一元二次方程全章复习讲义.doc

一元二次方程
内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：.
2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题.
知识点一：一元二次方程的定义及一般形式
【知识要点】
一元二次方程的一般形式：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
针对练习：
1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解
【知识要点】
1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在中，x取特殊值时，a、b、c之间满足的关系式。
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
例3、一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。

针对练习：
1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
2、已知m是方程的一个根，则代数式 。
3、已知是的根，则 。
4、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
5、若 。
知识点三：一元二次方程的解法
【知识要点】
一元二次方程的常用解法有（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法。
通常可以这样选择合适的解法：
（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。
（2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。
（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。
（4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。
例1、解方程：

例2、若，则x的值为 。
例3、的根为（ ）
A B C D
例4、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例5、方程的解为（ ）
A. B. C. D.
针对练习：
1、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
2、方程：的解是 。
3．解方程：

知识点四：配方法运用
【知识要点】
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
例：用配方法解
第一步，将二次项系数化为：，（两边同除以）
第二步，移项：
第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：
第四步，完全平方：
第五步，直接开平方：，即:,
例1、试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

例3、已知为实数，求的值。

变式：已知，则 .

知识点五：降次思想的应用
【知识要点】
利用因式分解或整式的变形，巧妙地在运算中进行变形，从而达到降次的目的。
例1、已知，求代数式的值。

例2、如果，那么代数式的值。

例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。

知识点六：根的判别式理解与应用

【知识要点】
(1)一元二次方程根的情况：
①当时，方程有两个不相等的实数根；
②当时，方程有两个相等的实数根；
③当时，方程无实数根.
(2)判定一元二次方程根的情况；
(3)确定字母的值或取值范围。
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
针对练习：
1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。
2、当取何值时，二次三项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .
4、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C.≤ D. ≤且
5、 一元二次方程的根的情况为（　　）
A.有两个相等的实数根    B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根   D. 没有实数根
6、已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数，当____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；
7、若关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围。

8、已知关于的方程，当为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

9、已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.

10、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ）
A.         B.         C. ≥         D.
11、一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
12、求证：关于的方程有两个不相等的实数根。

知识点七：根与系数的关系（韦达定理）
【知识要点】
韦达定理:如一元二次方程的两根为，则，
适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(是方程两根)；
（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）
（2）；
（3）①方程有两正根，则；
②方程有两负根，则 ；
③方程有一正一负两根，则；
（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为，即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时，需使二次项系数，同时满足≥;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和，两根之积的代数式的形式，整体代入。
针对练习：
1、已知方程的两根是，则： ，= ，
2、已知方程的一个根是1，则另一个根是 ，的值是 .
3、若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=______，若两根互为倒数，则q=_____．
4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，,c= .
5、若方程中有一个根为零，另一个根非零，则的值为 ( )
（A） （B） （C） （D）
6、两根均为负数的一元二次方程是(　)
　　A.4x2+21x+5=0 　　B.6x2-13x-5=0　　　　　C.7x2-12x+5=0　　　　　D.2x2+15x-8=0
7、已知方程，则下列说中，正确的是 （ ）
（A）方程两根和是1 （B）方程两根积是2
（C）方程两根和是 （D）方程两根积是两根和的2倍
8、已知方程的两个根都是整数，则的值可以是（ ）
（A） —1 （B） 1 （C） 5 （D） 以上三个中的任何一个
9、已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是，则这个方程是（ ）
（A）（B）（C）（D）
10、 如果方程与方程有一个公共根是3，求,的值，并求方程的另一个根.

11、已知关于x的方程 ( a2 – 3 ) x2 – ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个实数根互为倒数，求a的值.

12、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么?

