初中数学二次函数做题技巧.doc

实用文档初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)顶点式抛物线的顶点 P(h，k) ：y=a(x-h)2+k交点式仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b2)/4a一般式和交点式的关系 x1,x2=-b(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)中考数学精选例题解析：一次函数（1）知识考点：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。精典例题：【例1】二次函数的图像如图所示，那么、这四个代数式中，值为正的有（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个解析：1 0答案：A评注：由抛物线开口方向判定的符号，由对称轴的位置判定的符号，由抛物线与轴交点位置判定的符号。由抛物线与轴的交点个数判定的符号，若轴标出了1和1，则结合函数值可判定、的符号。【例2】已知，0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的解析式。分析：由可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为，则原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点（1，0），解得原抛物线的解析式为：评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称，反号；两抛物线关于轴对称，此时顶点关于轴对称；探索与创新：【问题】已知，抛物线（、是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛物线的顶点是B。（1）判断点A是否在抛物线上，为什么？（2）如果抛物线经过点B，求的值；这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。解析：（1）抛物线的顶点A（，），而当时，所以点A在抛物线上。（2）顶点B（1，0），；设抛物线与轴的另一交点为C，B（1，0），C（，0），由抛物线的对称性可知，ABC为等腰直角三角形，过A作AD轴于D，则ADBD。当点C在点B的左边时，解得或（舍）；当点C在点B的右边时，解得或（舍）。故。评注：若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。跟踪训练：一、选择题：1、二次函数的图像如图所示，OAOC，则下列结论： 0；。其中正确的有（ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 2、二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ） A、6、4 B、8、14 C、4、6 D、8、143、如图，已知ABC中，BC8，BC边上的高，D为BC上一点，EFBC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，DEF的面积为，那么关于的函数图像大致是（ ） A B C D4、若抛物线与四条直线，围成的正方形有公共点，则的取值范围是（ ） A、1 B、2 C、1 D、25、如图，一次函数与二次函数的大致图像是（ ） A B C D二、填空题：1、若抛物线的最低点在轴上，则的值为 。2、二次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。则当时，的值是 。3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是轴，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。4、已知抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则它的顶点为 ， 。三、解答题：1、已知函数的图像过点（1，15），设其图像与轴交于点A、B，点C在图像上，且，求点C的坐标。2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 3、抛物线，和直线（0）分别交于A、B两点，已知AOB900。（1）求过原点O，把AOB面积两等分的直线解析式；（2）为使直线与线段AB相交，那么值应是怎样的范围才适合？4、如图，抛物线与轴的一个交点为A（1，0）。（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到轴、轴的距离的比为52的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：BCDDC二、填空题：1、2；2、7；3、；4、（2，2），；三、解答题：1、C（，1）或（，1）、（3，1）2、（1）；（2）10月；（3）5.5万元3、（1）；（2）304、（1）B（3，0）；（2）或； （3）在抛物线的对称轴上存在点P（2，），使APE的周长最小。中考数学精选例题解析函数与一元二次方程知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题：【例1】已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。略解：（1）由已知有，解得且 （2）由得C（0，1）又或或【例2】已知抛物线。（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴上；（2）设抛物线与轴交于点A，与轴交于B、C两点，当ABC的面积为48平方单位时，求的值。（3）在（2）的条件下，以BC为直径作M，问M是否经过抛物线的顶点P？解析：（1），由，可得证。（2） 又 解得或（舍去） （3），顶点（5，9）， M不经过抛物线的顶点P。评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：【问题】如图，抛物线，其中、分别是ABC的A、B、C的对边。（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；（2）设有直线与抛物线交于点E、F，与轴交于点M，抛物线与轴交于点N，若抛物线的对称轴为，MNE与MNF的面积之比为51，求证：ABC是等边三角形；（2）当时，设抛物线与轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1） ， （2）由得 由得： 设E（，），F（，），那么：， 由51得： 或 由知应舍去。 由解得 ，即 或（舍去） ABC是等边三角形。（3），即 或（舍去） ，此时抛物线的对称轴是，与轴的两交点坐标为P（，0），Q（，0）设过P、Q两点的圆与轴的切点坐标为（0，），由切割线定理有： 故所求圆的圆心坐标为（2，1）或（2，1）评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ） A、2 B、12 C、24 D、2或242、已知二次函数（0）与一次函数（0）的图像交于点A（2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、或 3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且ABE是等腰直角三角形，AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为13，则的值为（ ） A、或2 B、 C、1 D、2二、填空题：1、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则 。2、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。3、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且ACB900，则 。4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：当时，；当时，；方程0有两个不相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。三、解答题：1、已知二次函数（0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使POA的面积等于EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，若点A关于轴的对称点是点D。（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且HBD与CBD的面积相等，求直线PH的解析式；3、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。（1）求抛物线的解析式；（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题：CDBD二、填空题：1、2；2、；3、3；4、三、解答题：1、（1）；（2）存在，P（，9）或（，9）2、（1）；（2）3、（1）；（2）当时APB为锐角，当或时APB为钝角。 聚能教育文案大全