电磁学第二章稳恒磁场.doc

第二篇 电磁学
第二章 稳恒磁场
2-9 如图所示，在磁感应强度为的均匀磁场中，有一半径为的半球面，与半球面的轴线夹角为。求通过该半球面的磁通量。
解 半球面与其底面构成一个闭合曲面，通过此闭合曲面的磁通量等于通过半球面的磁通量与通过底面的磁通量之和：
根据磁场的高斯定理可知，，因此

因为是均匀磁场，底面又是平面，所以和是常量，

2-10电流为均匀地通过半径为的圆柱形长直导线，试计算单位长度导线通过图中所示剖面的磁通量。
解 围绕轴线取同心圆环路L，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可求得导线内部距轴线r处的磁感应强度

在距离轴线r处的剖面上取宽度为dr的很窄的面元，该面元上各点的B相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为

所以

单位长度的磁通量为

2-11 已知裸铜导线允许通过电流而不导致导线过热，电流在导线横截面上均匀分布。求导线内、外磁感应强度的分布。
解 铜线可视作长直圆柱体，电流沿导线轴向流过且均匀分布在导线横截面上，其磁场具有轴对称性。由安培环路定理可以求出磁场的分布。
载流长直铜线激发的磁场，磁感线是围绕铜线轴线的一组同心圆，取半径为r的磁感线作积分环路L，应用安培环路定理得

当时，，则

当时，，则

2-12 如图所示一同轴电缆。两导体中的电流均为，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感应强度：
（1）；（2）；（3）；（4）。
解 同轴线的磁场分布具有轴对称性，其磁感线是围绕轴线的同心圆。取半径为r的磁感线作积分环路L，应用安培环路定理得

当时，，则

当时，，则

当时，，则

当时，，则

2-13 如图所示，匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上，求通入电流时，环内外磁感应强度的分布。
解 由右手螺旋法则可知，螺旋环内磁感线是以环心为圆心的同心圆，同一磁感线上各点的磁感应强度大小相等。取半径为r的磁感应线作积分环路L，应用安培环路定理得

当时，，则

当时，,则

当时，，则

由以上计算可知，磁场主要分布在螺线环内。
2-14 如图所示，一根半径为的无限长载流直导体，其中电流沿轴向流过，并均匀分布在横截面上，现在导体上有一半径为的圆柱型空腔，其轴与直导体的轴平行，且轴心距，求空腔中心的磁感应强度。
解 本题中无限长载流直导体产生的磁场可等效为，半径为R的无限长载流直导体，在横截面上有电流均匀沿轴向流过产生的磁场减去，半径为的圆柱均匀流过电流产生的磁场。
由题目2-11可知，无限长载流直导线，有电流I均匀沿轴向流过时，其内部磁感强度B的大小为

所以，在空腔中心处有

因此，空腔中心处磁感应强度为

其方向为垂直方向并与电流成右手螺旋关系。
2-15 已知地面上空某处地磁场的磁感应强度 ，方向向北。若宇宙射线中有一速率的质子垂直地通过该处，求洛伦兹力的方向以及大小，并与该质子受到的万有引力相比较。
解 由可知洛伦兹力的方向为的方向，如图所示。
因，所以质子所受的洛伦兹力大小为

在地球表面质子所受的万有引力大小为

质子所受的洛伦兹力与万有引力的比值

即质子所受的洛伦兹力远远大于重力。
2-16 一个电子射入的均匀磁场中，当电子速度为时，求电子所受的磁场力。
解

2-17 一电子在的均匀磁场中作沿半径为、螺距为的螺旋线运动，求电子的速度。
解 电子的螺线运动可分解为速度为的沿轴线的匀速直线运动和速率为的垂直于轴线的平面上的匀速圆周运动
电子速度垂直于磁场的分量

则，

电子速度平行于磁场的分量可根据螺距的公式求得

则，

于是，电子的运动速率为

v的方向与轴线的夹角满足

2-18 如图所示，一根无限长直导线通有电流，矩形线圈通有电流。试计算矩形线圈所受的磁场力。（其中，，）
解 矩形线圈上，下两边所受磁场力大小相等，方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其左侧边及其右侧边所受磁场力的合力。而线圈左边所受的安培力向左，线圈右边所受安培力向右，且有

