数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(新人教B版选修2-1).doc

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B版（理）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2—1 空间向量及其运算

二、教学目标：
1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析：
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

运算律：
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
（3）数乘分配律：
3．共线向量定理：对于空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使＝λ.
4．共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得。
5．空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使
6．夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
7．数量积
（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
（2）夹角：．
（3）空间向量数量积的性质：
①．
②．
③．
（4）空间向量数量积运算律：
①．
②（交换律）．
③（分配律）．
8．空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，
则，
，
，
，

（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）模长公式：若，，
则，．
（4）两点间的距离公式：若，，
则．
（5）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3），则AB的中点坐标为

【典型例题】
例1. 已知A（3，1，3），B（1，5，0），求：
（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是，

．
（2）∵ 点到两点的距离相等，
则，
化简得：，
所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。

例2. 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．
分析：要证明平面，只需证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示．
证明：如图，因为在上，且，
所以．
同理，又，
所以

．
又与不共线，
根据共面向量定理，可知，，共面．
由于不在平面内，
所以平面．

例3. 已知三角形的顶点是，，，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式来求面积
解：∵，，
∴，，
，
∴，

∴所以，．

例4. 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。

解：∵，
∴

∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，

例5.

的余弦值。
解：

∴AC1与B1C所成的角的余弦值为

本讲涉及的数学思想、方法
1、向量的夹角公式、模长公式和向量平行、垂直的条件，是用向量解决几何问题的主要工具；应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算。
2、用向量坐标运算证明线线或线面垂直是向量的一个重要应用，要熟练掌握，关键是建系，求点的坐标，其中建系的恰当与否决定解题的繁简程度。

预习导学案
（立体几何中的向量方法）
（一）预习前知
1、怎样用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直？
2、怎样求两条异面直线所成的角？

（二）预习导学
探究反思
探究反思的任务：直线的方向向量，平面的法向量，三垂线定理与逆定理，异面直线的夹角，线面角，面面角
1．直线的方向向量及其应用
（1）直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量________（或共线）的向量，显然这条直线的方向向量可以有_________个。
（2）直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面。
2．平面的法向量
（1）所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也是________个，它们是________向量。
（2）在空间中，给定一个点和一个向量，那么以向量为法向量且经过点的平面是_____________。
3、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用，直线的方向向量为，直线的方向向量为.
如果∥，那么∥________________
如果，那么________________
直线的方向向量为，平面α的法向量为.
若∥，那么________________
若，那么∥________________
平面的法向量为，平面的法向量为.
若∥，那么∥________________
若，那么________________
4、三垂线定理与逆定理
（1）三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在一个平面内的射影垂直，则它也和___________垂直。
（2）三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和________________垂直。
5、求两异面直线所成的角
6、求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin=__________。
7、求二面角的大小

【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、 选择题
1. 设A（3，3，1）、B（1，0，5）、C（0，1，0），则AB的中点M到C点的距离为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知向量a的横坐标为0，则向量a（ ）
A. 与xOy平面平行
B. 与xOz平面平行
C. 与x轴平行
D. 与x轴垂直
3. 已知，则为（ ）
A. （4，7，4） B. （2，13，12）
C. （－2，10，-12） D. （4，-7，－4）
4. 已知平面α内的三个点A（2，0，0）、B（0，2，0）、C（0，0，2），则平面α的一个法向量是（ ）
A. （1，1，1） B. （－1，1，1）
C. （－1，－1，1） D. （1，1，－1）
5. 共线，则与的值分别为（ ）
A. 0，0 B. 0，1 C.1，0 D. –1，-1
*6.
（ ）
A. （2，1，1） B. （7，1，1）
C. （1，7，1） D. （1，1，7）

二. 填空题
7. 已知则向量a＋b与a－b的夹角是_____________。
8. 已知，其中是一个单位正交基底，，则a与b夹角的余弦值为_____________。
*9. 已知:，，，则的值为_____________.

三. 计算题
10. 已知△ABC的顶点A（1，0，1）、B（2，2，2）、C（0，2，3），试求△ABC的面积。
11.

*12. 已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量。求证：

（1）四点共面；
（2）平面平面．【试题答案】
1. C
2. D
解析：设a＝（0，y，z），取x轴的一个方向向量为（1，0，0）
∵（0，y，z）·（1，0，0）＝0，
∴a与x轴垂直
3. A
解：
4. A
解析：
由（1，1，1）·（－2，2，0）＝0，
（1，1，1）·（－2，0，2）＝0
知：（1，1，1）是α的一个法向量。
5. 选A
解：

6. B
解：

∴B（7，1，1）
7. 90°
解析：∵|a|＝|b|，
∴（a＋b）·（a－b）＝
∴a＋b与a－b垂直
8.
解析：a＝（4，3，－1），b＝（5，－4，2），a·b＝6

∴
9.
解：由得

.
10. 解：∵

∴

11. 解：

12. 证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，

∴四点共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．