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直线与方程知识点与经典例题
一、知识点
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
性质：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=0°时，斜率k=0；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大.
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，； 当时，； 当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：（A，B不全为0）
注意：各式的适用范围 特殊的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；
（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）
（二）垂直直线系
垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数）
（三）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：，直线过定点；
（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为
（为参数），其中直线不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当，时，
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ； 方程组有无数解与重合
（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，
则
（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
填空或选择可以用：
二、经典例题
【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.

【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？
（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？

【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．

【例5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程

【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．

【例7】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．

【例8】 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上.

【例9】若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.

【例10】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.

【例11】已知点到直线的距离为，求的值；

【例12】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.

经典例题
【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
(2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
解：(1) 直线AB的斜率>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率<0, 所以它的倾斜角α是钝角;
直线CA的斜率>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
(2)， .
∵ A、B、C三点在一条直线上，
∴ ， 即，
解得或.

【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围.
解：如图所示, 直线PA的斜率是,
直线PB的斜率是.
当直线由PA变化到y轴平行位置PC, 它的倾斜角由锐角增至90°，斜率的变化范围是[5,；当直线由PC变化到PB位置，它的倾斜角由90°增至，斜率的变化范围是.
所以斜率的变化范围是.

【例3】（1）已知直线经过点M（-3，0），N（-15，-6），经过点R（-2，），S（0，），试判断与是否平行？
（2）的倾斜角为45°，经过点P（-2，-1），Q（3，-6），问与是否垂直？
解：（1） ∵=，. ∴ //．
（2） ∵ ，， ， ∴⊥．
【例4】已知直线经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线的方程．
解：由已知得与两坐标轴不垂直．
∵直线经过点，∴ 可设直线的方程为，即.
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为.
根据题意得，即.
当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，此方程无实数解.
故直线的方程为，或.
即或.

【例5】经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程
解：当截距为时，设，过点，则得，即；
当截距不为时，设或过点，
则得，或，即，或
这样的直线有条：，，或
【例6】写出过两点A(5,0)，B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．
解：两点式方程：；
点斜式方程：，即；
斜截式方程：，即；
截距式方程：；
一般式方程：．
【例7】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．
解：直线l:3x+4y－12=0的斜率为，
∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，
又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即..
【例8】 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及轴上.
解：解方程组得交点(－).
若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0.因为≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在轴上
【例9】若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l的斜率的取值范围.
解：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l：y＝kx必过点（0，－）.当直线l过A点时，两直线的交点在x轴；当直线l绕C点逆时针（由位置AC到位置BC）旋转时，交点在第一象限. 根据，得到直线l的斜率k>.
∴倾斜角范围为.
【例10】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.
解：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则
，解得， 所以线段.
【例11】已知点到直线的距离为，求的值；
解：

【例12】求与直线及都平行且到它们的距离都相等的直线方程.
解：直线的方程化为. 设所求直线的方程为，
则，即，解得. 所以所求直线方程为.

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