高等数学大一上期末试题及答案.doc

2017-1-9
1. 设，求的间断点，并指出间断点的类型。
为跳跃间断点； 为第二类间断点。
2.求的值，使点（1, 3）为曲线的拐点。
。
3.已知两曲线与在点(0, 0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限
解
4. 求定积分
。
换元
5.求不定积分
。
6.计算反常积分

7.已知，求
解
8. 判断级数的敛散性。
，
所以，当时，级数收敛；
当时，级数发散。
9.设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且， 若在时是比高阶的无穷小，试确定的值
。
二、（9分）求极限
。
三、（9分）设，是由曲线段及直线所围成的平面区域，分别表示绕轴与y轴旋转所成旋转体的体积，若，求的值。

四、（9分）设，其中f (x)在x = 0处二阶可导，求f (0)，f ¢(0)，f ¢¢(0)。
f ¢¢(0) = 4
五、(9分) 越野赛在湖滨举行，场地如图，出发点在陆地A处，终点在湖心B处，A，B南北相距5km，东西相距7km，湖岸位于A点南侧2km, 是一条东西走向的笔直长堤。比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从A出发跑步到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点B。已知某运动员跑步速度为，游泳速度为，问他应该在长堤的何处下水才能使比赛用时最少？
此驻点是唯一的，则在点下水，用时最少。

六、证明题 （每题5分，共10分）
1. 设函数f (x)在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且，证明：方程在(0, 1)内至少有一个实根。
设 ，
2. 设函数f (x)在内有定义，在点的某邻域内有一阶连续导数，且，证明：条件收敛。
2、证明 由，得，……………..1分
在点的某邻域内有连续，则存在，使在上，因此在上单调增加，于是存在, 当时，有，
，则交错级数收敛。
又
而发散，故发散，所以条件收敛。