沪教版九年级上册-26.2-二次函数的图像-讲义.doc

二次函数的图像
1．掌握几种特殊的二次函数的图像及其性质，学会用描点法画出其大致图像；
2．掌握顶点式、一般式的图像和性质；
3．掌握二次函数解析式的求法，提高运算能力；
4．在运用图像研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分
析、归纳和概括的能力．　　　
建议2分钟
设置问题：同学，上节课我们学习了二次函数的概念，你能举出生活中几个类似的关于二次函数的情形吗？
答：花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥，投篮或掷铅球时球在空中经过的路线等．
情境引入：投篮或掷铅球（教师现场抛橡皮）时球在空中经过的路线都会形成一条曲线，我们称之为抛物线．这些抛物线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？这些都将在新的一章二次函数中学习。
采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。
建议8分钟
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题型Ⅰ特殊的二次函数的图像和性质
例1： 二次函数的开口，对称轴是，顶点坐标是;
抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是；
二次函数的开口，对称轴是，顶点坐标是．（★） ．
【答案】向下、轴、（0,0）；向下、轴、（0,3）；向上、直线、（-2,0）．
变式：二次函数的开口，对称轴是,顶点坐标是；当时，则 （填“>”、“=”或“<”）．（★ ★） ．
【答案】向下、轴、（0,2）、> ．
例2：关于抛物线与抛物线，下列说法正确的是(　　) （★★） ．
① 它们的对称轴都是轴　　　 ② 它们的顶点坐标相同
③ 它们的形状相同，开口方向不同 ④ 它们可通过平移得到函数解析式
A.①② B．②③ C．①③ D．③④
【分析】两函数解析式中的，对称轴为轴. a的绝对值相同．符号相反，所以它们的
图象形状大小相同，开口方向相反．顶点坐标一为(0，0)，一为(0，－3) ．所以只
有①、③正确．
【答案】C ．
变式：已知二次函数，下列结论中正确的个数有(　　) （★★） ．
① 图象的顶点在原点　　　　② 图象的对称轴是y轴
③ 图象与x轴必有交点　　　④ y＝－c一定是它的最小值
A. 1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A ．
例3：要将二次函数的图像平移成的图像，只需将图像(　　)
A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位
C. 向右平移2个单位 D. 向左平移2个单位
【答案】 D ．
变式：把函数的图像旋转180°后，再向平移个单位就能得到顶点为原点的抛物线．（★★） ．
【答案】 左、1、 ．
例4：如图所示，若，则函数与在同一坐标平面中的大致图像是(　　) （★★） ．
　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　 C　　　　 　 　D
【答案】 C ．
变式：反比例函数和二次函数在同一坐标系中的大致图像是(　　)
【答案】 B ．
例5：已知二次函数．
求（1）这个二次函数的图像与轴的两个交点A、B之间的距离；
（2）若图像上另有一点，求△的面积．（★★） ．
【答案】（1） 设，则　
∴ 点A　点B ＝
（2）△的底边为时高为点M纵坐标的绝对值
∵ M在二次函数图象上
变式：抛物线经过点A(－3，a)．
（1）求A点关于抛物线对称轴的对称点B的坐标；
（2）若此抛物线的顶点为C.，求Δ的面积．（★★） ．
【答案】（1）过点A(－3，a)
则a＝－(－3＋1)2 ＝－2
点A(－3，－2)
对称轴为直线x＝－1
∴ 点B为(1，－2)
（2）点C(－1，0) 点A(－3，－2) B(1，－2)
∴ ＝4　．
题型Ⅱ二次函数的图像和性质
例1：若二次函数中，．则它的图像顶点落在(　　)
