1、 椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程;(提醒:设直线时分斜率存在与不存在;设为y=kx+b与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: “以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在) “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” 0; “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或); “共线问题” (如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距
2、离转化法); (如:A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等); “点、线对称问题” 坐标与斜率关系; “弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略; 判别式是否已经考虑;抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想:1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3、证明定值问题的方法:常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法:常把方程
3、中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、 求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决;6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验; 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型: 在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的。
4、(1)直线恒过定点问题1、已知点是椭圆上任意一点,直线的方程为, 直线过P点与直线垂直,点M(-1,0)关于直线的对称点为N,直线PN恒过一定点G,求点G的坐标。2、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一 象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭来源:学科网 圆于A、B两点。(1)求P点坐标;(2)求证直线AB的斜率为定值;3、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 , 求证:为定值. 4、 在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不 过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为, 射线交椭圆于点,交直线于点.()求的最小值;()若,求证:直线
5、过定点;椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型: 对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. (1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围。 5、已知直线与轴交于点,与椭圆交于相异两点A、B, 且,求的取值范围 (2) 利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围. 6、已知点,若动点满足 ()求动点的轨迹的方程; ()设过点的直线交轨迹于,两点,若,求 直线的斜率的取值范围.来源:学科网(3)利用基本不等式求参数的取
6、值范围7、已知点为椭圆:上的一动点,点的坐标为,求 的取值范围8.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距 离为3.(1)求椭圆的方程.(2)设直线与椭圆相交于不同的两点.当时,求的 取值范围. 9. 如图所示,已知圆为圆上一动点,点在上, 点在上,且满足的轨迹为曲线.(I)求曲线的方程;(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线于不同的两来源:学科网ZXXK 点(点在点之间),且满足, 求的取值范围.10、.已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为、,一个顶点为.(1)求椭圆的标准方程; (2)对于轴上的点,椭圆上存在点,使得,求的取值范围. 11.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心
7、,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切()求椭圆的方程;()若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满 足(O为坐标原点),当 时,求实数取值范围椭圆中的最值问题一、常见基本题型:(1)利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,是椭圆在第一 象限弧上一点,且,过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点,求PAB面积的最大值。(2)利用函数求最值,13.如图,轴,点M在DP的延长线上,且当点P在圆上运动时。 (I)求点M的轨迹C的方程; ()过点的切线交曲线 C于A,B两点,求AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。 14
8、、已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆G于A,B两点. 将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A、B、C是椭圆上的三点,其中点A的坐标为 ,BC过椭圆m的中心,且(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y 轴负半轴的交点,且.求实数t的取值范围2.已知圆:及定点,点是圆上的动点,点在 上,点在上,且满足2,(1)若,求点的轨迹的方程;(2)若动圆和(1)中所求轨迹相交于不同两点,是否存在一组正实数, 使得直线垂直平分线段,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由3、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最
