新人教版八年级数学下册知识点总结归纳.doc

八年级数学（下册）知识点总结
二次根式
【知识回顾】
1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
（＞0）

（＜0）
0 （=0）；
4.二次根式的性质：
（1）（）2= （≥0）； （2）
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
典型例题
1．(1)二次根式的值是（※）.
（A） （B）5或 （C）25 （D）5
(2)二次根式的值是（※）.
（A） （B）或 （C） （D）
(3)计算: ※ ．
（第14题）
(4)实数，在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ※ ．

2. (1)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为（※）.
（A）　　 （B）　　 （C）　　 （D）
(2)函数的自变量的取值范围是 ※ ．

3．(1)下列各式计算正确的是（※）.
（A） （B）
（C）= （D）
(2)下列各式计算正确的是（※）.
（A） （B）
（C）= （D）

4 (1)（本小题满分6分，各题3分）
计算：（1）； （2）.

(2).（本小题满分6分，各题3分）
计算：（1）; （2）.

 勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4.直角三角形的性质
（1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下： BC=AB
∠C=90°
（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下： CD=AB=BD=AD
D为AB的中点
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

9、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

10数学口诀.
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
勾股定理经典习题
1．（1）若的三边长分别为，那么此三角形最大的内角的度数是（※）.
（A） （B） （C） （D）
（2） 在中，则该三角形为（※）.
（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰直角三角形
（第10题）
2．如图，在□ABCD中，与相交于，,,则△AOB的周长为（※）. （A） （B）
（C） （D）

3 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量，则树高为（※）米.
（第15题）
（A） （B） （C） （D）
A
B
C
D
E

（第16题）
（第8题）

4.在中，，，若点在边上移动，则的最小值是 ※ ．
5.（1）如图，在三角形纸片ABC中，BC=3，，,在上取一点，沿折叠，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为 ※ ．
（第16题）

（2）如图有一块直角三角形纸片，,，
，现将△沿直线折叠，使点
落在直角边的中点处，则 ※ ．

6（本小题满分6分）
如图一架长的梯子斜靠在竖直的墙面上,此时的长，如果梯子的顶端沿着墙下滑1，那么梯子底端也向外移动吗？为什么？

B
OO
A
墙
地面
（第18题）
（第20题）
（第19题）

7．（本小题满分8分）
（第23题）
已知：△和△都是等腰直角三角形，△的顶点在△的斜边上（如图所示），.
（1）求的长；
（2）设，求的值.

四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.

2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.

3．平行四边形的性质：
因为ABCD是平行四边形Þ

4.平行四边形的判定：
.

5.矩形的性质：
因为ABCD是矩形Þ

6. 矩形的判定：
Þ四边形ABCD是矩形.

7．菱形的性质：
因为ABCD是菱形
Þ

8．菱形的判定：
Þ四边形四边形ABCD是菱形.

9．正方形的性质：
因为ABCD是正方形
Þ
（1） （2）（3）

10．正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形

14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，三角形中位线，梯形中位线.
二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
三 公式：
1．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）
2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）
四 常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
平行四边形
1 (1)如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC＝，

（第13题）
（第13题）
则OE的长为 ※ ．

(2)如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，若AD＝，则OE的长为 ※ ．
（第8题）
2如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有（※）.
（A）2对 （B）3对 （C）4对 （D）5对

（第9题）
4. （1）四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（※）.
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列结论中，不正确的是（※）.
（A）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（B） 对角线相等的平行四边形是矩形；
（C）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；
（D）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
（3)．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（※）.
（A）菱形 （B）矩形 （C）矩形和菱形 （D）正方形

（第18题）
D
B
A
C
5.（本小题满分6分）
如图所示，把一幅直角三角板摆放在一起，
,,量得，
试求、的长．

（第21题）
6（1）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=4，BC=6，求四边形OCED的周长和面积．

(2)（本小题满分7分）
如图，在□中，对角线、相交于，,,求 的度数.

B
OO
A
墙
地面
（第18题）
（第20题）
（第19题）

‘

B
D
C
A
F
E

（第23题）
7.（本小题满分8分）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，
连结CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线
上取一点F，使AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形．
（2）若，试求的面积与
四边形ACEF面积的比值．

8.（本小题满分9分）
如本题图1，在中，，．是关于直线的对称点，连接交于，连接、,是线段上一动点，连接、．
（1）判断四边形是怎样的四边形，并说明理由；
（2）设，的面积为，求随变化的解析式，写出自变量的取值范围；
（第25题图2）

（第25题图1）
（3）如本题图2，延长交线段于点，作于,设的面积为.当时, 试比较与的大小，并对结论给予证明.