A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限
【分析】　二次函数的顶点坐标为，现，则，又. ∴ 顶点的横坐标和纵坐标均大于零，则点在第一象限．
【答案】 A ．
变式：在同一直角坐标平面内，二次函数，，图像的共同特点是(　　) （★★） ．
A. 抛物线的形状相同 B. 抛物线的对称轴相同
C. 抛物线的顶点坐标相同 D. 抛物线的开口方向相同
【答案】 B ．
变式：将二次函数的图像先向下平移1个单位，再向右平移2个单位后，得到的图像解析式是(　　) （★★） ．
A. B.
C. D.
【分析】二次函数图像平移，其开口方向，大小形状均不变，唯一改变的只是顶点位置的顶点坐标为(0，0)，向下平移1个单位，再向右平移2个单位为(2，－1)，即－m＝2，m＝－2，k＝－1. 解析式为.
【答案】B ．
变式：已知抛物线的顶点为(－3，1)，它是由函数的图像平移所得，那么此抛物线的解析式为(　　) （★★） ．
A. B.
C. D.
【答案】 A．
例3：用配方法将化为的形式，并求出它们图像的顶点坐标和对称轴．（★★） ．
【答案】　 ∴ 图象的顶点坐标为(，)
对称轴为直线 ．
变式：用配方法将化为的形式是．（★★） ．
【答案】 ．
例4：二次函数的图像与x轴相交于(2，0)、(－3，0)两点，与y轴交于点(0，－3). 那么这个二次函数的解析式为(　　) （★★） ．
A. B.
C. D.
【答案】 C ．
变式：如果抛物线的图像经过(0，3)、(－1，5)两点，那么代数式的值为．（★★） ．
【答案】 -1 ．
例5：若，则抛物线的顶点在(　　) （★★） ．
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D ．
变式：已知二次函数图像的顶点在第三象限，那么m的取值范围．（★★） ．
【答案】 ．
例6：已知抛物线的顶点恰好在x轴上，那么b的取值可以是(　　) （★★） ．
A. 0 B. ±2 C. D. ±4
【答案】C ．
变式：抛物线的顶点恰好在直线上，那么顶点坐标是，的值为．（★★） ．
【答案】（-1，-2）、 1 ．
例7：若a>0，b<0．则二次函数的大致图像是(　　) （★★） ．
　　　　A　　　　　　 　B　　　　　　 　C　　　　　　　　D
【答案】 A ．
变式：二次函数的图像如图所示，那么，b2－4，2a＋b，a＋b＋c这四个代数式中，值为正数的有(　　) （★★） ．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】 B ．
例8：:（1）若抛物线的顶点在y轴右侧，求m的取值范围；（★★） ．
【答案】 ．
（2）已知抛物线的顶点在x轴上，求k的值；（★★） ．
【答案】 3或-5 ．
（3）若抛物线的顶点在y轴，求k的值；（★★） ．
【答案】 -1 ．
变式：已知二次函数的图像的最高点为（2，4），求和b的值．（★★） ．
【答案】 ．
已知抛物线的顶点在第三象限，求的取值范围．
【答案】 ．
题型Ⅲ 灵活题型
例1：请你写出一个抛物线的表达式，此抛物线满足对称轴是轴，且在轴的左侧部分是上:升的，那么这个抛物线表达式可以是 ．（★★） ．
【答案】形如，如．
变式：已知一个二次函数的图像具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线左侧的部分，图像下降，在直线右侧的部分，图像上升．试写出一个符合要求的二次函数解析式：
．（★★） ．
【答案】 答案不唯一，满足题意即可，如 ．
例2：已知抛物线，点A（2，m）与点B（n，4）关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ．（★★） ．
【答案】 -4 ．
变式：抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点处，则点的坐标为 ．（★★） ．
【答案】（3,4）．
例3：根据下表中关于二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴（ ）（★★） ．
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
－1

