中值定理罗必塔法则.docx

一、学习目的与要求
1、加深理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。
2、会应用中值定理做一些证明题。
3、熟练掌握用罗必塔法则求未定式的极限。
4、理解函数的极值概念。
5、掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点。
6、能描绘函数的图形（包括水平与铅直渐近线）。
7、会解较简单的最大值和最小值的应用问题。
8、知道曲率及曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。
二、学习重点
中值定理的应用
函数最值的求法及函数图形的描绘
三、内容提要
1、微分中值定理
名称
定理
简图
几何意义
罗尔（Rolle）定理
若函数满足
在闭区间上连续，
在开区间内可导，
，使得

若联结曲线端点的弦是水平的，则曲线上必有一点，该点的切线是水平的。
拉格朗日
(Lagrange)
中值定理
若函数
在闭区间上连续，
在开区间内可导，
，使得
或者

（）

曲线上总存在一点，该点的切线与连结曲线端点的直线平行。
推论1
在定理条件下，若则
常数

推论2
若、都满足定理条件，且
（c为常数）

柯西(Cauchy)
定理
若函数
在闭区间上连续，
在开区间内可导，
则使得

同上，只是曲线由参数方程（≤≤）
2、罗必达法则（L’Hospital）
类型
条件
结论
型
与
型
设当时与均为无穷小（或均为无穷大），且存在，使、在内可微且

注1 将结论中的换成或，且其它条件亦作相应变动，结论仍成立。
注2 其它未定型转化为型型的形式。
3、泰勒（Taylor）定理
设函数在含的某开区间内具有直至阶导数，则有

