数学北师大版八年级下册因式分解.doc

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因式分解
一、概述
　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
　　分解因式与整式乘法互为逆变形。
二、因式分解的方法
　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
　　注意三原则
　　1 分解要彻底
　　2 最后结果只有小括号
　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3 +x=-x(3x-1)）
基本方法
1】提取公因式
这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等
例1： 2-3x
解： =x(2x-3)
针对性练习：提公因式法
1.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）
A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab) B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)
C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c) D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)
2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )
A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2
3.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是( )
A.42 B.－42 C.13 D.－13
4.将下面各式进行因式分解
(1) (2)

(3) ma2-4ma+4a (4) -28y4-21y3+7y2

5.已知2x－y=，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.

6.已知(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.

【随堂练习】
1、分解因式： ．
2、分解因式： ；
3.分解因式：

2】公式法
将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。
注意：使用公式法前，建议先提取公因式。
例2：-4分解因式
分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2
解：原式=(x+2)(x-2)
【随堂练习】
1、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2.分解因式：
3. 分解因式： ．
针对性练习：一、平方差公式：
1.填空

2.将下列各式因式分解
(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

二．完全平方公式：
1、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )
A、x2+xy+y2 B、x2－2x－1 C、-x2-2x-1 D、x2+4y2
2、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
A.10 B.20 C.－20 D.±20
3、－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.
4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.
5．将下列更是进行因式分解
(1) x2+6ax+9a2　 (2) （3）

(4) 2x3y2–16x2y+32x； (5) 3ax2+6axy+3ay2; (6)

(7) (8)

【课后练习】
1、将下列各式进行因式分解：
(1)x3y-2xy3； (2)(5a2-2b2)2-（2a2-5b2）2。

2、将下列各式因式分解：
（1）1-16x2； (2)25x2y2-49a2； (3)-x4+y2。

3、把下列各式进行因式分解：
(1)(3x+2y)2-（x-y）2； (2)-(x+2)2+16(x-1)2。

4、因式分解4b2-4ab+a2正确的是（ ）
A．4b(b-a)+a2 B．(2b-a)2 C．(2b-a)(2b-a) D．(2b+a)2

5、已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值.

因式分解
识点1：分解因式的定义
1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。
如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
④ （ ）

知识点2：公因式
公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：
（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）
（2）系数：取系数的最大公约数；
（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；
（4）所有这些因式的乘积即为公因式；
例如：
1. _________
2. 多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3. 的公因式是__________
知识点3：用提公因式法分解因式
提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如：
1. 可以直接提公因式的类型：
（1）=________________；
（2）=____________
（3）=_____________
（4）解方程组，求代数式的值

2.式子的第一项为负号的类型：
（1）① =________ _______
②=____ ___
（2）=________ _______
练习：
1．多项式:的一个因式是,那么另一个因式是( )
C D..
2.分解因式－5(y－x)3－10y(y－x)3

3. 公因式只相差符号的类型：
公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如

例：( 1)（b－a）2+a（a－b）+b（b－a） ( 2)（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）

（3）

练习：
1．把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）
(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)
2．多项式的分解因式结果（ ）
A． B． C． D．
3．分解因式：
（1）________) （2）－6(x－y)4－3y(y－x)5

知识点4公式法分解因式
．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。
一、平方差公式分解因式法
平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。
即a2-b2=(a+b)(a-b)
特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方. b.两项的符号相反.
例如：
1、判断能否用平方差公式的类型
（1）．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a2+b2 (B)-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2
（2）．下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
2、直接用平方差的类型
（1） （2） （3）

3、整体的类型：
（1） （2）

4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型
(1)m3—4m= ．(2) ．

练习：将下列各式分解因式
（1） (2)100x2－81y2； (3)9(a－b)2－(x－y)2；

（4） （5） （6）

二、完全平方式分解因式法
完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2
特点：（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.

1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解
如：下列多项式能分解因式的是（ ）
A． B． C． D．

2、关于求式子中的未知数的问题
如：1．若多项式是完全平方式，则k的值为（ ）
A．—4 B．4 C．±8 D．±4
2．若是关于x的完全平方式，则k=
3.若是关于x的完全平方式则m=__________
3、直接用完全平方公式分解因式的类型
(1)； (2)； (3)； (4)

4、整体用完全平方式的类型
(1)(x－2)2＋12(x－2)＋36； （2）

5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型
(1)-4x3+16x2-16x； (2)ax2y2+2axy+2a

（3）已知：，求的值

练习：分解因式
（1） （2） （3）

（4） （5）

（6） （7）

知识点5、十字相乘法分解因式
．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。
如:分解因式：
(1) (2) (3) a2+6ab+5 b2

(4) x2+5x+6 (5) x2-5x+6 (6) x2-5x-6

练习：
(1) x2+7x+12 (2) x2-8x+12 (3) x2-x-12 (4) x2+4x-12

(5) y2+23y+22 (6) x2-8x-20 (7) x2+9x y-36 y2

知识点6、分组的方法分解因式
如(1) (2)

练习：
（1） （2） （3）

（4） （5）单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。

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