高中数学必修5知识点总结及经典例题.docx

<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;">‍</span>必修5知识点总结
1、 正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．

2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；③；
④．

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
D
bsinA
A
b
a
C
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a&lt;bsinA，则B无解
当bsinA</p><a≤b,则b有两解 a="bsinA或a">b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

2、 三角形面积公式：．

4、余弦定理：在中，有，，
．

5、余弦定理的推论：，，．
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
C
A
B
D
②若，则；③若，则．
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,
但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75O, ∠BCD=45O, ∠ADC=30O,
∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

8、数列的项：数列中的每一个数．

9、有穷数列：项数有限的数列．

10、无穷数列：项数无限的数列．

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1&gt;an）．

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1<an）． 1="an）．" .="" 2.="" 3.="" sn="">0,d&lt;0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当&lt;0,d&gt;0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
例题：已知数列{an}的通项为an=,求这个数列的前n项和Sn.
解：观察后发现：an=
∴
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列{an}的通项公式为，求这个数列的前n项之和。
解：由题设得：

&nbsp; =
即
= ①
把①式两边同乘2后得
= ②
用①-②，即：
= ①
= ②
得

∴
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = 2）1+3+5+...+(2n-1) = &nbsp; &nbsp;3）
4） &nbsp; &nbsp; &nbsp;5）
6） &nbsp;

31、；；．
32、不等式的性质：①；②；③；
④，；⑤；
⑥；⑦；
⑧．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式．
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
&nbsp;1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：
解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)&gt;0(&lt;0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)&gt;0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“&lt;0”,则找“线”在x轴下方的区间. 1=&quot;&quot; 4=&quot;&quot; x=&quot;&quot; x1=&quot;&quot; x2=&quot;&quot; x3=&quot;&quot; xn-2=&quot;&quot; xn-1=&quot;&quot; xn=&quot;&quot; -2=&quot;&quot; ax=&quot;&quot;&gt;b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c&gt;0(a&gt;0)解的讨论.

&nbsp; 二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

&nbsp; &nbsp; 无实根

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;R

对于a&lt;0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。&gt;0(或&lt;0)；≥0(或≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
例题：求解不等式：
解：略
例题：求不等式的解集。
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a &nbsp; (a＞0) 的不等式 的解集为：
②型如：|x|＞a &nbsp; (a＞0) 的不等式 的解集为：
变型：
解得。其中-c&lt;ax+b&lt;c等价于不等式组 &nbsp; &nbsp;在解-c<ax+b<c得注意a的符号 2="" 3="" 5="10" .="" x="" y="" o="" c="0(a">0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
设ax2+bx+c=0的两根为，f(x)=ax2+bx+c,那么：
对称轴x=
y
o

x
①若两根都大于0，即，则有

对称轴x=

o
x
y
②若两根都小于0，即，则有

o
y
x

③若两根有一根小于0一根大于0，即，则有

X=
n
x

m
o
y
④若两根在两实数m,n之间，即，
则有
X=
y
o
m

t

n
x
⑤若两个根在三个实数之间，即，
则有

常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程有两个正实数根，求的取值范围。
解：由①型得
所以方程有两个正实数根时，。
又如：方程的一根大于1，另一根小于1，求的范围。
解：因为有两个不同的根，所以由
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点．
①若，，则点在直线的上方．
②若，，则点在直线的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线．
（一）由B确定：
①若，则表示直线上方的区域；表示直线下方的区域．
②若，则表示直线下方的区域；表示直线上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“&gt;”号，则所表示的区域为直线l:的右边部分。
②若是“&lt;”号，则所表示的区域为直线l:的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
例题：画出不等式组所表示的平面区域。
解：略
40、线性约束条件：由，的不等式（或方程）组成的不等式组，是，的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量，的解析式．
线性目标函数：目标函数为，的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设、是两个正数，则称为正数、的算术平均数，称为正数、的几何平均数．
42、均值不等式定理：若，，则，即．
43、常用的基本不等式：①；②；③；
④．
44、极值定理：设、都为正数，则有：
⑴若（和为定值），则当时，积取得最大值．⑵若（积为定值），则当时，和取得最小值．
例题：已知，求函数的最大值。
解：∵，∴
&nbsp; 由原式可以化为：

当，即时取到“=”号
也就是说当时有

17</ax+b<c得注意a的符号><!--0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。--><!--0”,则找“线”在x轴下方的区间.--><!--0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)--><!--0,d--></an）．></a≤b,则b有两解>