知识点八：一元二次方程应用题
【传播问题】
例1：有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】：设平均一个人传染了x个人。
最开始有一人患流感，
第一轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。
第二轮传染时，传染源是 人，新感染了 人，共有 人感冒。
你发现题目的等量关系了吗？请试着列出方程并求解。（教师注意点评）

如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？

例2：某种树木的主干长出若干支杆，每个支杆又长出同样数目的小分支，主干、支杆和小分支的总数为91，每个支杆长出多少小分支？

巩固练习：
1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182 D．x（1-x）=182×2
2、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
3、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？

4、一个多边形有35条对角线，求这个多边形的边数。

5、一个两位数等于它的个位数的平方，且十位数字比个位数字小3，求这个两位数。

6、三个连续奇数，其中最小的数的平方的3倍减去25等于较大两个数的平方和，试求这三个数。

7、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的乘积为736，求原来的两位数。

8、若直角三角形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的面积。

【变化率问题】
例：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析：甲种药品的成本由5000元降至3000元是经历了几年下降？
乙种药品的成本由6000元降至3600元是经历了几年下降？
①、设甲种药品成本的年平均下降率为x，则：
一年后甲种药品的成本是 元，两年后甲种药品的成本是 元，
依此可列方程并求解：

②、设乙种药品成本的年平均下降率为x，则：
一年后乙种药品的成本是 元，两年后乙种药品的成本是 元，
依此可列方程并求解：

③、通过上面的求解，请作答：

点评：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
巩固训练：
1、随县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元，求人均年收入的平均增长率。

2、某电脑公司2010年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。

3、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A、10% B、19% C、9.5% D、20%
4、国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年提高44%，这两年，该镇农民人均收入平均年增长率是（ ）
A、22% B、20% C、10% D、11%
5、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头20年，要实现这一目标，以10年为单位计算，每个10年的国民生产总值的增长率都是x，则可列方程是（ ）
A、（1+2x）2=2 B、（1+x）2=4 C、1+2x=2 D、（1+x）2+（1+x）=4
6、某电动自行车厂三朋份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量到1210辆，求该厂四、五月份的月平均增长率。

7、商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元，若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率。

8、2008年，A市投入600万元用于改水工程，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资1176万元。
①、求A市投资改水工程的年平均增长率。
②、从2008年到2010年，A市三年共投资改水工程多少万元？

9、从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少，第三年度比第二年度减少，第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少？（以下数据供选用：≈1.414，≈3.606，计算结果精确到百分位）

【市场营销问题】
例1：李先生将1000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元及利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8410元，试求不计利息税时这种存款的年利率（精确到0.01）
（解题前教师引导学生熟悉存款问题中“本金、利率、利息、本息和”之间的关系，学生自已解决，教师注意点评）
本 金 × （1+利率）× 时 间 = 本 息 和

例2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：设每件衬衫应降价x元，则可用含x的式子表示下面等量关系中的各个量：
单 利 润 × 销 量 = 总 利 润

注意：营销问题中关于利润的另一个等量关系式：总收入－总支出=总利润
巩固练习：
1、某水果批发商城经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量就减少20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

2、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：
如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。如何定价才能使每
星期的利润为1560元?每星期的销量是多少？

3、某西瓜经营户以2元每千克的价格购进一批西瓜，以3元每千克的价格出售，每天可出售200
千克。为了多销售，他决定降价销售,市场调查反映：如果每千克的售价降0.1元，那么每天可多
卖40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，若每天的利润为200元，每千克的售价应降
多少元?

4、某商店购进一种商品，单价30元。试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：。若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

5、某宾馆有客房间，当每间客房的定价为每天元时，客房会全部住满．当每间客房每天
的定价每涨元时，就会有间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出元
的各种费用。设某天的利润为元时客房定价应为多少元？

6、某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，这样一来共用4天完成了任务。求改进操作方法后，每天生产多少件产品？

7、两地相距公里，甲工程队要在两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设公里，甲工程队提前周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？

8、某种新产品进价是120元，试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日的盈利可达到1600元。
每件售价/元
130
150
165
日销量/件
70
50
35

【形积问题】
1、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？

2、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？

3、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m ，在它的四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246m2,求小路的宽度。

4、一个直角三角形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度。

5、一个菱形的两条对角线的和是10cm，面积是12cm2，求菱形的周长。（精确到0.1cm ）

6、要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框便的宽度是多少？（精确到0.1cm）

7、要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形盒子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？

8、一次函数和反比例函数，（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系
中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A、B，是锐角还是钝角？

9、有一块面积为150米2的长方形场鸡场的一边靠墙（墙长18米），另一边用竹篱笆围成，如果竹篱笆长35米,鸡场的长与宽各是多少？

单元小结：

你在学习中还有什么没有弄懂的问题吗？

家长意见：