资源描述
<p><span id="_baidu_bookmark_start_0" style="display: none; line-height: 0px;"></span>人教版高中数学必修2
第一章：空间几何体
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标
1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法：
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观：
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、由六根火柴最多可搭成几个三角形？（空间：4个）
2在我们周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？
3、展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体。
问题：请根据某种标准对以上空间物体进行分类。
（二）、研探新知
空间几何体：多面体（面、棱、顶点）：棱柱、棱锥、棱台；
旋转体（轴）：圆柱、圆锥、圆台、球。
1、棱柱的结构特征：
（1）观察棱柱的几何物体以及投影出棱柱的图片，
思考：它们各自的特点是什么？共同特点是什么？
（学生讨论）
（2）棱柱的主要结构特征（棱柱的概念）：
①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两上四边形的公共边互相平行。
（3）棱柱的表示法及分类：
（4）相关概念：底面（底）、侧面、侧棱、顶点。
2、棱锥、棱台的结构特征：
（1）实物模型演示，投影图片；
（2）以类似的方法，根据出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念、分类以及表示。
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
棱台：且一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
3、圆柱的结构特征：
（1）实物模型演示，投影图片——如何得到圆柱？
（2）根据圆柱的概念、相关概念及圆柱的表示。
4、圆锥、圆台、球的结构特征：
（1）实物模型演示，投影图片
——如何得到圆锥、圆台、球？
（2）以类似的方法，根据圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示。
5、柱体、锥体、台体的概念及关系：
探究：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？
圆柱、圆锥、圆台呢？
6、简单组合体的结构特征：
（1）简单组合体的构成：由简单几何体拼接或截去或挖去一部分而成。
（2）实物模型演示，投影图片——说出组成这些物体的几何结构特征。
（3）列举身边物体，说出它们是由哪些基本几何体组成的。
（三）排难解惑，发展思维
1、有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（反例说明）
2、棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
3、圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
（四）巩固深化
练习：课本P7 练习1、2； 课本P8 习题1.1 第1、2、3、4、5题
（五）归纳整理：由学生整理学习了哪些内容
（六）课后思考题：
课本P8 习题1.1 B组第1、2、3题
教学反思：
1.2.1 空间几何体的三视图（2课时）
一、教学目标
1．知识与技能：掌握画三视图的基本技能，丰富学生的空间想象力。
2．过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观：提高学生空间想象力，体会三视图的作用。
二、教学重点：画出简单几何体、简单组合体的三视图；
难点：识别三视图所表示的空间几何体。
三、学法指导：观察、动手实践、讨论、类比。
四、教学过程
第一课时：简单几何体的三视图
（一）创设情景，揭开课题
展示庐山的风景图——“横看成岭侧看成峰，远近高低各不同”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体。
（二）讲授新课
1、中心投影与平行投影：
中心投影：光由一点向外散射形成的投影；
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。
正投影：在平行投影中，投影线正对着投影面。
2、三视图：
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图。
三视图：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
三视图的画法规则：长对正，高平齐，宽相等。
长对正：正视图与俯视图的长相等，且相互对正；
高平齐：正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐；
宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等。
3、画长方体的三视图：
正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到有几何体的正投影图，它们都是平面图形。
长方体的三视图都是长方形，正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各有一条边长相等。
4、画圆柱、圆锥的三视图：
5、思考：如图分别是两个几何体的三视图，请说出它们对应几何体的名称。
（1）
（2）
6、探究：画出底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥的三视图。
（三）巩固练习
课本P15 练习1、2； P20习题1.2 [A组] 2。
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）布置作业
课本P20习题1.2 [A组] 1。
教学反思
第二课时：简单组合体的三视图：
1、复习三视图的概念及画法：
（1）三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法，包括：正视图、侧视图和俯视图。
（2）画三视图时，几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样，即长对正、宽相等、高平齐；侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。
2、典例剖析
（1）画出上、下底面都是正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台的三视图。
（2）画出如图所示几何体的三社图。
三视图如下：
3、课堂练习：
课本P15 练习3、4。
4、作业：
画出下列几何体的三视图：
（1）
（2）
教学反思：
1.2.2 空间几何体的直观图
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1．知识与技能：（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
2．过程与方法：通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感态度与价值观：提高空间想象力与直观感受，体会对比在学习中的作用，感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法指导：通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的直观图。
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
投影展示几何体（长方体）的图片，设疑：怎样画物体的直观图？
（二）研探新知
例1、用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
（1）画轴：；
（2）画平行线：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段为原来的一半；
（3）成图：连结对应线段，擦去辅助线。
练习反馈：画正方形的水平放置的直观图。
拓展：画空间正方体的直观图。
例2、用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。
（1）画轴；（2）画底面；（3）画侧棱；（4）成图。
例3、如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
探究：（1）如图是一个奖杯的三视图，想象出它的几何结构特征，并画出它的直观图。
（2）空间几何体的三视图和直观图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构，它们知有哪些特点？二者有何关系？