其中在与之间，称为在处的拉格朗日余项。
特别，在上式中令,得

此公式称为麦克劳林公式

称为带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式
称为带皮亚诺余项的麦克劳林公式
注 在学习过程中应注意上述四个定理之间的关系
4、函数的性质
（I）单调性
定理 设在[]上连续，在（）内可微。
（i）在[]上单调增（单调减）的充要条件是在（）内。
（ii）在[]上严格单调增（严格单调减）的充要条件是在（）内，且使=0的点不充满（）的任何子区间。
（II）极值
（1）极值的概念 设在点及其邻域有定义，对于充分接近的所有,
若<则称函数在=处取得极大值；若>，则称函数 在=处取得极小值。函数的极大值和极小值统称为函数的极值;使取得极值的点称为函数的极值点。若函数在点处可微，且，则称点为函数的稳定点（驻点）。
（2）基本定理
定理1（必要条件） 一个函数只能在它的稳定点及不可微点处取得极值。
定理2（第一判定定理） 设函数在点处连续，在的附近可微（点可除外），当点渐增经过点时，的符号由正（负）变负（正），则在点处取得极大（小）值。
定理3（第二判定定理） 设函数在点处具有二阶导数，且，，则当（）时函数在点处取得极大值（极小值）。
（III）函数最大值、最小值的求法
因为由闭区间上连续函数性质知：在闭区间[]上连续的函数在该区间上必有最大值和最小值。所以若在[]上可微，则可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由极值的判定定理，求出函数的极值点，然后比较函数在所有极值点处的值与函数的区间端点的值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。
若所考虑的区间为开区间或无穷区间，只要有办法断定最大值（最小值）是存在的，那么从所有极大值（极小值）中选取最大（最小）的就是最大值（最小值）。
特别地，若在开区间内只有一个驻点时，最大值（最小值）则就在这个驻点处取得。
（IV）函数的凸性及曲线的拐点
定义1 若连续曲线上任意两点的弦恒在曲线段的上侧（下侧），则称为下凸（上凸）函数，简称凸（凹）函数，而称曲线为下凸（上凸）曲线。若对于任给与有
则称为在[]上的凸函数，若将上式中的“≤”换成“<”，则相应地改称为“凸函数”为“严格凸函数”。若为凸（严格凸）函数，则称为凹（严格凹）函数。
定义2 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。
定理 设在（）内二次可微，在[]上连续
（i）在[]上的凸（凹）函数的充要条件是在（）内（）
（ii）在[]上严格凸（凹）的充要条件是在（）内（），且使的点不充满（）的任何子区间。
（V）曲线的渐近线
定义 当曲线无限伸展时，若曲线上的点与某一直线的距离趋于0，则称该直线为曲线的渐近线。
渐近线的求法：
铅直渐近线 若对于，有，则就是的铅直渐近线。
水平渐近线 若，则为的水平渐近线。
斜渐近线 若都存在，则的斜渐近线。
（VI）曲线的曲率 设为曲线上一点，为曲线上异于的任一点，弧的长记为，过与的两切线间的夹角为，当沿曲线趋近于时，（即0时）若存在，则称这个极限为曲线在点的曲率，记为，即;而称为曲线在点的曲率半径。在曲线凹方的一侧，半径为曲率半径的圆称为曲率圆，其圆心称为曲率中心。
曲率的计算公式：
若曲线的方程为，则曲线在点（）处的曲率为
曲率中心为
若曲线的方程为则曲线在（）处的曲率为 .
（VII）函数的作图步骤：
第一步，求出函数的定义域；
第二步，考察函数的奇、偶性，周期性；
第三步，求出方程的根，列表判别函数的单调区间与极值点；
第四步，求出方程的根，列表确定函数的凸凹性与拐点；
第五步，求出函数的渐近线；
第六步，计算几个点的函数值，画出图形。
四、思考题
1、当罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？试举例（或用图举例）说明。
2、当柯西中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？试以，为例在[-1，1]上讨论。
3、对函数应用拉格朗日中值定理，可得
再对函数应用拉格朗日中值定理，可得
二式相除，即证明了柯西中值定理这样证法对吗？为什么？
4、你能说明四个中值定理之间的关系吗？
5、是否任何函数都能在它的定义域内任一点展开为它的n阶Taylor公式？
6、是在内单调增加的充分条件还是必要条件，或充要条件？
7、若对任意均有＞，则对任意必有＞对吗？为什么？
8、若在至少二阶可导，且 ,则函数在=处取得极大值还是极小值，为什么？
9、已知函数对一切满足 ,若在某一点≠0处有极值，问是极大值还是极小值？为什么？
10、若，则点（，）必为函数曲线的拐点，对吗？为什么？
五、典型例题分析
例1 试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法。
（1）
分析 上式等号是错误的,因为时的极限不存在（振荡）不能使用罗必塔法则。
解
（2）
分析 第一个等号是正确的，第二个等号是错误的。因为本题应考虑及两种不同的极限过程，分两种情况考虑。
,
所以当时极限不存在。
（3）设，
分析 上式第一个等号是正确的。因为当时，，所以是型未定式。又因为，在=0的某邻域内存在，可以用罗必塔法则。第二个等号是错误的。虽然时，是未定式，但，仅代表在点=0处二阶导数存在。而在=0的邻域内是否存在没有说明，不满足罗必塔法则中的条件2，故不能用罗必塔法则,应该按导数定义计算。
解
（4）
分析 上述运算是错误的。因为n为自然数，数列的定义域是离散点集，对自变量n而言数列不存在导数，不能直接用罗必塔法则。计算时，可先将n扩充为连续变量，写出相应的函数。当时，是型未定式，可以使用罗必塔法则求函数的极限。显然，如果函数的极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限。但也需注意，如果函数的极限不存在，数列的极限可能还存在。
解 因，所以，当为正整数时
（5）求
解
==
=
分析 上述解法是正确的。这是型未定式，可应用罗必塔法则;而且为了简化运算，在第二个等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单独求极限，避免使用罗必塔法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化。
例2 求（1）；
（2）。
解 （1）属型未定式。

=
=
（2）属型未定式。
令，则，
=
所以
对于幂指函数的未定式都可以按上式的方法计算。
例3 如果为满足的实数，证明方程在（0，1）内至少有一个实根。
分析 依题意要证明的是,把它改写成

这是罗尔定理结论的形式，因此可以构造辅助函数
，
用罗尔定理证明。
证 设辅助函数

在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，。由罗尔定理知在（0,1）内至少有一点使得=0，（0<<1）,即

