绵阳中学高中自主招生数学试卷.doc

绵阳中学2016年高中自主招生数学真卷（一）
一、选择题(共36分)
1. 的倒数是( )
A.  B.  C.  D. 
2. 在标准状态下气体分子间的平均距离为0.0000000033m,将0.0000000033用科学记数法应表示为( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列命题中,真命题是( )
A. 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
4. 若关于x的一元二次方程有实数根,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 一个由若干相同的小正方形组成的几何体,其左视图和俯视图如图所示,则几何体需要的小正方体个数最多和最少分别是( )

A. 最多10个，最少8个
B. 最多8个，最少5个
C. 最多8个，最少6个
D. 最多15个，最少8个
6.若关于的不等式组的解集中只含有3个整数解，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 某跳远运动员备战里约2016夏季奥运会,对自己的训练效果进行测试,6次跳远成绩的平均数为7.8m,方差为如果他再跳两次,成绩分别为7.6m，8.0m,则该运动员这8次跳远成绩的方差将( )
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 无法确定
8. 已知二次函数图象经过A(0,4)、B(8,6)两点。若，则的值在下列数字中可能为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9. 如图,⊙A、⊙B的半径分别为2、1,且AB=8,若作⊙C使得三圆的圆心在同一直线上,且⊙C与⊙A外切, ⊙C与⊙B相交,则⊙C的半径在下列数字中可能是( )
A. 2.5
B. 3
C. 3.5
D. 4
10. 若多项式可以因式分解为(x+m)(x+n)的形式,且p、m、n均为整数,则满足条件的整数p共有()
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
11. 有甲、乙两个箱子,甲箱内有90颗球,分别标记号码1∼90,号码为不重复的整数,乙箱内没有球。已知小李从甲箱内拿出45颗球放入乙箱后,乙箱内球的号码的中位数为30.若此时甲箱内有a颗球的号码小于30,有b颗球的号码大于30,则关于a、b正确的是()
A. a=8
B. a=22
C. b=22
D. b=38
12. 如图,正方形ABCD中,以D为圆心,DC为半径作弧与以BC为直径的⊙O交于点P,⊙O交AC于E,CP的延长线交AB于M,延长AP交⊙O于N,下列结论：①AE=EC;②AM=MB;③∠APM=45∘;④CP=PN.其中正确的是( )

A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题（共24分）
13. 从标有1、、、的四张卡片中一次抽取2张，那么抽到的两张卡片上所标数字的积为无理数的概率是____________.
14. 如图所示,在三角形硬纸片ABC中,∠B=90∘,AB=BC=1cm,直线MN经过点C,且MN∥AB，则以直线MN为轴将△ABC绕MN旋转一周生成的几何体的表面积是_______.

15.如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=2，BC=，顶点C在第一象限内，A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上滑动，则顶点C与原点O的距离的最大值是______.
16.若实数m、n满足，则的值为______.
17. 如图所示，正五边形ABCDE的边长为10cm，则对角线AD=___cm.

18. 在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点 (−y+1,x+1)叫做点P的伴随点。已知点的伴随点为,点的伴随点为,点的伴随点为,…,这样依次得到点, ,,…, ，….若点的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点均在x轴上方，则a，b应满足的条件为___.

三、解答题（共90分）
19.（1）计算：
（2）若关于的分式方程无解，求的值。

20. 现有一张矩形纸片ABCD,要将点D沿某条直线EF翻折180∘,恰好落在BC边上的点D′处，直线EF与AD交于点E，与BC交于点F.
(1)请利用尺规作图在图中作出该直线EF;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,在矩形ABCD中,若AD=10,AB=6,BD′=2，请计算纸片ABCD折叠后产生的折痕EF的长度。

21. 阅读理在实数范围内,当a>0且b>0时,我们由非负数的性质知道,所以,即：,当且仅当a=b时,等号成立,这就是数学上有名的“均值不等式”,若a与b的积为定值p(p>0),则a+b有最小值，若a与b的和为定值q(q>0),则ab有最大值，请根据上述内容，回答下列问题。
(1)若x>0,则当x=___时,代数式取最小值___；
(2)已知：与x−2成正比例函数关系, 与x+2成反比例函数关系,且，当x=6时，y=9；当x=−1时，y=2，求当x>−2时y的最小值。
22.如图，涪江某段的两岸互相平行，河岸MN上有一排树，已知相邻两颗树之间的距离AB=10米，某人在河岸PQ的C处测得∠ACP=60°，然后沿河岸向右走了90米到达D处，测得∠BDC=30°，求涪江的宽度。（结果精确到0.1米，参考数据：，）

23. 绵阳市某公司2013年生产A型汽油机20万台,由于需要逐步增加B型汽油机的生产量,公司决定连续两年减少A型汽油机的产量。若设A型汽油机的产量的年平均降低率为x(0<x<1)，2015年A型汽油机的产量比2014年A型汽油机的产量减少了y万台。
(1)求出y与x的函数关系式，并求出y的最大值；
(2)若要使y不低于3.75万台，则A型汽油机的产量的年平均降低率x应控制在什么范围?
24. “端午节”是我国的传统佳节，我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
25. 如图,在△ABC中,∠C=90°，D为AB边上一点，以DB为直径的⊙O与AC相切于点E，与BC相交于点F，FN⊥BE交⊙O于点N.

(1)求证：BE平分∠ABC；
(2)若sinA =，AB=30，求圆心O到EN的距离。

26. 已知：如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点B的左侧，且满足.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P是抛物线上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q为线段AC上一动点，是否存在点Q使得直线PQ将以A、P、B、C为顶点的四边形的面积二等分？若存在，直接写出点Q的坐标，不必写出解答过程；若不存在，请说明理由.