2010年浙江高考数学文科试卷带详解.doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设则 ( )
A. B.
C. D.
【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了集合的基本运算，给出两集合，用图象法求其交集.
【参考答案】D
【试题解析】，，，故选D.
已知函数 若 = ( )
A. B. C. D.
【测量目标】对数函数的性质.
【考查方式】给出对数函数解析式，的值，求未知数.
【参考答案】B
【试题解析】，，故，选B.
设为虚数单位，则 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】复数代数形式的四则运算..
【考查方式】考查了复数代数形式的四则运算，给出复数，对其进行化简.
【参考答案】C
【试题解析】，故选C，
某程序框图所示，若输出的S=57，则判断框内为 ( )

A. B.
C. D.
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出部分程序框图，输出值，利用与数列有关的简单运算求判断框内的条件.
【参考答案】A
【试题解析】程序在运行过程中各变量变化如下表：

是否继续循环
循环前

第一次

是
第二次

是
第三次

是
第四次

否
故.
设为等比数列的前n项和，则 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】等比数列的通项公式与前项和公式.
【考查方式】给出数列中两项关系，求数列的和.
【参考答案】A
【试题解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得，带入所求式可知答案选A.
设0＜＜，则“”是“”的 （ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【测量目标】充分条件，必要条件，充分必要条件.
【考查方式】考查了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力.
【参考答案】B
【试题解析】，故，结合与的取值范围相同，可知答案选B.
若实数满足不等式组，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出线性规划条件，求最值.
【参考答案】A
【试题解析】先根据约束条件画出可行域，设，直线过可行域内点时最大，最大值为，故选A.

若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 （ ）
A. B. C. D.
【测量目标】由三视图求几何体的体积.
【考查方式】考查了对三视图所表示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算.
【参考答案】B
【试题解析】由三视图知该几何体是一个上面是正方体，下面为正四棱台的组合体，对应的长方体的长、宽、高分别为、、，正四棱台上底边长为，下底边长为，高为，那么相应的体积为：.故选B.
已知是函数的一个零点.若,则 （ ）
A., B.，
C. D.
【测量目标】函数零点的应用.
【考查方式】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断.
【参考答案】B
【试题解析】是的一个零点，，又是单调递增函数，且，，故选B.
设为坐标原点，是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点，满足∠=60°，∣∣=,则该双曲线的渐近线方程为 ( )
A.± B.±
C.± D.±
【测量目标】双曲线的标准方程及几何性质.
【考查方式】给出双曲线的标准方程形式，结合双曲线与直线的关系，求渐进线方程.
【参考答案】D
【试题解析】假设为的中线，根据三角形中线定理可知：
，由余弦定理可知：
，，渐进线为.
故选D.
非选择题部分（共100分）
二，填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 、 .
【测量目标】茎叶图及样本数据的基本的数字特征的提取.
【考查方式】考查了茎叶图所表达的含义，以及从样本数据中提取数字特征的能力.
【参考答案】
【试题解析】由茎叶图中的样本数据可知答案为.
函数的最小正周期是 .
【测量目标】三角函数的几何性质，二倍角.
【考查方式】给出正弦函数，借助三角恒等变换降幂求周期.
【参考答案】
【试题解析】对解析式进行降幂扩角，转化为，可知其最小正周期为.
已知平面向量则的值是 .
【测量目标】平面向量的数量积、加法、减法及数乘运算.
【考查方式】考查了平面向量的四则运算及其几何意义.
【参考答案】
【试题解析】，由题意可知，结合，解得，所以，开方可知答案为.
在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第行、
第列的数是 .
【测量目标】等差数列的性质与通项公式.
【考查方式】考查了等差数列的概念和通项公式，以及运用等差关系解决问题的能力.
【参考答案】
【试题解析】第行第一列的数为，观察得，第行的公差为，所以第行的通项公式为，又因为为第列，故可得答案为.
若正实数满足， 则的最小值是 .
【测量目标】利用基本不等式求最值.
【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法.
【参考答案】
【试题解析】运用基本不等式，，令，可得，注意到＞0，解得≥,故的最小值为18.
某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增%，八月份销售额比七月份递增%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则的最小值 .
【测量目标】利用不等式求最大（小）值.
【考查方式】考查了用一元二次不等式解决实际问题的能力.
【参考答案】
【试题解析】由可得的最小值为20.
在平行四边形中，是与的交点，、、、、分别是线段、、、的中点，在APMC中任取一点记为，在、、、中任取一点记为，设为满足向量的点，则在上述的点组成的集合中的点，落在平行四边形外（不含边界）的概率为 .
【测量目标】古典概型的概率.
【考查方式】考查了平面向量与古典概型的综合运用.
【参考答案】
【试题解析】由题意知，点共有16种取法，而只有为、中一点，为、中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的的只有4个，因此概率为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本题满分）在中，角所对的边分别为设为的面积，满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【测量目标】余弦定理、正弦函数的性质、两角差的正弦.
【考查方式】根据余弦定理求角的大小，利用三角恒等变换化简，确定最大值.
【试题解析】 (Ⅰ)解：由题意可知
.
. （步骤1）
，. （步骤2）
（Ⅱ)解：由已知得
. （步骤3）
当为正三角形时取等号，
sinA+sinB的最大值是. （步骤4）