所以方程在（0，1）内至少有一个实根。
例4 设函数在闭区间[0，1]上的每个都有0＜＜1，且≠1,证明在（0，1）内有且仅有一个，使=。
分析 将要证的结论写成-=0，利用介质定理可证方程在[0，1]内至少有一个实根，是否存在第二个实根可用反证法。
证 先证存在性
设 在[0，1]上的连续，由于0＜＜1，
则
由连续函数的介值定理可知，至少存在一点，使得，即。
再证唯一性，用反证法：
假设在（0，1）内除了点使=之外，还有一点也使=。不妨设＜
由于在[，]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此在（，）内存在一点,
使

这与题设相矛盾，因此方程=有唯一的实根。
小结 证明方程只有一个实根或函数在某一区间上只有一个零点，一般需分别证存在性与唯一性。存在性的证明往往利用连续函数的介值定理或罗尔定理，而唯一性经常用反证法。
例5 假设是[]上的正值可微函数，则有点（），使

分析 假设等式成立，把它改写成
，
显然，上式左端是函数在[]上增量与区间长度之比，右端是在点的导数。因此，可以构造辅助函数，用拉格朗日中值定理证明。
证 设=，在[]上连续，在（）内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ，（）
即
例6 设在[，]上可导，且0＜＜，试证明在（，）内至少存在一点使

分析 由于左端，
这正是函数与在区间[，]上增量之比，
右端
因此，可以构造辅助函数

用柯西中值定理证明。
要证明=，
也就是要证 +（）[]=0，
两端同除以得 +（）[]=0，
把上式写成 ，
这是罗尔定理结论的形式。因此可以构造辅助函数
，用罗尔定理证明。
证法1 用柯西中值定理
设,，因0＜＜，故在（，）内
、在[，]上满足柯西中值定理的条件，故有
， （）
即得 =
证法2 用罗尔定理
设辅助函数 ，
在[，]上连续在（，）内可导，且

由罗尔定理得
+（）[]=0，
即 =
小结 证明与微分中值有关的等式问题，可以应用微分中值定理。如果命题比较复杂往往要构造辅助函数。构造辅助函数常用的方法之一是将欲证的结论写成中值定理结论的形式。例如将等式变形，使含中值的项移到一边，观察含的一边是否为某个函数或某两个函数、的导函数在处的值或。也可以观察不含的另一端是否为某个函数在此区间的增量与区间长度之比，或者是某两个函数、在此区间上增量之比，由此确定应该构造的辅助函数及相应的区间。
例7 证明当时，
分析 将不等式变形为 即 ，右端是函数在区间[0，]或[，0]上函数的增量与区间长度之比。于是，可以构造辅助函数，选定区间[0，]或[，0]应用拉格朗日中值定理。如果将不等式变形为，左端是函数和函数1+在区间[0，]或[，0]上增量之比。于是，可以构造辅助函数=和=1+，选定区间[0，]或[，0]应用柯西中值定理。
此外，还可将在=0点展开为一阶麦克劳林公式。因此，可以用三种方法证明不等式。
证法1 用拉格朗日中值定理。
设=，在（）内连续、可导。任取，则在[0，]或[，0]上满足拉格朗日中值定理的条件，故有 ， （在0与之间）
所以 当＞0时，＞0，＞1，＞，从而＞1+，当＜0时,＜0，
＜1,＜，从而＞1+，所以当时，
证法2 用柯西中值定理。
设=，=1+，在（）内任取，在[0，]或[，0]内、 满足柯西中值定理的条件。①在[0，]或[，0]上连续；②在（0，）（，0）内可导；③在（0，）（，0）内=1≠0且 ，
故有 ，（在0与之间）; 当＞0时，＞1，，
有＞1+;＜0时，＜1，，有＞1+，所以
当时，。
证法3 用泰勒公式。
设=，将在=0点展开为一阶麦克劳林公式 （在0与之间）因为当≠0时 ＞0，所以 这就证明了≠0时
小结 利用拉格朗日中值定值、柯西中值定理和泰勒公式证明不等式的关键是构造适当的辅助函数和选择适当的区间，使它满足定理的条件。其次是如何将等式转化成不等式，主要是把适当放大或缩小从而得到所要证明的不等式。
例8 设在[]上连续，在（）内有一阶、二阶导数且
，
试证在开区间内至少存在一点使
分析 由知在点的右邻域内存在一点，使得。又自然想到将分成，二个区间，在每个区间上对应用拉格朗日中值定理，找到。选定[，]闭区间，再次应用拉格朗日中值定理即可得到结果。
又，由于在内二阶可导，，且研究的结论是，而泰勒公式中包含二阶导数，自然想到也可以用泰勒公式证明。
证法1 用拉格朗日中值定理。
由 可知，存在，当 时，，从而，在，上满足拉格朗日中值定理条件，故在 上有
， （）
在上有 ， （）
又在[，]上满足拉格朗日中值定理条件，故在[，]上有
（）
因为 ＞0，，所以 ＞0，＜0
又因 ＞0，＜0，所以 ＜0。
证法2 用泰勒公式。
由题设得到，在内必存一点
使得。设在点取得最大值，
，
，（在与之间）
令，则有
，即 ＜0，
因为 ＞0，所以 ＜0。
小结 证明包含二阶以上导数的有关结论，如果用拉格朗日中值定理，就要分析题目条件选定二个以上适合中值定理条件的区间，多次应用拉格朗日中值定理。泰勒公式中含有各阶导数值，也可以用来证明与二阶以及以上导数有关的命题。
例9 求函数的极值（0≤≤2）。
解，,
令 0，得驻点 。
而 ，所以 为极大值。
又 ＞0，所以 为极小值。
说明 此题为可导函数且在驻点处，所以找出驻点后，用第二充分条件进行判断方便。
例10 已知函数问为何值时，取得极值。
解，当=0时，

