微分几何期末1...doc

1、等距变换一定是保角变换 （×）
2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）
3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. （×）
4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×）
5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量 （√）
6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ )
7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。 ( × )
8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。 ( √ )
9、LN-M2不是内蕴量。 ( × )
10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。 ( √ )
11、曲线=(s)为一般螺线的充要条件为(,,)=0 （√）
12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向。（√）
13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线。（×）
14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。（× ）
15、每一个可展曲面或是柱面,或是锥面,或是一条曲线的切线曲面。（√ ）
16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。(　×　)
17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线. (　√ )
18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. (　×　)
20、曲面上的渐进网一定存在. （×）
21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。 (　　√　)
22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0。 (　　×　)
23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 (　　√　)
24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量。 (　　×　)
25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。 (　　×　)
26、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。 ( √ )
27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。 ( √ )
28、存在第一类基本量E=1，F=3，G=3的曲面。 ( ╳ )
29、LN-M2是内蕴量。 （ √ ）
30、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网 ( ╳ )
31、保角变换一定是等距变换 （´）
32、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. （´）
33、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. （Ö ）
34、测地曲率是内蕴量 （Ö ）
35、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. (　×　)
36、曲面上曲率线网一定存在. (　√　)
37、存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 (　×　)
38、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 (　×　)
39、曲面上的直线一定是测地线。 (　√　)

1、半径为的圆的曲率为.
2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是F=0 ,
3、坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是.
4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足_,
5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是主方向方向.
6、向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是。
7、曲线r=r(t)的挠率是。
8、曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件L=N=0。
9、直纹曲面的高斯曲率值满足。
10、球面上的测地线是大圆。
11、曲线r=r(s)的曲率定义是。
12、空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_与一固定方向成定角__。
13、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是M=0。
14、坐标网是渐近线网的充要条件是 L=N=0 。
15、平面上的测地线一定是__直线__。
16、当曲线参数是自然参数时，它的一阶导向量的长度是_1_。
17、螺旋线在点（1,0,0）处的单位切向量是____，法平面方程是____。
18、设为曲面上曲线，点P在上，在P点的测地曲率为1，又在P点沿切方向的法曲率为2，则在P点的曲率为 。
19、曲面的第一、二、三基本形式的关系是 。
20、向量函数平行于固定平面的充要条件是
21、曲率是空间曲线的切向量对于弧长的旋转速度.
22、以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,抛物点,平点.
23、曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值.
24、曲面的第三基本形式是它的球面表示　的第一基本形式.
25、若曲面和曲面等距，则的高斯曲率K= 0 。
26、柱面的第一基本形式为。
27、设若曲面上的曲线，若既是渐近线又是测地线，则是 直线 。又若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是 平面曲线 。
28、曲面在点A（1，3，4）的切平面方程是 。
29、曲面上曲线的弧长是____等距___不变量。
30、球极投影给出（除北极外）到平面的一个变换是___保角____变换。
31、圆的曲率和挠率特征为k=大于零的常数__，τ=0_。
32、曲率恒等于0的曲线是____直线_____。
33、在曲面上的任意点，主方向的数目总为__2___。
34、已知，，
则 ， ，
，
35、已知曲面，，，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率 ，平均曲率 ，点处沿方向的法曲率 ，点处的两个主曲率分别为

1、已知空间正则参数曲线
①求基本向量.
②求的曲率和挠率.
答：

2、求曲面z = axy上坐标曲线x = x,y =的交角.
解 ；曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线
x = x与y =的夹角为，则有cos =

3.求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点.
解； 曲面方程即，，
，， 。
在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a . ，所以-4a+4=0 ，
两主曲率分别为  = 2 a , = 2 a 　

，
所以，高斯曲率平均曲率H=(1/2)*(k1+k2)=2a
4、求曲线 的曲率和挠率：
解：因为，，
，，
，，
，，
所以，

5.确定螺旋面上的曲率线。

解  对于正螺面，

曲率线的方程为，                       
化简得     ，
即     。   积分得。
所求曲率线为，。   

6.已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率.

解 ，，，                       
u-线的测地曲率                               
v-线的测地曲率        　

7、求曲面的渐近曲线.

