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教你学画树状图

用列举法求概率是教学最基础的要求，相关试题在中考中广泛出现。这类问题的解题重点是根据题意用树状图或列举法找出事件包含的所有可能情况的个数，再从中找出所求问题所包含的可能情况的个数，然后用所求问题所包含的可能情况个数除以事件的包含的所有可能情况的个数，即得概率。由于制表比较繁，并且只能适用于两个环节以下的事件，所以常用树状图来解题。树状图画起来方便，并且不受事件包含环节个数的影响，应用起来很方便。但常有同学不会画树状图，主要不知该画几层，每层该画几个分叉。看来树状图的画法要得心应手还是有些技巧要掌握的，下面结合例题教你学画树状图。
例1、随机掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两个骰子向上的一面点数都是奇数的概率为多少？
开始
第一枚骰子
第二枚骰子
1
1 2 3 4 5 6
2
1 2 3 4 5 6
3
1 2 3 4 5 6
4
1 2 3 4 5 6
5
1 2 3 4 5 6
6
1 2 3 4 5 6
图1
分析：本题中的事件是掷两枚骰子，看向上的一面点数，由此可确定本事件包括两个环节，掷第一枚骰子和掷第二枚骰子，所以树状图该画两层。第一枚骰子向上的一面的点数可能是1，2，3，4，5，6等6个的一个，所以第一层应画6个分叉；再看第二层，第二枚骰子，向上一面的点数可能是6个的一个，所以第二层应接在第一层的6个分叉上，每个小分支上，再有6个分叉。画出树状图，这样共得到6×6种情况，从中找出两个骰子向上的一面点数都是奇数的情况，再求出概率。
解：画出树状图，如图1。
由图中可以看出，两枚骰子向上的一面点数的可能性情况共36种，其中向上的一面点数都是奇数的情况有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1）（5，3）（5，5）共9种情况，从而得两个骰子向上的一面点数都是奇数的概率（记为事件A）为P（A）=

点评：由本例看出，只要画好了树状图，就很易求出概率。而画树状图的关键一是确定层数，二是确定每层分叉的个数。
例2、一个口袋中装有红、白、绿三只小球，另一只口袋中装有（除颜色外其余都相同）红、白两只小球。现从两只口袋中各取一只小球，求两只小球颜色一样的概率是多少？
分析：本题从两只口袋中各取一只小球，由此可见事件的环节共两个，树状图画两层。由于一只口袋中装有三只小球，所以此层应有三个分叉。另一只口袋中装有两只小球，拿一个球的可能性有两种，此层可能有两个分叉。各层的分叉要画对。至于两只口袋中哪只放上，哪只放下，可以随便画，不影响结果。
解：画出树状图如下图2（图3也正确）：
从图中可以看出，两只小球颜色的可能性共6种，而两只小球颜色一样的可能性只有（红，红），（白，白）共2种，所以两只小球颜色一样的概率（记为事件A）为
开始
一只口袋
另一只口袋
红
红 白
白
红 白
绿
红 白
图2
开始
一只口袋
另一只口袋
白
红 白 绿
图3
红
红 白 绿
P（A）=

点评：本题与上题不同的是两个口袋的球数不等，所以各层的分叉要根据本层的可能情来确定，这是画树状图最不易掌握的知识点，大家要多加揣摩。
开始
小明
父亲
1
2 3
2
1 3
3
1 2
图4
母亲
3 2 3 1 2 1
例3、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？
分析：本题是考查实际问题中概率的运用方法，画树状图的关键也是确定层数和每层的分叉数。从题中可以看出：坐座位共三人是小明、父、母，所以本事件包括三个环节，分别是小明的座位、父亲的座位、母亲的座位。需要注意的是每层的分叉要注意：第一个坐的有三种可能性，所以此层有三个分叉；第二个坐的只有二种可能性，所以此层有二个分叉；最后一个坐的只有一种可能性，所以此层有一个分叉。可以看出本题的分叉逐层减少。
解：为了方便起见，我们不妨设三个坐位号为1，2，3。可以看出坐在2号位上，则为中间位置。画出树状图如图4或图5或图6。
开始
父亲
母亲
1
2 3
2
1 3
3
1 2
图5
小明
3 2 3 1 2 1
开始
母亲
父亲
1
2 3
2
1 3
3
1 2
图6
小明
3 2 3 1 2 1
从图中可以看出，不论小明第几个坐，所有的可能能是6种，而小明坐2号位置的情况有2种（记为事件A），所以小明恰好坐在父母中间的概率是
P（A）=

点评：本题是一类独特的概率题型，相当于从一个口袋不放回地取东西，由于不放回，下一层的分叉数比上一层要少。
从以上三例中可以看出，树状图的层数取决于事件的环节数，分叉取决于本环节包含的情况数，要注意区分放回与不放回问题。