5．巩固练习：课本P19练习1，2，3，4，5。
补充：根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图。
（三）归纳整理：学生回顾斜二测画法的关键与步骤。
（四）作业：课本P20 练习第4题；习题1.2 [A组] 第4题。
教学反思：
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
2、过程与方法
（1）经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。
（2）通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者之间的面积的关系。
3、情感态度与价值观：感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。
二、教学重点：柱体、锥体、台体的表面积的计算；
难点：锥体、台体表面积公式的推导。
三、学法指导：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）创设情境
正方体与长方体的表面积，以及它们的展开图有什么关系？
结论：多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积。
（二）探究新知
1、棱柱、棱锥、棱台的表面积：
探究：棱柱、棱锥、棱台的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求其表面积。
例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积。
分析：边长为a的正三角形的面积，
所给几何体为正四面体，其四个面为全等的等边三角形，故其表面积为。
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积：
探究：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
圆柱的侧面展开图是一个矩形，如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为，侧面面积为，因此，其表面积为。
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积为。
圆台的侧面展开图是一个扇环，如果圆台的上、下底面半径分别为，r，母线长为l，那么它的表面积为。
例2、如图，一个圆台形花盆盆口直径为20，盆底直径为15，底部渗水圆孔直径为15，盆壁长15。为了美化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？
分析：只需求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
（三）巩固深化，反馈矫正
补充练习：1、已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。
2、若长方体的三条棱长的比是1 : 2 : 3，全面积为88，则这三条棱的长分别是 ，对角线的长为 。
3、等边圆柱的轴截面面积是S，则它的侧面积是 。
4、圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形中，面积的最大值为2，则此圆锥的侧面积是 。
5、圆锥母线长为4，过顶点的截面三角形面积最大值为，则截面三角形顶角最大为 。
6、把一个半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥母线间的最大夹角是 。
7、将半径为72的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下的扇环面积为648π，将扇环围成一圆台，两底面半径之差为6，则圆台的上、下底面半径分别为 。
8、长方体AC1，若在A点有一只蜘蛛，C1处有一只苍蝇，蜘蛛要尽快地到达C1捕获苍蝇，问蜘蛛的最短路程是多少？
9、圆锥PO的底面半径是1，母线长为3，M是底面圆周上任一点，从点M拉紧一条绳子，环绕圆锥侧面一周再回到M处，若使绳子最短，则它的长度应该是多少？
（四）课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
（五）课后作业：P28，习题1.3，A组1、2。（以上补充练习）
教学反思：
1.3.1 柱体、锥体、台体的体积
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。
（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
2、过程与方法
通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者之间的体积的关系。
3、情感态度与价值观：感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。
二、教学重点：柱体、锥体、台体的体积的计算；
难点：台体体积公式的推导。
三、学法指导：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）复习引入
问题：正方体、长方体、圆柱的体积公式是什么？它们之间有什么共同的特点？
，，；
它们的体积公式可以统一为V = Sh（S为底面面积，h为高）。
（二）讲授新课
1、柱体的体积
一般柱体的体积也是V = Sh，其中S为底面面积，h为棱柱的高。
棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
2、锥体的体积
圆锥的体积公式是（S为底面面积，h为高），它是同底等高的圆柱的体积的。
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的，即棱锥的体积（S为底面面积，h为高）。
棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的。
棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
3、台体的体积
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到员台（棱台）的体积公式：，其中，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高。
圆台（棱台）的高是指两个底面之间的距离。
4、比较柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系：
（三）例题分析
例：有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g / cm3）六角螺帽共重5.8g，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14，可用计算器）？
分析：六角螺帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积。
注：求组合体的表面积和体积时，要注意组合体的结构特征，避免重叠和交叉等。
（四）巩固深化、反馈矫正
补充练习：
1、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是 。
2、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，则三棱锥的体积为 。
4、棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。
5、一个圆柱形贮油桶，当它水平放置时，桶里油所在的轴弧恰好占桶的底面周长的，那么当油桶竖直放置时，油的高度和桶的高度的比值是 。
6、将长为2πdm，宽为πdm的长方形纸片围成一个容器（不考虑底面，也不考虑粘接处），立放于桌面上，下面四种方案中，容积最大的是（ ）
（A）直三棱柱 （B）直四棱柱 （C）高为πdm的圆柱 （D）高为2πdm的圆柱
7、用一块长2米宽1米的矩形木板，在底面两直线的夹角为60的墙角处围出一个直棱柱形的谷仓，试问怎样围才能使谷仓的容积最大？求出谷仓容积的最大值。
（五）课堂小结
本节课学习了柱体、锥体与台体的体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
（六）课后作业：
P28，习题1.3，A组3、4，补充练习。
教学反思
1.3.2 球的体积和表面积
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：了解球的表面积和体积的计算公式，能利用所学公式解决一些简单的与球有关的面积与体积的问题。
2、过程与方法：通过对公式的应用，了解球体与正方体之间的内接与外切关系中边长与半径的关系，并能利用它们的关系进行解题。
3、情感、态度与价值观：通过球的有关公式的应用，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心。
二、教学重点：了解球体的体积和表面积公式。