－2

…
（A）只有一个交点； （B）有两个交点，且它们分别在y轴两侧；
（C）有两个交点，且它们均在y轴同侧； （D）无交点．
【答案】 B ．
变式：已知（其中为常数，且），小明在用描点法画
的图像时，列出如下表格.根据该表格，下列判断中，不正确的是（ ）（★★） ．
x
…

0
1
2
…
y
…

4

…
（A）抛物线开口向下； （B） 抛物线的对称轴是直线；
（C）； （D）．
【答案】 D ．
例4：已知抛物线与直线相交于M、N两点，点M、点N的横坐标分别是7和－2．
求：(1) M、N两点的坐标；
(2) 直线和抛物线的解析式；
(3) 若坐标原点是O，求△的面积．（★★★） ．
【答案】(1) 抛物线和直线相交于点M，N，且点M，N的横坐标分别是7和－2
∴
y＝－2x－16　
当x＝7时，y＝－30；当x＝－2时，y＝－12
∴ 点M(7，－30)　点N(－2，－12)
(2) ∵ m＝3　b＝－16
∴ 直线解析式为y＝－2x－16
抛物线解析式为y＝－x2＋3x－2
(3) ＝(12＋30)×9－×2×12－×7×30＝189－12－105＝72．
变式：已知抛物线经过(1，2)、(3，0)两点，它在x轴上截得线段的长为6．
求此抛物线的函数解析式．（★★★） ．
【答案】过点(3，0)且在x轴上截得线段长为6
(1) 交点在点(3，0)的右侧，则交点为(9，0)
设解析式为y＝a(x－3)(x－9)过点(1，2)
2＝a·16　a＝
∴ y＝(x－3)(x－9)＝x2－x＋
(2) 交点在(3，0)的左侧，则交点为(－3，0)设解析式为y＝a(x＋3)(x－3)过点(1，2)　
2＝－8a　a＝－
∴ y＝－(x＋3)(x－3)＝－x2＋
∴ 所求抛物线解析式为y＝－x2＋或y＝x2－x＋．
总结：
1．准确区分几种特殊的二次函数的图像和性质，掌握它们之间是如何进行平移变化的；
2．多动手画图，结合图形分析函数的特点，即数形结合；
3．认真审题和计算，保证基础部分不出错．
课后作业：
1．二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
(A) 向上、直线、(1，1)； (B) 向上、直线、(1，-1)；
(C) 向下、直线、(-1，1)； (D) 向下、直线、(-1，-1)．
【答案】B ．
2．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
（A）顶点是坐标原点；（B）对称轴是直线；（C）有最高点； （D）经过坐标原点．
【答案】 D ．
3．抛物线y＝－(x＋a)2的顶点坐标为(－5，0)，则图像向平移个单位就能得到解析式为y＝－x2的图像．
【答案】 右、5 ．
4．若抛物线与轴交于点、，则抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】 ．
5．已知抛物线，它的图像在对称轴 （填“左侧”或“右侧”）的部分
是下降的．
【答案】 右侧 ．
6．如果抛物线与轴的交点为，那么的值是 ．
【答案】 1 ．
7．一个二次函数具有下列性质：（1）图像经过点；（2）当时，函数值
随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小. 试写出
一个满足上述两条性质的函数解析式. ．
【答案】答案不唯一，如 ．
8．二次函数的图像，如图所示，它的对称轴是直线x＝－1，那么下列结论中正确的个数有(　　)
① a>0，b<0 ② a－b＋c<0 ③ 2a－b＝0 ④ b2－4>0
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】 C ．
9．在同一直角坐标平面内，直线和抛物线的大致图像，只可能是(　　)
【答案】 B ．
10．已知二次函数的顶点是A，与x轴的两个交点为B、C（B点在C点的左侧)与y轴的交点为D，求四边形的面积．
【答案】 y＝2x2＋3x＋1＝2(x2＋x)＋1＝2(x2＋x＋)－＋1＝2(x＋)2－
∴ A(－，－)
2x2＋3x＋1＝0 　(x＋1)(2x＋1)＝0
x＝－1，x＝－
∴ B(－1，0)C(－，0)
又点D(0，1)
∴ ＝S△＋S△＝··＋··1＝＋＝
即四边形的面积为．