又

8、 求曲线= { t,t,t} 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 ；原点对应t=0 ,
(0)={ +t,- t,+t={0,1,1}，
{2+ t,- t,2+t ={2,0,2} ，
所以切线方程是  ，法面方程是 y + z = 0 ；
密切平面方程是=0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是  即 ；
从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式

9、 求曲面的渐近线.
解：曲面的向量表示为,
,

.
渐近线的微分方程为,即
一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即.

10、求曲面上的曲率线的方程.
 解 
M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是:
:
 .

11、将圆柱螺线={acost，asint，bt}化为自然参数表示。
解 = { -a,asintcost,b}，s = ，
所以，代入原方程
得 ={a, a, }

12、求双曲面z=axy上的曲率线.
解：， N=0 . 由=0
得,
积分得两族曲率线为.

13、求第一基本形式为的曲面高斯曲率 。
 证： 因为 ，所以
=
-=4c 　
14、求曲线x=1+3t+2,y=2-2t+5,z=1-的挠率，并求出它所在的平面方程 。
证 ={3+4t, -２+10t,-2t}， ={4，10，-２}，
  ＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点的密切平面。对于ｔ=0,有
 =｛１,２,１｝，={3, -２,0}，
={4，10，-２}，  ＝｛０，0，0｝。
所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是　
即2x+3y+19z –27＝0．　

15、求三次曲线在点的切线和法平面。
解 ，切线为，
法平面为  。

16、计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式.
解 曲面的向量表示为,
,,
, ,,
E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,  
I=,   II=
17、求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率.
,,
, ，,
E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率
18、求正交网的坐标曲线的测地曲率。
解： 因为坐标网是正交的，所以F=0，故
，
而对u-曲线来说，=0，故，
对v-曲线来说，= ，所以
19、在xoz 平面上去圆周y = 0,,并令其绕轴旋转的圆环面,参数方程为 ={(b+acos)cos, (b+acos)sin, asin},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。
解：E =, F= 0 , G=,
L = a, M = 0, N = cos(b+acos),   
LN -=a cos(b+acos) , 由于b > a > 0 , b+acos > 0,所以LN - 的符号与cos的符号一致,当0≤<和 <<2时, LN ->0 ,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；
当-<<，曲面上的点为双曲点, 即圆环面内侧的点为双曲点；当=或 时，LN -=0，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。
20、求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解： ， =
任意点的切平面方程为

即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；
法线方程为  

21、设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为，
则有
cos= 。
22、求曲线在平面　与y = 9a之间的弧长。
解：曲线的向量表示为＝，曲面与两平面　与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , ＝，
｜｜＝＝，所求弧长为　
23、求正螺面={ucosv,usinv,av}上的测地线。
解：易计算出E=1，F=0，G=，所以测地线的微分方程化为，
对第一式积分得（常数）。于是，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为 

24、在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解： = {-cossint, coscost, sin } ,
={ -coscost,- cossint , 0 }
{sinsint ,- sincost , cos }
新曲线的方程为
={ coscost + sinsint ，cossint- sincost ，tsin + cos }
对于新曲线
={-cossint+sincost ，coscost+ sinsint，sin }={sin(-t),cos(-t),sin} , 
={ -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是

25、求曲线的曲率k和挠率。
解：因为，，
，    ，=                       

26、求曲线的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。
解：设曲线（s为弧长参数）的切线曲面为 ，                                         
则有，                                            
，，                   
E=1+，F=1，G=1，L=M=0 ，N=0                                                   
     , H=                                                             
曲率线方程为=0，即s=常数，或v=-s+c
27、求曲面高斯曲率。 解：

可得K=0

28、求曲面的渐近曲线.
解 设
则 ，，

，，
，，

因渐近曲线的微分方程为

即或
渐近曲线为或

1、证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.
证：由H==0有==0或=-0 .
若==0,则沿任意方向,=0 ,
即对于任意的du:dv , ,
所以有L=M=N=0,对应的点为平点.
若=-0,则K=<0 ,即LN-M<0,对应的点为双曲点.