所以，当=0时，不存在。
令=0，即=0，得驻点,（将可疑点=0及按大小顺序排列，把函数的定义域（）分成三个部分区间，讨论在各部分区间上一阶导数的符号。）
当＜0时，＞0；当0＜＜时，＞0；当时，<0
故当=0时，函数取得极大值，当时函数取得极小值
由此可见，分段函数求极值的步骤与非分段函数求极值的步骤一样，关键是在分段点求导时，要用导数定义来求。若在分段点处的导数为0或不存在，则分段点为可疑点；若在分段点处导数存在，但不等于0，则分段点不是可疑点。
例11 设，（为自然数），其中是连续函数，问当时， 在点处是否取得极值？为什么？
分析 题中只知道连续，因而也是连续的，但不知是否可导，故不能用导数等于零来求驻点，只能用函数的极值定义来进行判断。此外，题中还有自然数，在点是否取极值与有关。
解 由于在点处连续，且，故存在。当 时，，此时，函数在该邻域内的符号完全由因子决定，而的符号又与的奇偶性有关。
（1）若为偶数，当且时 ，而 ，
所以为极小值。
（2）若为奇数，当时，当）时，
所以 不是极值。
小结 求函数的极值的步骤为：
1、找出可疑点 可疑点包括：（1）驻点；（2）使一阶导数不存在的点（但函数在此点连续）；（3）函数在该点有定义，但不连续。
2、判断。对（1）、（2）两类可疑点，利用极值存在的第一或第二充分条件；对第（3）类可疑点，则利用极值定义。
3、求出极值。
例12 求函数在（）上的最大值和最小值。
解=
当时，，为常值函数,
当时，，单调增加,
当时，，为常值函数,
又因在（）内连续，所以为最小值，为最大值。
例13 在轴上给定一点（），求此点到抛物线的最短距离（数可以取任何实数值）。
解 目标函数，

（1） 当时，，单调递增，所以为最小值，即，所以，。
（2）当时，为的唯一驻点，又因，故为极小值，也是最小值，=。所以，。
说明 （1）我们只讨论抛物线在第一象限部分，由于对称性，第二象限部分同样可以讨论，其结果相同。
（2）目标函数也可以用作为自变量。
y