（第25题）
9如图，在□中，，，为中点，于点，连接,设．
（1）当时，求CE的长；
（2）当时, ①证明：；
②设的度数为，的度数为，
求关于的函数解析式．

一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做 常量 。
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一 切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
九、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．
2. 求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
4. 解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．
十、一次函数与正比例函数的图象与性质
一　　次　　函　　数
概　念
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图　像
一条直线
性　质
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
一次函数表达式的确定
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.
5.一次函数与二元一次方程组：
解方程组

从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并求出这个函数值

解方程组 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.

一次函数
1 (1)．若正比例函数的图象经过点（2，1），则的值是（※）.
（A） （B） （C） （D） 2
(2). 若正比例函数的图象经过点（1，2），则的值是（※）.
（A） （B） （C） （D） 2

2. 根据下表中一次函数的自变量与函数的对应值，可得的值为（　　）.

…
2
0
1
…

…
3

0
…
（A） （B） （C） （D）
3. (1）对于函数，下列结论正确的是（※）.
（A）它的图象必经过点 （B）它的图象经过第一、二、三象限
（C）当时， （D）的值随值的增大而增大

（2）．一次函数若随的增大而增大，则需要满足的条件是 ※ ．
（3）一次函数若随的增大而增大，则的取值范围是 ※ ．

4 (1）如图，直线：与直线：相交于点P（，2），则关于的不等式
≥的解集为（※）.y
x
O
P
2
a
（第10题）

（A） （B） （C） ≥1 （D）

（2）（本小题满分7分）
如图，直线与直线在同一平面直角坐标系内交于点P．
（1）直接写出不等式2x > kx+3的解集;

B
OO
A
墙
地面
（第18题）
（第20题）
（第19题）
（2）设直线与x轴交于点A，求△OAP的面积．

（第16题）
5．直线沿轴平移个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 ※ ．
6（1）.（本小题满分7分）
已知：一次函数的图象经过，两点.
（1）求的值；
（2）求直线与轴的交点坐标.
(2)．（本小题满分8分）
已知：一次函数的图象经过，两点.
（1）求一次函数的解析式；
（2）当时，求的值；
（3）当取何值时，.
7.（本小题满分9分）
（第24题）
“五一节”期间，何老师一家自驾游去了离家170的某地，下面是他们离家的距离与汽车行驶时间（h）之间的函数图象.
（1）出发半小时后离家多少？
（2）求关于的函数解析式，并指出的取值范围；
（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少？

8（本小题满分9分）
、两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往城，乙车驶往城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距城高速公路入口处的距离（千米）与行驶时间（时）之间的关系如图．
（1）求关于的表达式；
（2） 已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为（千米）．请直接写出关于的表达式；
（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度,并在下图中画出乙车离开城高速公路入口处的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数的图象．
1
2
33

43

53

60
120
180
240
300
360
O
/千米
/时
（第24题）

数据的分析
数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差
1．解统计学的几个基本概念
    总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
    2.平均数
    当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平均数公式，其中a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;当所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
    3.众数与中位数
    平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
   4.极差
    用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值。
    5.方差与标准差
    用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。
数据的分析
1．小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装 销售数量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种型号服装，此时小明应重点参考的是（※）.
（A）众数 （B）平均数 （C）加权平均数 （D）中位数
2. 在一次九年级学生视力抽检中，随机检查了8个人的右眼视力，结果如下：4.0、4.2、4.5、4.0、4.4、4.5、4.0、4.8，则下列说法中正确的是（※）.
（A）这组数据的中位数是4.4 （B）这组数据的众数是4.5
（C）这组数据的平均数是4.3 （D）这组数据的方差是0
3．下表是某网络公司员工月收入情况表, 此公司员工月收入的平均数是 ※ ．
月收入（元）
45000
17000
10000
5600
5000
3800
3000
1600
人数
1
1
1
2
5
2
11
2
4．（本小题满分8分）
甲乙两人参加某项体育训练，近期五次测试成绩
得分情况如图所示：
（1）分别求出两人得分的平均数;
（2）谁的方差较大？
（3）根据图表和（1）的计算，请你对甲、乙两人的训练成绩作出评价.
1
2
3
4
5
次数
10
11
12
13
14
15
16
得分
甲：
乙：
（第22题）

5.（本小题满分7分）
下表是某网络公司员工月收入情况表.
月收入（元）
45000
17000
10000
5600
5000
3800
3000
1600
人数
1
1
1
2
5
2
11
2
（1）求此公司员工月收入的平均数；
（2）若用所求平均数反应公司全体员工月收入水平，合适吗？若不合适，用什么数据更好？

6.（本小题满分8分）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
植株
高度/cm
乙
苗高统计图
为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图；

请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．

18