2、证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为＝，则曲线在任意点的切线方程是，由条件切线都过坐标原点，所以，可见∥，所以具有固定方向，故＝是直线
3、证明曲面=是可展曲面.
证： 已知曲面方程可改写为=+v，
令=，=，则=+ v，
且0，这是直纹面的方程 ，它满足
==0  ,所以所给曲面为可展曲面。
4、证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.
证 ；若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G—C—M公式，但，
所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。

5、证明曲面={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。
证： 曲面的方程可改写为 =+ u，其中
={cosv-vsinv,sinv+vcosv,2v}，
={-sinv, cosv,1} ，易见0，所以曲面为直纹面，
又因为==0，
所以所给曲面为可展曲面　
6、 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.
证； 曲面上的给定点处两主曲率分别为 、，任给一方向及与其正交的方向+，则这两方向的法曲率分别为，

即为常数。
7、证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面.

8、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线.
证：设所给的常向量为，则。所以，
两边对求微商得，即。
若，则曲线是直线。
若，则，于是，
，
由于，所以有。
由可知，从而，所以，即曲线为平面直线
9、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：=与：点s与一一对应，且对应点的切线平行，则=, 两端对s求微商得, 即 ，(这里k0，若k==0，则无定义)，所以∥，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
10、设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角.
解；设 则由知
从而 ，
即
这表明曲线和在对应点的切线夹固定角

11、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证是一条平面曲线.
证  ；设   ，，其中是的自然参数，记
，则，两边求导，得
，     
由为曲率线知，即， 因此 .
若，则为平面曲线；                              
若，则因为曲面上的一条曲率线， 故. 而
，所以，即为常向量. 于是为平面曲线.
12、如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 ：设一曲线为Γ：＝，则另一曲线的表达式为： ，为曲线Γ在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。
＝＋－与正交，即·＝０，于是＝０，为常数。
＝－，＝k－－（－k＋）也与正交，即·＝-=0,而０,所以有＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线为平面曲线。
13、求证：如果测地线同时为渐近线，则它是直线；
证  因为所给曲线是测地线，所以； 又因为所给曲线是渐近线，所以，而 ，所以k=0， 故所给曲线是直线。

14、证明曲线＝为一般螺线的充要条件为
，
＝，其中k0.
曲线＝为一般螺线的充要条件为 为常数,即=0,也是   。
15、若曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率、挠率分别为，求证，其中是常数。
证明：设曲线，曲线。在的主法线与在的副法线重合，则。于是有， ，。
因为，于是，上式两边点乘，可得，从而是常数。设，则。
上式两边对求微商，可得
。
上式两边点乘，可得，即    。
16．证明正螺面={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。
0
17、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么曲线是直线或平面曲线。
证 ：根据已知，若是常向量，则k==0 ，这时曲线是直线。否则在两边微分得·=０，即 k·=０,所以·=０，又因，所以∥，而为单位向量，所以可知为常向量，
于是，即，此曲线为平面曲线。
18、证明过原点平行于圆柱螺线={a，a，bt}的副法线的直线轨迹是锥面.
证 ={ -a,a,b },  ={-a,- a,0 } ，
×=为副法线的方向向量，
过原点平行于副法线的直线的方程是 ，消去参数t得。
19、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。
证：因为是极小曲面，所以，为非平面，即有 则K<0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。 设两族渐近曲线主方向的交角为，则由欧拉公式有
=            两族渐近曲线正交

20、 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线
证 设曲线Γ与在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：＝ ，则：，０，其切向量为＝＋＋k应与平行，所以k＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。

21、设非直线曲线和另一条曲线之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是的主法线，证明是平面曲线。
解：设曲线：（s为弧长参数）则为
      两边对s求导有
     （1）                                    
因为，上式两边点积有 代入（1）      
即有            （2）
再求导有     
 （3）
       （4）      
（4）再两边点积有 由题意有，即证。  　

22、若两曲面、相交于定角，若交线是的曲率线，则也是的曲率线
证：设，的单位法向量为，则由题意有    ；  两边微分得  由交线是的曲率线，则有                 
因为，所以       
又因为为单位法向量，即有
所以有           
 ，，所以有||                              
即，所以也是的曲率线。
1、是否存在曲面使得E=1，F=0，G=1， L=-1，M=0，N=0？为什么？
解：存在,   因为E=1，F=0，G=1， L=-1，M=0，N=0满足高斯-柯达齐方程
2、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线是测地线吗？为什么？
答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的
曲线是测地线.
事实上，设，
则的切向量为
记　，
，
则曲线的切向量沿平行移动

为测地线

-------------------------------------------------------------------------------------------------------证明题17和8
计算题9和28