所以，矩形线圈所受磁场力的大小为

且磁场力的方向向左，指向直导线。
2-19 一矩形线圈载有电流，线圈边长分别为、，线圈平面与平面成角，线圈可绕轴转动，如图所示。今加上的均匀磁场，磁场方向沿轴，求线圈所受到的磁力矩。
解1 载流线圈在均匀磁场中所受磁力矩为

其中为线圈平面法线与磁感应强度B之间的夹角，由题意可知，则

方向沿y轴负向。
解2 根据安培定律，与y轴平行的b边所受的磁场力为

此力对线圈产生力矩（线圈其他边所受磁力对力矩无贡献），大小为

方向沿y轴负向。
2-20 一平面线圈电流为，匝数为、面积为，将其放在磁感应强度为的均匀磁场中，磁感应强度的方向与线圈磁矩的方向一致。若将线圈翻转，求外力需要作的功
解 作用于载流线圈的磁力矩为

当线圈转过角度时，磁力矩所作的元功为

磁通量为

线圈转过角度时，磁通量的改变为，与相比较，得

当线圈磁矩与B的夹角由增至，穿过线圈的磁通量从变为时，其间磁力矩所做的功W为

2-21 利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度，设一霍尔元件用金属材料制成，其厚度为，载流子数密度为，将霍尔元件放入待测磁场中，测得霍尔电压为，测得电流为。求此时待测磁场的磁感应强度。
解 霍尔电压的经验公式是

从理论上可以证明

因此

将题中数据带入，并令，可得

2-22 载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓度，来控制p型半导体或n型半导体的载流子。利用霍尔效应可以测量载流子的浓度和半导体类型。如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为，现测得霍尔电压为。证明样品载流子浓度为：。
解 假定半导体是n型的，载流子是电荷为e的正电荷，它的速度v的方向与电流方向相同。当样品内有垂直于电流方向的磁场时，载流子受到如图所示方向的洛伦兹力，其大小为

在这力的作用下，样品中空穴分布不再均匀：在前表面附近浓度增大，而使前表面带正电；在后表面附近浓度减小，而使后表面带负电，在出现这种情况的同时，样品内必然会出现如图所示的静电场。电场强度E随着样品前后两表面附近空穴浓度差别越来越大而变得越来越强。显然，当出现电场时，空穴也会受到电场力作用，而这个作用力的方向是与方向相反的。是个恒力，随着电场增强而增强，因此一定会出现这种情况。自此以后，空穴浓度分布稳定了。空穴受到的电场力和磁场力保持平衡，即
，
在样品前后两表面分别带有正、负电荷，两表面之间就出现电压，这就是霍尔电压。其大小为

设样品内空穴浓度为n，样品垂直于电流方向的截面积为S ，则电流

将此方程代入可得

由此可得

2-23 如图所示，半径为的圆片均匀带电，电荷面密度为，令圆片以角速度绕通过其中心且垂直于圆平面的轴转动。求轴线上距圆片中心为处点的磁感应强度和旋转圆片的磁矩。
解 旋转带电圆片可等效为一组同心圆电流。在圆片上离开圆心r处取一宽度为的圆环，环上所带等效电流为

圆电流dI在圆片轴线上P点激发的磁感应强度为

整个旋转带电圆片在其轴线上P点激发的磁感应强度为

圆片的磁矩为

2-24 如图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为，导体的磁化可以略去不计。电缆沿轴向有恒定电流通过，内外导体上电流的方向相反。求空间各区域内的磁感应强度。
解 电流分布呈轴对称，依照右手螺旋定则，磁感线是以电缆轴线为中心的一组同心圆。选取任一半径为r的同心圆为积分路径L，应用磁介质中的安培环路定理

当时，，所以

忽略导体的磁化（即导体的相对磁导率），有

当时，，所以

填充的磁介质的相对磁导率为，有

当时，，所以

同样忽略导体的磁化（），有

当时，,所以

2-25 环形螺线管共包含500匝线圈，平均周长为，当线圈中的电流为时，用冲击电流计测得介质内的磁感应强度为，求：（1）待测材料的相对磁导率；（2）磁化电流面密度。
解 （1）

（2）由于磁化面电流产生的附加磁感应强度为，得

则有

2-26一个截面为正方形的环形铁芯，其磁导率为。若在此环形铁芯上绕有匝线圈，线圈中的电流为，设环的平均半径为。求此铁芯的磁化强度。
解 根据磁介质中的安培环路定理，有

即，所以有
则磁化强度为