九年级相似三角形学案暑期学案.docx

学习过程：
一、问题情境引入
1、 已知AB=3㎝，CD=5㎝,这两条线段的比是多少？

在使用同一个长度单位的情况下，表示两条线段长度的数值的比，叫做这两条线段的比。
2、 如右图，在△ABC中D，E分别为AB边和AC边上的点，AD=12，
DB=6，AE=10，EC=5。
B
C
D
EC
AC
（1）线段AD与AE的比、DB与EC的比、AB与AC的比各是多少？它们相等吗？
（2）如果DE=14，BC=21，你还能找到线段比相等的的其他线段吗？
二、合作交流：
（1）四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
即： （或a ∶ b=c ∶ d），
那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
其中a,d叫做外项;b,c叫做内项。
当比例的两个内项相等时，即 （或a∶b=b∶c），b叫a，c的比例中项．
（2）比例的基本性质:
如果 ，那么ad=bc成立吗？
反过来，如果ad = bc，那么吗？
三、应用迁移：
例（1）设2y－3x＝0（y≠0），则的值是多少
（2）已知：==，则的值是多少
四、巩固练习：
1. 判断下列四条线段是否成比例．
（1） a=4,b=6,c=5,d=10
（2） a=12,b=8,c=15,d=10
2.判别下列各组数是否成比例，若成比例，请写出比例式：
(1)1,-2,3,-6;(2)1,-2,-3,-6
a = 2，b = 3，c = 6，且b，a，c，d成比例，则d为（ ）
A3 B4 C9 D12
4.设3m=4n,则的值是多少
相似图形
学习目标：
了解形状相同的图形是相似的图形，能在诸多图形中能找出相似图形；
学习重（难）点:
理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念。
一、创设情境
1．电影中的画面是由放映机把底片上的画面经过放大后投射到屏幕上的，底片上的画面与屏幕上的画面形状是否相同？
2．同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物形状改变了吗？
3．用复印机把图形按比例放大或缩小，可以得到形状相同的图形吗？
二、探索活动
1．观察图形找特点

上面几组图形有何特点？
2．找形状相同的图形
下列各组图形中，相似图形有（填序号）

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）
像这样， 是相似图形。
思考：全等图形与相似图形有何关系？全等图形是相似图形吗？
3．探索
（1）度量放大镜中的三角形和原三角形的对应的边和角，你发现了什么？
（2）放大镜下的图像与原来的图形形状相同吗？它们相似吗？

★从而得到定义：，叫做相似三角形．叫做相似比．
★符号语言：
如图,在△ABC和△中,
如果，，，=k,
则△ABC与△相似，
相似用符号“∽”表示，记作：，读作：，其中，叫做它们的 。
小丽和小明很爱动脑筋！他们都有各自的思考。
小丽：
小明：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
友情提醒
①相似三角形的相似比是有顺序的．
比如：若△ABC∽A1B1C1，且,则
△ABC与A1B1C1相似比是，
A1B1C1与△ABC的相似比是。
②相似三角形具有传递性，若那么
5．相似多边形
类似地，，那么这两个多边形相似。相似多边形叫做相似比。
三、例题学习
例1：如图D、E、F分别是△ABC三边的中点。△DEF与△ABC相似吗？为什么？

例2：如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长
A
B
C
A′
B′
C′
75°
45°
45°
α
β
8
10
6

四、应用迁移：
1、判断下列两个三角形是否相似?简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例

3．下列图形不一定是相似图形的是 （ ）
A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形
C、两个长方形 D、两个正方形
X
EA
D
F
8
5
4、如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x、y的长度。
24
6
C
B
y
A

5、　如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度x.
24cm
x
118°

五、拓展升华
21cm
已知A4纸的宽度为21cm，如图将其对折后，所得的矩形都和原来的矩形相似，求A4纸的长度。

A4
对折

x

21cm

相似三角形的判定
一、引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′, 且
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′, 且
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
二、合作交流：
探究：
任意画一个三角形,再画一条与底边平行的直线,有成比例的线段吗？
平行线分三角形两边成比例定理：
把这个定理应用到三角形中，会出现下面两种情况
D
A
B
E
C

A
D
B
E
C

每幅图中的两三角形相似吗?
三角形相似的预备定理:
1. 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。
三、应用迁移
如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若
求 的值。
A
B
C
M
D
E

例1 求证：三角形的三条中位线所组成的三角形 与原三角形相似。
已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 求证：△ABC∽△FED
D
A
B
C
E
F

四、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
五、练习
1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．

3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
相似三角形的判定（1）
一、复习引入：
1．两个矩形一定会相似吗?为什么?
2．如何判断两个三角形是否相似?
根据定义：对应角相等，对应边成比例。
3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。
二、合作交流：
同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。
(1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。
(2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢?
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。
1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么?
2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?
3．发现什么现象：发现_____________________________________。
4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢?
这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。
于是:
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。
三、应用迁移：
1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，
判断这两个三角形是否相似。
2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗?

3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。
四、课堂练习
1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。
2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样?
五、巩固练习:
1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

2．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
相似三角形的判定（2）
一、复习引入
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?
有两种方法，(1)是根据定义；(2)是有两个角对应相等的两个三角形相似。
2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗?你用的是哪一种方法?
由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么数量后可以判断它们能否相似?
二、合作交流：
△ADE的两条边 AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗?
于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
注意:对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似。
你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗?(提示：画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，＝
三、应用迁移：
1．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：因为AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，

由于≠
所以△ADE与△ABC不会相似。
你同意小张同学的判断吗?请你说说理由。
小张同学的判断是错误的。
因为＝，＝＝　　所以＝
而 ∠A是公共角，∠A＝∠A，
所以△ADE∽△ACB．
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似?
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边成比例两三角形相似。
例2:△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。
例3已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．
四、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A1B1C1中，∠B1=30°A1B1=10㎝，A1C1=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．

相似三角形的性质
引入：
1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些?
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗?说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少?
二、合作交流
上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝2 。
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢?
一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢?我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，等于多少呢?与它们的相似比相等吗?得出结论：
相似三角形对应高的比等于相似比。我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?
同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?
两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?
看如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：

(2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )，
(3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( )
(3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。
以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
三、应用迁移:
例1、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

例2、如图所示,正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,DF⊥AE于F.
(1)试说明△ABE∽△DFA；
(2)求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.

四、巩固练习
1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为3:2，则对应中线的比等于( )。
2．相似三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为( )，周长比为( )，面积比为( )
3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么 △ABC的面积为( )。
4.已知：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，,BC＝36cm,AD＝12cm 。求：矩形FGNI的周长。
3.4 相似三角形的应用
复习．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，
(1) △DEF与△ABC相似吗?为什么?
(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少?

二、合作交流
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长。人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。
例1．我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一岸上选点B和C，使AB⊥BC，然后选点E，使EC⊥BC，用眼睛测视确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，就能算出两岸间的大致距离AB。
例2:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，A′B′＝2，AB＝274，
求金字塔的高度OB。

三、练习巩固
如图24．3．14，已知：　D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE＝∠C．
求证：　AD·AB＝AE·AC．
四、实践应用
1．到操场上用例1的方法测量旗杆的高，并与同伙交流看看计算结果是否大致上一样。
2．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米，那么高楼的高度为多少米?