞+∞fX(x)dx=1
例1：设X的分布函数 FX(x)=0，x≤0 a+be-λx，x>0(λ>0)，求a和b。
FX(+∞)=1 ⇒ a+be-λ·(+∞)=1
⇒ a+be-∞=1 ⇒ a+be+∞=1 ⇒ a=1
F上(0)=F下(0) ⇒ 0=a+be-λ·(0) ⇒ 0=a+be0 ⇒ a+b=0
a=1 a+b=0 ⇒ a=1 b=-1
例2：设X的密度函数 fX(x)=ax+1，0≤x≤20，其他 ，求常数a。
-∞+∞fX(x)dx=1
⇒ -∞0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+∞fX(x)dx=1
⇒ -∞00dx+02ax+1dx+2+∞0dx=1
⇒ 0+2a+2+0=1
解得 a=-12
十、 求分布律
例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。
X可能的取值为3，4，5，6
P(X=3)=C22C11C30C63=120
P(X=4)=C32C11C20C63=320
P(X=5)=C42C11C10C63=310
P(X=6)=C52C11C63=12
分布列：

十一、 已知含有未知数的分布列，求未知数
例1：已知分布列如下，求k的值。

120+320+310+k=1
解得 k=12

概率论第三课
十二、 已知X分布列，求Y分布列
例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。
X
-2
0
2
P
0.4
0.3
0.3
①根据X的所有取值，计算Y的所有取值
Y=-22+1=5
Y=02+1=1
Y=22+1=5
②将表格里X那一列对应换成Y
Y
5
1
5
P
0.4
0.3
0.3
化简一下：
Y
1
5
P
0.3
0.7
例2：已知X的分布列，求Y=2X-1的分布列。
X
3
4
5
6
P
120
320
310
12
①根据X的所有取值，计算Y的所有取值
Y=2×3-1=5
Y=2×4-1=7
Y=2×5-1=9
Y=2×6-1=11
②将表格里X那一列对应换成Y
X
5
7
9
11
P
120
320
310
12
也可以表示成：
Y~5791112032031012
十三、 已知 FXx，求 FYy
例1：设X的分布函数为 FXx=0，x≤0 x2，0<x<11，x≥1 ，求Y=2X的分布
函数。
① 写出X=?Y
Y=2X ⇒ X=Y2
② 用?y替换FXx中的x，结果为 FX(?y)
FXy2=0，y2≤0 y22，0<y2<11，y2≥1
③ 判断?y中是否有负号
若无，则 FY(y)= FX(?y)
若有，则 FY(y)=1- FX(?y)
FY(y)=FXy2=0，y≤0 y24，0<y<21，y≥2
例2：设X的分布函数为 FXx=0，x≤0 x2，0<x<11，x≥1 ，求Y=-X的分布
函数。
①写出X=?Y
Y=-X ⇒ X=-Y
② 用?y替换FXx中的x，结果为 FX(?y)
FX(-y)=0，-y≤0 (-y)2，0<-y<11，-y≥1
③判断?y中是否有负号
若无，则 FY(y)= FX(?y)
若有，则 FY(y)=1- FX(?y)
FY(y)=1-FX(-y)=1，y≥0 1-y2，-1<y<00，y≤-1
十四、 已知 fXx，求 fYy
例1：设X的密度函数为 fXx=1，0<x<10，其他 ，求Y=2X的密度函数。
①写出X=?Y
Y=2X ⇒ X=Y2
② 用?y替换 fXx中的x，结果为 fX?y
fXy2=1，0<y<20，其他
③ 令 fY=(?y)'·fX(?y)
fY=y2'·fXy2=12·fXy2=12，0<y<20，其他
④判断?y中是否有负号
若无，则 fY(y)=fY
若有，则 fY(y)=-fY
fY(y)=fY=12，0<y<20，其他

概率论第四课
十五、 符合均匀分布，求概率
公式：P=满足要求长度总长度
例1：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。
总长度：3
大于3的长度：2
PX的取值大于3=23
例2：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。
总长度：3
小于3的长度：1
PX的取值小于3=13
十六、 符合泊松分布，求概率
公式：P(X=x)=λxx!e-λ
例1：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。
求在一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。
X表示一分钟内接到呼叫的次数
P(X≤6)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6)
=500!e-5+511!e-5+522!e-5+533!e-5+544!e-5+555!e-5+566!e-5
=0.7622
十七、 符合二项分布，求概率
公式：P(X=x)=CnxPx(1-P)n-x
例1：重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。
x=3 n=5 P(正面朝上)=12
P(X=3)=C53123(1-12)5-3=516
例2：在二红一绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次
的概率。
x=2 n=3 P(摸到红球)=23
P(X=2)=C32232(1-23)3-2=49
十八、 符合指数分布，求概率
公式：
f(x)=λe-λx，x>00，x≤0 Pa1<X<a2=a1a2f(x)dxPX<a=-∞af(x)dx PX>a=a+∞fxdx
例1：某种电子元件的使用寿命X (单位:小时)服从λ=12000 的指数
分布。
求：(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率；
(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。
X的密度函数为f(x)=12000e-x2000，x>00，x≤0
(1)P(X>1000)=1000+∞f(x)dx=1000+∞12000e-x2000 dx=e-0.5
(2)P(1000<X<2000)=10002000f(x)dx=1000200012000e-x2000 dx
=-e-1+e-0.5
十九、 符合正态分布，求概率
公式：
Pa<X<b=Φb-μσ-Φa-μσPX<a=Φa-μσ PX>b=1-Φb-μσ
例1：设随机变量X服从正态分布N(1.5,4)，求：
(1)P(1.5<X<3.5)；(2)P(X<3.5)。
[其中：Φ(0)=0.5，Φ(0.75)=0.7734，Φ(1)=0.8413，Φ(2.25)=0.9878]
μ=1.5，σ=4=2
(1)P(1.5<X<3.5)=Φ(3.5-1.52)-Φ(1.5-1.52)=Φ(1)-Φ(0)=0.3413
(2)P(X<3.5)=Φ(3.5-1.52)=Φ(1)=0.8413
二十、 正态分布图像
公式：
① 图像关于μ对称
② 面积表示概率，总面积为1
③ σ越小，图像越陡

