直线与方程知识点与经典例题.doc

直线与方程知识点与经典例题一、知识点（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180性质：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=0时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大.（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）（三）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。填空或选择可以用： 二、经典例题【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程【例5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程 【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程【例7】已知直线l的方程为3x+4y12=0，求与直线l平行且过点（1，3）的直线的方程【例8】 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上.【例9】若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.【例10】直线2xy4=0上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.【例11】已知点到直线的距离为，求的值；【例12】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.经典例题【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值解：(1) 直线AB的斜率0, 所以它的倾斜角是锐角; 直线BC的斜率0, 所以它的倾斜角是锐角.(2)， . A、B、C三点在一条直线上， ， 即， 解得或.【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 解：如图所示, 直线PA的斜率是, 直线PB的斜率是.当直线由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角增至90，斜率的变化范围是5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是.所以斜率的变化范围是.【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？（2）的倾斜角为45，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？解：（1） =，. /（2） ， ， 【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程解：由已知得与两坐标轴不垂直直线经过点， 可设直线的方程为，即.则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.根据题意得，即.当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，此方程无实数解.故直线的方程为，或.即或.【例5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程 解：当截距为时，设，过点，则得，即；当截距不为时，设或过点，则得，或，即，或这样的直线有条：，或 【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程解：两点式方程：；点斜式方程：，即；斜截式方程：，即；截距式方程：；一般式方程：【例7】已知直线l的方程为3x+4y12=0，求与直线l平行且过点（1，3）的直线的方程解：直线l:3x+4y12=0的斜率为， 所求直线与已知直线平行， 所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：，即.【例8】 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上.解：解方程组得交点().若0，则1.当1时，0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有10，故0.因为1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上【例9】若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.解：如图，直线2x+3y6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：ykx必过点（0，）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆时针（由位置AC到位置BC）旋转时，交点在第一象限. 根据，得到直线l的斜率k. 倾斜角范围为.【例10】直线2xy4=0上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.解：找A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则，解得， 所以线段.【例11】已知点到直线的距离为，求的值；解：【例12】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.解：直线的方程化为. 设所求直线的方程为，则，即，解得. 所以所求直线方程为.7