（本题满分14分）设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足.
（Ⅰ）若，求及；
（Ⅱ）求的取值范围.
【测量目标】等差数列的前项和与通项，一元二次不等式.
【考查方式】由所给条件列求和公式求解，根据求和公式列一元二次不等式求解.
【试题解析】(Ⅰ)解：由题意知,, （步骤1）
（步骤2）
解得，. （步骤3）
(Ⅱ)解：
（步骤4）
即
（步骤5）
（步骤6）
的取值范围为或 （步骤7）

（本题满分14分）如图，在平行四边形中，， .为线段的中点，将沿直线翻折成，使平面⊥平面，为线段的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值.
【测量目标】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面角.
【考查方式】借助做辅助线，由线线垂直证明线面垂直；借助做辅助线，通过线线垂直得到线面垂直，将线面角转化为三角形中一角，进而求解.
【试题解析】 (Ⅰ)证明：取的中点，连接，由条件易知
∥，.
∥,. （步骤1）
∥ （步骤2）
故四边形为平行四边形,
∥, （步骤3）
又平面，平面
//平面 （步骤4）
（Ⅱ）解：在平行四边形中，设,
则 （步骤5）
连接,

在中，可得 (步骤6)
在中，可得 （步骤7）
在中，. (步骤8)
在正中，为中点，. （步骤9）
由平面⊥平面,
可知⊥平面. （步骤10）
取的中点，连线、，
. （步骤11）
交于,
⊥平面, （步骤12）
则为直线与平面所成角.
在中，NF=, MN=, FM=,
则， （步骤13）
直线与平面所成角的余弦值为. （步骤14）

（本题满分15分）已知函数.
（I）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程.
（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，.
证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求.
【测量目标】函数的几何意义、导数的应用、曲线的切线方程、等差数列的等差中项.
【考查方式】根据导数的几何意义求切线方程，利用导数与极值关系，求极值点，并根据等差数列的概念证明.
【试题解析】(Ⅰ)解：当时，

， （步骤1）
在点处的切线方程为. （步骤2）
（Ⅱ）证明：
由于，.故.
的两个极值点为x＝a，x＝. （步骤3）
不妨设x1＝a，x2＝，
x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，x3＝b. （步骤4）
又－a＝2（b－），
x4＝（a＋）＝，
a，，，b依次成等差数列， （步骤5）
存在实数x4满足题意，且x4＝. （步骤6）

（本题满分15分）已知是非零实数，抛物线

的焦点在直线上.
（I）若，求抛物线的方程
（II）设直线与抛物线交于、，,的重心
分别为.
求证：对任意非零实数,抛物线的准线与轴的焦点在以线段为直径的圆外.
【测量目标】抛物线的简单几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系.
【考查方式】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系求解，利用直线与抛物线的位置关系、不等式的综合应用证明.
【试题解析】(Ⅰ)解：焦点在直线上， （步骤1）
又,
抛物线的方程为 ，则抛物线的方程为. （步骤2）
（Ⅱ）设，
由消去得
，，
且有， （步骤3）
设分别为线段的中点，
由于可知，，
（步骤4）
的中点. （步骤5）
设是以线段为直径的圆的半径，
则 (步骤6)
设抛物线的标准线与轴交点，
则
(步骤7)
在以线段为直径的圆外. （步骤8）