例1：

例2：

常见分布的其他表示方法
均匀分布 U[a,b]
二项分布 B[n,p]
指数分布 E(λ)
正态分布 Nμ,σ2
例：
① X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。
即 X~U[2,5]，求X的取值大于3的概率。
② 某种电子元件的使用寿X(单位:小时)服从λ=12000的指数分布…
即 某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从 X~E(12000)…

概率论第五课
二十一、 已知二维离散型分布律，求???
例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：

求：(1)P(X=0)，P(Y=2)
(2)P(X<1，Y≤2)
(3)P(X+Y=2)
(4)X，Y的分布律
(5)Z=X+Y的分布律
解：(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4
P(Y=2)=0.1+0.2=0.3
(2)P(X<1，Y≤2)=0.2+0.1=0.3
(3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4
(4)

(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2
P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4
P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3
P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1

二十二、 已知二维离散型分布律，判断独立性
公式：如果任意 xi，yi 均满足P(X=xi，Y=yi)=P(X=xi)·P(Y=yi)
那么X、Y相互独立
否则X、Y不相互独立
例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：

请判断X、Y的独立性。

例2：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：

X、Y是相互独立的，求α、β的值。

 1 6+ 1 9+1 18 + 1 3+ 2 9+ 1 9=1
二十三、 已知F(x,y)，求f(x,y)
公式：f(x,y)= ∂2Fx,y ∂x∂y
例1：

二十四、 已知f(x,y)，求F(x,y)
例1：已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)= 21 4x2y，x2≤y≤10，其他                      
求F(x,y)。

例2：已知二维随机变量的联合密度函数为：
f(x,y)=x+y，0＜x＜1，0＜y＜10，其他                                    ，求F(x,y)。

二十五、 已知F(x,y)，求P
公式：P(X≤x0，Y≤y0)=F(x0，y0)
例1：

二十六、 已知f(x,y)，求P
例1：

例2：

二十七、 求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数
公式：F(+∞ , +∞)=1，F(-∞ , -∞)=0，
F(x , -∞)=0，F(-∞ , y)=0
 -∞+∞ -∞+∞f(x,y)dxdy=1

例1：

例2：

二十八、 求均匀分布的f(x,y)与P
公式：

例1：

概率论第六课
二十九、 求边缘分布函数
公式：FX(x)=F(x,+∞)，FY(y)=F(+∞,y)
例1：

三十、 求边缘密度函数

三十一、 判断连续型二维变量的独立性
公式：

例1：

三十二、 已知f(x,y)，Z=X+Y，求fZ(z)
公式：fZ(z)=-∞+∞f(x,z-x)dx
例1：

三十三、 已知f(x,y)，Z=XY，求 fZ(z)
公式：fZ(z)=-∞+∞f(yz,y)·|y|dy

三十四、 已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y)，求FZ(z)
公式：FZ(z)=FX(z)·FY(z)
例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，
求Z=max(X,Y)的分布函数。

三十五、 已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y)，求FZ(z)
公式：FZ(z)=1-1-FX(z)·1-FY(z)
例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为 x3+2x，
求Z=min{X,Y}的分布函数。

概率论第七课
三十六、 求离散型的期望E(X)
公式：EX=∑xipi
例1：已知一个工厂一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？
X
10
5
-2
P
0.2
0.3
0.5
EX=∑xipi=10×0.2+5×0.3+(-2)×0.5=2.5（万元）
三十七、 求连续型的期望 E(X)
公式：EX= -∞+∞xfx dx
例1：

三十八、 已知 Y=gx，求 E(Y)
公式：离散型 EY=∑gxipi，连续型 EY= -∞+∞gx·fxdx
例1：

例2：

三十九、 求方差 D(X)
公式：DX=∑xi-EX2·pi → 离散型 
DX=EX2-E2X → 连续型/离散型
例1：

例2：

DX=EX2-E2X= 2 3- 4 52=2 75 
四十、 根据 EX、DX 的性质进行复杂运算
公式：

例1：

四十一、 EX、DX 与各种分布的综合题
公式：

例1：

例2：

概率论第八课
四十二、 Cov、ρXY、D相关类题目
公式：

例1：已知A=2X+Y，B=2X-Y，X与Y相互独立，D(X)=D(Y)=1，试求 Cov(A,B)。

例2：已知D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=-0.5，试求D(X+Y)。

四十三、 利用切比雪夫不等式求概率
公式：P[|X-E(X)|≥ε]≤D(X)ε2 (ε 为任意正数)
例1：

四十四、 多项独立同分布，求总和怎样的概率
公式：

例1：

例2：

文案大全