9、大值为,最小值为()求椭圆的标准方程;()若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标 4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m0),l交椭圆于A、B两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求m的取值范围; (3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 参考答案1、解:直线的方程为,即 设关于直线的对称点的坐标为 则,解得 直线的斜率为 从而直线的方程为: 即 从而直线恒过定点 2、解:(1)设椭圆方程为,由题意可得 ,所以椭圆的方
10、程为 则,设 则 来源:学_科_网Z_X_X_K 点在曲线上,则 从而,得,则点的坐标为。 (2)由(1)知轴,直线PA、PB斜率互为相反数, 设PB斜率为,则PB的直线方程为: 由 得 设则 同理可得,则 所以直线AB的斜率为定值。 3、 解: 将代入中得 , ,所以 。 4、 解:()由题意:设直线, 由消y得:, 设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: 来源:学科网 =,即, 所以中点E的坐标为, 因为O、E、D三点在同一直线上, 所以,即, 解得, 所以=,当且仅当时取等号, 即的最小值为2. ()证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为, 所以由得交点G的纵坐标为, 又因为,且,
11、所以, 又由()知: ,所以解得,所以直线的方程为, 即有, 令得,y=0,与实数k无关, 5、 解:(1)当直线斜率不存在时: (2)当直线斜率存在时:设与椭圆C交点为 得 (*) , . 消去,得, 整理得 时,上式不成立; 时, ,或 把代入(*)得或 或 综上m的取值范围为或。 6、解:()设动点,则,. 由已知得, 化简得,得. 所以点的轨迹是椭圆,的方程为. ()由题意知,直线的斜率必存在,不妨设过的直线的方程为,设,两点的坐标分别为,.由消去得. 因为在椭圆内,所以.所以 因为, 所以. 解得.7、 解: ,设Q(x,y), ,即,而,186xy18 则的取值范围是0,36 来源
12、:学*科*网的取值范围是6,6 的取值范围是12,0 8、解:(1)依题意可设椭圆方程为,则右焦点由题设,解得, 故所求椭圆的方程为 (2)设、,为弦的中点,由得直线与椭圆相交, ,从而,又则:,即,把代入得,解, 由得,解得. 综上求得的取值范围是. 9、解:()NP为AM的垂直平分线,|NA|=|NM| 又动点N的轨迹是以点C(1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为 ()当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为得设 , 又当直线GH斜率不存在,方程为 10、解:(1)由题意可得, 所求的椭圆的标准方程为: (2)设,则 且, 由可得,即 由、消去整理
13、得 , 的取值范围为. 11、 解:()由题意知, 所以即 又因为,所以,故椭圆的方程为 ()由题意知直线的斜率存在.设:,由得.,. ,.来源:学|科|网Z|X|X|K,.点在椭圆上,. ,. ,或,实数取值范围为. 12、解、设椭圆方程为,由题意可得 , 故椭圆方程为 设AB的直线方程:. 由,得, 由,得P到AB的距离为,则 。来源:Zxxk.Com 当且仅当取等号, 三角形PAB面积的最大值为。来源: 13、 解:设点的坐标为,点的坐标为, 则,所以, 因为在圆上,所以 将代入,得点的轨迹方程C的方程为 ()由题意知, 当时,切线的方程为,点A、B的坐标分别为 此时,当时,同理可得;
14、当时,设切线的方程为 由得 设A、B两点的坐标分别为,则由得: 又由l与圆相切,得即 所以因为且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2来源:学.科.网Z.X.X.K依题意,圆心到直线AB的距离为圆的半径, 所以面积, 当且仅当时,面积S的最大值为1, 相应的的坐标为或者 14、 解:由题意知,. 当时,切线的方程为,点A,B的坐标分别为, 此时; 当时,同理可得; 当时,设切线的方程为. 由得. 设A,B两点的坐标分别为. 又由与圆相切,得,即. 所以 . 由于当时, , 当且当时,.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解(1)椭圆m:(2)由条件D(0,2) M(0,t)来源:Z+xx
15、+k.Com1当k=0时,显然2t0 可得 设则 由 t1 将代入得 1t4t的范围是(1,4) 综上t(2,4) 2、解:(1)点为的中点, 又,或点与点重合 又 点的轨迹是以为焦点的椭圆, 且,的轨迹方程是 (2)解:不存在这样一组正实数,下面证明: 由题意,若存在这样的一组正实数,当直线的斜率存在时,设之为,故直线的方程为:,设,中点,则,两式相减得:注意到,且 ,则 , 又点在直线上,代入式得:因为弦的中点在所给椭圆内,故, 这与矛盾,所以所求这组正实数不存在 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,则此时,代入式得, 这与是不同两点矛盾综上,所求的这组正实数不存在 3、解:()椭圆的标准方程为 来源:学科网ZXXK ()设, 联立, 得,又,因为以为直径的圆过椭圆的右焦点,即,来源:学#科#网Z#X#X#K解得:,且均满足, 当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;当时,的方程为,直线过定点 所以,直线过定点,定点坐标为 4、解:(1)设椭圆方程为则椭圆方程为(2)直线l平行于OM,且在y轴上的截距m, 又KOM=由 直线l与椭圆交于A、B两个不同点,(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可设则由 而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。23