习题4矩形与菱形提高篇(教师版).doc

习题4 矩形与菱形提高篇

1、(2015·安徽)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是(　　) C
A．2 B．3 C．5 D．6

2、(2014·南京)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是(　　)

A．(，3)、(－，4) B．(，3)、(－，4) C．(，)、(－，4) D．(，)、(－，4)

B　提示：首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF ∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

3、（2015•甘肃兰州,第10题，4分）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是（ ）
A. B. C. D.

【 答 案 】B
【解答过程】连结AC和BD，并记它们的交点为G，则有AC⊥BD，且AG=CG，BG=CG，
△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，
正三角形△ABC中，AE和BG是中线，也是高线，可求得AE=BG=AB=，
△BCD中，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，且EF=BD= BG=，
记AC与EF的交点H，因为EF∥BD，AC⊥BD，所以AH⊥EF，
且由相似形的性质，可得CH=CG=AC=1，则AH=AC－CH=4－1=3
则。

4、（2015•淄博第9题,4分）如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（　　）

　 A． B． C． D．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．.
解答：解：如图，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB， ∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形， ∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°， ∴∠GCP=60°， ∴=；
故选B．

5、（2015•四川自贡,第10题4分） 如图，在矩形中，,是边的中点，是线段边上的动点，将△沿所在直线折叠得到△,连接,则的最小值是（ ）
A、 B、6 C、 D、4

考点：矩形的性质、翻折（轴对称）、勾股定理、最值.
略解：
∵是边的中点， ∴
∵四边形矩形 ∴
∴在△根据勾股定理可知：
又∵ ∴.
根据翻折对称的性质可知
∵△中两边一定，要使的长度最小即要使最小(也就是使其角度为0°)，此时点落在上（如图所示）.
∴ ∴的长度最小值为. 故选A

6．(2015·凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为________．(2－3，2－)　

7、如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2=　　 　　.

【解析】连接EF,FG,GH,HE,∵点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC∥GH,EF=GH=AC=3,EH∥BD∥FG,EH=FG=BD=3,所以四边形EFGH是菱形, ∴EG⊥FH.
设EG,FH的交点为O.∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.
答案:36

8、(2013·宜宾中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为　　　　　.

【解析】∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形,
∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,
又∵点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,∴四边形BGFD是菱形,
设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,
故四边形BDFG的周长=4GF=20.答案:20
9、（2015•浙江丽水，第15题4分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则= .

【答案】.
【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性质；特殊元素法的应用.
【分析】如答图，过点E作EH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=30°，∴∠ABE=30°，∠BAE=45°.
不妨设，∴在等腰中，；在中，.
∴. ∴.

10、如图所示，从△ABC的三边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°．
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．
∴△DBE≌△ABC，∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形， ∴AC=AF，∴DE=AF．
同理，可以说明AD=EF． ∴四边形ADEF是平行四边形．
（2）若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°．
∵∠DAB=∠FAC=60°， ∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°．
∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

11、（2015•四川省内江市，第18题，9分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC；
（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．.
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE， ∴BE=DC， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD=EC．
∴在△ABD与△BEC中，
， ∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．

12、已知四边形ABCD为矩形，AD＝20㎝、AB＝10㎝。M点从D到A，P点从B到C速度为2㎝/s；N点从A到B，Q点从C到D速度为1㎝/s。若四个点同时出发。
（1）判断四边形MNPQ的形状。
（2）四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由。
M
B
P
C
Q
N
D
A

解答：（1）平行四边形
（2）5秒 此时为各边中点 MQ＝NP＝AC＝BD＝MN＝PQ

13、(2015·南京)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形；
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．
小明的证明思路
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形．要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件______________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH.易证________，________，故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________，即可得证．

(1)证明：∵EH平分∠BEF， ∴∠FEH＝∠BEF.
∵FH平分∠DFE， ∴∠EFH＝∠DFE.
∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°， ∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.
同理可得∠EGF＝90°.
∵EG平分∠AEF， ∴∠FEG＝∠AEF.
∵EH平分∠BEF， ∴∠FEH＝∠BEF.
∵点A、E、B在同一条直线上， ∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.
∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°.
∴四边形EGFH是矩形．(2)FG平分∠CFE　GE＝FH　∠GME＝∠FQH　∠GEF＝∠EFH

14、（2015•甘肃武威,第25题7分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= 2 cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）

考点：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
，∴△FCG≌△EDG（ASA） ∴FG=EG，
∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．

15、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.
(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.
(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.

【解析】(1)连接AQ,作PE∥CD交AC于E,
则△CPE是等边三角形,∠EPQ=∠CQP.
又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,∴∠APE=∠CPQ,
又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,
∴△APQ是等边三角形,∴∠2+∠3=60°,
∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.证明如下:[来源:Z#xx#k.Com]
∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,
又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.

16、△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.[来源:学科网]
(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.
①求证:△AEB≌△ADC. ②探究四边形BCGE是怎样的特殊四边形?并说明理由.
(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.
(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.

【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,
∴△AEB≌△ADC.
②四边形BCGE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,∴EB∥GC.又∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)①②都成立.
(3)当CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.
理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.又∵CD=CB,∴BE=CB.
由②得四边形BCGE是平行四边形, ∴四边形BCGE是菱形.