A
B
图5-1

C

O
图5-2
x

图5-2

例14 如图5-2所示，半圆的直径为2。A为直径延长线上一点。OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值。
解 作，则。
面积
面积 。
四边形面积为：，其中
令=0得为（0，）内唯一的驻点，又因
，所以为极大值，也是最大值，故在时，四边形的面积最大，最大值为
=
小结 在闭区间上的连续函数，在该区间上最值一定存在。对于式子题求最值，只须算出函数可疑点处与端点处的函数值时行比较，最大者就是最大值，最小者就是最小值。对于应用问题求最值，往往根据问题的性质就可断定函数确有最大值或最小值，且一定在定义区间内部取得，这时如果方程在定义区间内部只有一个根，那么不必讨论是否为 极值，就可断言是最大值或最小值。
例15 求函数的连续区间、可导区间、单调区间、凹凸区间、极值点、拐点和渐近线。
解
因为 ，所以函数在=0处连续，故连续区间为（）
又
而 ，
，
函数在=0处不可导，在和（）可导。

令，得=1，令，得=2，列表如下：

（）
0
（0,1）
1
（1,2）
2
（2,+）

—
不存在
+
0
—
—
—

+
不存在
—
—
—
0
+

图形

极小
拐点

极大

拐点

故单调增区间为（0,1），单调减区间为（—，0），（1，+），凸区间为（0,2），凹区间为（—，0），（2,+ ）；极小值点为=0，极大值点=1，拐点为（0,0），（2，）。又,故y=0为水平渐近线。
例16 描绘函数的图形
解 （1）定义域（—,0）及（0,+ ）,无奇偶性，无周期性。
（2），令得，
令，得。（在定义域内，及不存在的点没有）
（3）列表

（）
—1
（—1,0）

—
—
—
—
0
+

+
0
—
+
+
+

拐点

极小

（4）渐近线：因，所以=0为铅直渐近线。
（5）描图：,
,
y
小结 描绘函数图形是导数知识的综合应用。描绘函数的图形的一般步骤为：
x
-1

1、确定函数的定义域、奇偶性、周期性。
2、求出函数的一阶导数及二阶导
数，找出在定义域内的下列各
点：间断点、驻点；一阶导数不存
在的点；使二阶导数为0的点；二阶
导数不存在的点等，将这些点按大小
顺序排列，把函数的定义域划成几个
部分区间。
3、列表。根据，的符号，把函数图形在各部分区间的升降和凹凸，极值和拐点等在表中列出。
4、求渐近线。
5、描图.
例17 方程有几个实根？
解 令 ，
则
令 得
当时，，函数单调减小;
当时，，函数单调增加;
当时，，函数单调增加;
所以= -31是极小值。= -15不是极值。
而 ，
故方程有二实根，分别在（—，—1）及（1，+）内。
例18 试证 （1）方程以0为其最大实根；
（2）这个方程有多少个根?
证（1）因为，所以0是方程的根。
令 ，,
显然。又,故当>0时，。因此，当>0时，,曲线及不会相交;当>0时，方程无实根,故方程以0为其最大实根。
（2）为周期T=2的周期函数,它在直线及 间来回振动。而，当时，，即曲线以轴为渐近线，故两曲线及 在内无限多次相交，所以原方程有无限多个根。
例19 证明不等式当时成立。
证 令，则
所以在[]上单调增，当时=0即
（2）令，则在（）可正可负，因此在（）内不单调，要证当：时，，证即可。为此，令
，而
由于当时，，所以。函数在（）内单调减小， 因此，当时，有 ，即
所以 （）
例20 若，求证：
分析 因中间部分是的函数，两端是常数且式中出现等号，故可联想到闭区间上的连续函数，在该区间上一定能取得最值，且其函数值介于最小值与最大值之间，若能证明函数在区间[0，1]上的最小值为，最大值为1，那么此不等式便可得到证明。
证 设，则
令 得驻点,
闭区间上的连续函数，其最值只可能在可疑点或端点处取得，将与=1,=1比较，得为函数在[0，1]上的最小值，1为函数在[0,1]上的最大值，因此，当时
例21 设曲线 ,,问：t为何值时曲率最小，并求出最小曲率，写出该点处曲率半径。
解 曲线是参数方程给出的，曲线上点M(x,y)处的曲率为
现 ，
，， ，，

=
显然，当即t=时曲率K最小，所以最小曲率，曲率半径R=4。