难点：应用球的体积和表面积公式解决有关问题。
三、教学过程
（一）介绍新知
1、球的体积：
设球的半径为R，那么它的体积为，是以R为自变量的函数。
练习1：一个钢球的直径是5，则它的体积是 。
练习2：一种空心钢球的质量是142g，外径是5cm，求它的内径。（钢的密度是7.9g/cm2）
2、球的表面积：
设球的半径为R，那么它的表面积为，也是以R为自变量的函数。
练习3：（1）若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的 倍。
（2）若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 倍，体积变为原来的 倍。
（3）若两球表面积之比为1 : 2，则其体积之比是 。
（4）若两球体积之比是1 : 2，则其表面积之比是 。
（二）典例分析
例1：已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
例2：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。
结论：球的内接长方体的对角线长等于球的直径。
（三）巩固深化、反馈矫正
1、如果球的大圆周长是20π cm，那么它的表面积是 。
2、若离球心距离为3cm的球截面的面积是4π cm2，那么这个球面的面积是 。
3、半径为R的球的内接正方体的体积为 。
4、已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于 。
5、正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
6、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。
7、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB = BC = CA = 2，则球的表面积为 。
8、一根细金属丝下端挂着一个半径为1的金属球，将它沉入半径为2的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被提出水面时，客器内的水面下降了_______。
9、64个半径为1的铁球熔化后铸成一个大球，则该大球的半径为 。
（四）课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式，以及利用公式解决相关的球的问题。
（五）课后作业：补充练习
教学反思
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：通过讨论，对平面有了感性认识；归纳整理本节所学知识。
3、情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，增强学习的兴趣。
二、教学重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质：注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法指导：通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，请举出更多例子。
问题：平面的含义是什么？
（二）研探新知
1、平面的含义
几何里所说的“平面”是从一些物体中抽象出来的（原始概念），平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
D
C
B
A
α
问题：在平面几何中，怎样画直线？
类比、迁移：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角
画成450，横边长等于邻边的2倍长。
表示法：平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。·B
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A ∈α ；点B在平面α外，记作：B α 。
3、平面的基本性质：
（1）思考：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？
如果直线l与平面α有两个公共点呢？
演示：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上。
归纳（公理1）：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号语言：。
公理1作用：判断直线是否在平面内。
直线l在平面α内（平面α经过直线l），记作：；
直线l在平面α外，记作：。
（2）实物演示：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪。
自行车要放稳需几个点？
归纳（公理2）：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示：A、B、C三点不共线有且只有一个平面α ，使A ∈α、B ∈α、C ∈α 。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：过一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2：两条相交直线确定一个平面。
推论3：两条平行直线确定一个平面。
（3）演示：长方体模型中，两个平面的交线的含义。
思考：把一个三角板的一个角立在课桌上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B，为什么？
归纳（公理3）：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示：P ∈α ∩βα ∩β = l，且P ∈l。
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据。
4、例题：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系：
分析（1）；
（2）。
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P43 练习1、2、3、4；P51 习题2.1 A组 1、2。
（三）课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？
（2）三个公理的内容及作用是什么？
（3）公理化方法：从一些原始概念（基本概念）和一些不加证明的原始命题（公理）出发，运用逻辑推理，推导出其他命题和定理的方法。
（四）作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
教学反思：
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标：
1、知识与技能：了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；理解并掌握公理4、等角定理。
2、过程与方法：师生的共同讨论与讲授法相结合，让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观：感受掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣。
二、教学重点：异面直线的概念；公理4及等角定理。
难点：异面直线定义的理解。
三、学法指导：阅读教材、思考、交流、概括，较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
问题1：同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？
问题2：没有公共点的两条直线一定平行吗？
问题3：没有公共点的两条直线一定在同一个平面内吗？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在的直线与线段C'C所在直线的位置关系如何？
举例：举出生活中类似的例子。
（二）讲授新课
1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
2、空间两条直线的位置关系：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
课堂练习1：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
答案：D1C1，CC1，B1C1，DD1，AD，CD。
课堂练习2：判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由；若不正确，请举出反例。
（1）没有公共点的两条直线是异面直线；
（2）互不平行的两条直线是异面直线；
（3）分别在两个平面内的两条直线一定异面；
（4）一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面；
（5）分别与两条异面直线都相交的两条直线共面。
（6）分别与两条异面直线都相交的两条直线异面。
答案：（1）~（6）都错，反例略。
异面直线直观图的画法：
异面直线的判定：（1）既不相交也不平行的两条直线是异面直线。
（2）过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
数学语言：直线AB与直线l是异面直线。
探究：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。
分析：AB与CD，AB与GH，EF与GH共3对。
3、平行公理：
引入：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，那么BB'与DD'平行吗？
举出现实中相应的例子（如教室里的灯管）。
归纳（公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线，。
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4、等角定理：
引入：在同一平面内，如果一个角的两边与另一个的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，能否推广到空间？
观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
∠ADC = ∠A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800。
归纳（等角定理）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
拓展：有关平面图形的结论都可以推广到空间中来吗？试分别找出一个可以推广和一个不可以推广的例子。（如对边相等的四边形为平行四边形，在平面图形中成立，但在空间却不成立。）
5、例题巩固：
如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD，因为EH是三角形ABD的中位线，
所以EH // BD，且；同理FG // BD，且；
所以EH // FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形。
探究：如果再加上条件AC = BD，那么四边形EFGH是什么图形？（菱形）
拓展：若AC⊥BD，则四边形EFGH又是什么图形？（矩形）
（三）课堂练习：课本P48，练习1；P56习题2.1 [A组] 3，6。
（四）本节课学习了哪些内容？
1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。
2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
（五）布置作业：导与练P34，基础应用。
教学反思：
异面直线所成的角
授课类型：新授课 授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）
一、教学目标
1、知识与技能：理解并掌握异面直线所成的角的定义，熟记异面直线所成角的范围，会用平移转换法求异面直线所成的角。
2、过程与方法：借助正方体、长方体这一主要载体，以师为主导，引导学生主动参与，探究异面直线所成角的概念形成过程，以及角的求解及其所蕴含的转化思想与化归方法。
3、情感态度与价值观：
（1）通过本节学习，培养学生不断探索发现新知识的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
（2）培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想。
二、教学重点：异面直线所成的角的定义、范围与计算。
难点：空间平移点的选取及解题规范。
三、教学过程
（一）创设情景，引入新课
复习：1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交，也不平行，没有公共点。
2、空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面。
3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
A
B
A
1
B1
1
D
1
C1
1
C
D
E
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
问题1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，判断直线A1C1、B1C1、C1E、C1C与直线AB的位置关系。
说明：从位置关系一看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”与考虑异面直线间的相对位置是不够的。
问题2：用什么来刻画两条异面直线的相对位置呢？
提示：在平面几何中，用“距离”来刻画两平行直线间的相对位置，用“角”来刻画两相交直线间的相对位置。
a
b
问题3：一张纸中画有两条能相交的直线、（但交点在纸外），现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段。问如何量出、所成角的大小？其理论依据是什么？
学生动手操作。
问题4：能否将上述结论推广到空间两直线？
（二）新授课
1、异面直线所成角的定义（学生类比问题3给出定义）：
已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a' ∥a、b' ∥b，把a' 与b' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。
范围：。
思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？
点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点。
2、探究：（1）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？即a∥b，若a⊥c，则b⊥c？
（成立，因为b、c所成的角与a、c所成的角相等，都是90°。）
（2）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
A
B
A
1
B
1
D
1
C
1
C
D
（否，两条直线可能相交、平行或异面。）
2、例、习题剖析：
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：
（1）A1B1与CC1所成的角；
（2）A1B与CC1所成的角；
（3）A1C1与BC所成的角；
（4）A1C1与D1C所成的角；
分析：（1）∵A1B // CC1 --------找
∴ 为A1B与CC1所成的角 --------证
在△A1BB1中，； --------算
∴ A1B与CC1所成的角为45o --------答
（2）；（3）； （4）。
这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做——平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，简记为“找——证——算——答”。
变式一：（07福建卷）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
解：连接A1B，BC1，A1C1 ---------------------作
∵ A1B // EF，BC1 // GH
∴ ∠A1B C1为EF1与GH所成的角（或其补角） -----------证
在三角形A1BC1中，A1B = BC1 = A1C1
∴ ∠A1B C1=60° -----------算
∴ 异面直线EF与GH所成的角等于60° ---------答
小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：
（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。
（4）结论。
简记为“作（或找）——证——算——答”。
例2、长方体ABCD—A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，AD = 1，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
解：设A1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，
因为OE // D1B，所以∠C1OE或其补角，就是异面直线A1C1与BD1所成的角或其补角。
在△C1OE中，，
，
，
所以，
所以异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为。
变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。
A
C
B
S
E
F
变式3：在正四面体S—ABC中，SA⊥BC，E、F分别为SC</p>
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
