解直角三角形重难点.doc

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解直角三角形内容：（学大教育广州公司）
一、 本章的总体设想和安排
    （一）大纲对本章教学内容的安排
    本章教学内容属于三角学。中学数学把三角学内容分成两部分：一部分是三角学最基础的内容，归入义务教育初中阶段，就是解直角三角形；另一部分是三角学的主体内容，包括解斜三角形，三角函数等，将归入高中教学内容阶段。大纲把解直角三角形归入几何，是因为本章教学内容与直角三角形的概念、性质、判定、作图等有着密切的联系。学完本章内容，可以从形和数两方面对直角三角形有更深刻的理解。实践证明，这样安排是可行的。
    （二）教科书对本章教学内容的安排
    首先，考虑作为几何内容的三角知识与作为代数内容的三角知识有所不同。作为代数内容，三角函数的概念是通过平面直角坐标系引入的，它是用已知角终边上任意点P到原点距离之间的比来定义正弦、余弦、正切、余切的。而作为几何内容的三角函数的概念，是尽可能利用直角三角形、相似三角形的性质等已有知识，通过线段的比以及用一个实例作为引例逐步导入正弦、余弦、正切、余切的概念，它们各自有关的计算、应用以及它们之间的基本关系和混合计算、综合应用等。这样引入较为自然。
    其次，考虑到本章有广泛的应用价值，所以本章安排了大量的生产、生活实例，并且安排了实习作业。目的是培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识。
　　二、 本章教学要求
    1. 使学生了解锐角三角函数的概念，能正确地应用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形（其中一个锐角为∠A）中两边的比。熟记 30o、45o、60o 角的各个三角函数值、会计算含有这三个特殊锐角的三角函数式子的值。会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。
    2. 使学生会正确地使用“正弦、余弦表”、“正切、余切表”，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出它对应的锐角。
    3. 使学生理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题（包括一些能用直角三角形解的斜三角形的问题），从而进一步把形和数结合起来。
    4. 通过与三角形或四边形有关的实习作业培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识。
　　三、 本章主要内容及其地位作用
    本章内容分为两大节：第一大节是引进锐角三角函数的概念，用直角三角形中两条边的比来讲，并从学生所熟悉的三角尺自然推出30o、45o、60o的各个三角函数值。在适当介绍锐角三角函数值与它的余角的三角函数值的关系后，引入“正弦和余弦表”、“正切和余切表”，介绍如何利用这两份表格由已知锐角求出它的三角函数和由已知三角函数值求出它对应的锐角。第二大节是归纳直角三角形中的边、角之间的关系，利用这些关系解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识和通过与三角形或四边形有关的实习作业来解决某些简单的实际问题。
    解直角三角形的知识广泛地应用于测量、工程技术和物理之中，主要是用来计算距离、高度和角度。教科书中的应用题内容比较广泛，具有综合技术教育价值。解决这类问题需要进行计算，为了便于运算，常需要选择公式并进行变换。同时解直角三角形的应用题和实习作业，也有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合它们的图形。总之，解直角三角形的应用题和实习作业可以培养学生的运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和分析、解决实际问题的能力。这是四条教学要求中最重要的两条，也是前两条教学要求的目的和归宿。解直角三角形还有利于形数结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。通过这一章的学习，学生才能对直角三角形的概念有较为完整的认识，才能把直角三角形的判定、性质、作图与直角三角形中边、角之间的数量关系统一起来。另外，有些简单的几何图形可以分解为一些直角三角形的组合，从而也能用本章知识加以处理。以后，学生学习解斜三角形的余弦定理、正弦定理和任意三角形的面积公式时，也要用到解直角三角形的知识。
　　四、本章的重点、难点、关键
    重点是锐角三角形函数的概念和直角三角形的解法，特殊锐角与其三角函数值之间的对应也很重要。应当让学生由已知特殊锐角说出它的四个三角函数值；反过来，由已知特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数。其中，锐角三角函数的概念不仅是重点，而且兼备难点和关键的特色。说它是难点，是因为它隐含着角度与数值之间一一对应的函数思想，角与数互相对应并且用符号sinA、cosA、tgA、ctgA来表示；说它是关键，是因为只有正确理解锐角三角函数的概念，才能正确理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系来解直角三角形。为了克服上述难点，教科书除了回避“函数”一词，直接利用直角三角形中两条边的比，并通过学生手中的三角尺来引入锐角三角函数以外，还采取了下述讲法：
1. 遵照大纲的要求，对这些概念只要求学生了解，不作严格推理叙述。
    2. 把正弦、余弦、正切、余切分成两个小节：第一小节讲正弦、余弦与余弦的关系，查表求锐角的正弦、余弦值和由正弦、余弦值求锐角，用正弦、余弦解决简单问题；第二小节讲正切、余切的概念，正切与余角余切的关系，查表求正切、余切值和由正切、余切值求锐角；用锐角三角函数解决简单问题。第二小节复习了第一小节的内容，并以第一小节为基础，行文比第一小节简练。像这样，把概念、计算、应用分成两块，每块自成一个整体循环，第二循环又包括第一循环的内容，可以有效地克服难点。在上述每一循环中，都以锐角三角函数的概念作为基础，经过两个循环，学生可以感受到概念所起的关键作用，并对这些概念确实达到了真正了解程度。这样，在学习第二大节解直角三角形时，无论通过计算题、证明题、还是应用题或实习作业，都会加深对概念的认识，从而达到巩固的目的。此外，第一循环的最后编入用学过的锐角三角函数解决求直角三角形中单个未知元素的简单问题，这就为学习第二大节打好了基础。就是说，两个循环的讲法不仅可以克服难点，而且可以保证重点。

　　五、教学中需要注意的几个问题
    （一） 同一锐角的四个三角函数之间的基本关系
    1. 正弦与余弦的关系式
    sinA = cos(90o - A)
    cosA = sin(90o - A)
    sin2A + cos2A = 1
    在大纲中没有提及，但可以通过正弦、余弦的概念及勾股定理，结合直角三直形的图形推导出来。这几个关系式，可以加深对正弦、余弦的概念的理解，有助于对直角三角形的深入理解，同时，也为以后学习三角函数打下一定的基础。从另一方面来讲，上述关系可以使我们明白查正弦、余弦值为什么可以使用同一张表，而且可以了解正弦值随着锐角的增大而增大，余弦值随着锐角的增大而减小，从而避免在查表处理修正值时发生错误。
    2. 正切与余切的关系。由正切、余切的概念容易知道
    tgA·ctgA = 1
    tgA = ctg(90o - A)
    ctgA = tg(90o - A)
    在教学时，让学生熟记这一关系式，在以后解直角三角形时可使解法简便。列出以上关系式，目的是让学生知道和适当运用，但不要求掌握，更不要求用它们作为定理来证明其他问题。
    （二） 科学计算器和查表
    在本章中，要求学生会正确地使用“正弦和余弦表”、“正切和余切表”，同时也指出，可用科学计算器代替查表的方法。随着科技的发展及生活水平的提高，科学计算器已逐渐普及，所以用科学计算器代替查表是一种趋势。不过对于某锐角的三角函数值，学生应结合正弦值、正切值随着锐角的增大而增大，余弦值、余切值随着锐角的增大而减小的性质，由特殊锐角的三角函数值，能够粗略估计其值。若教师加以引导，这对培养学生的估算能力有一定的益处。条件不具备的学生，仍可查表，但不宜要求太高，更不宜在考试中直接测试查表。
    （三） 对习题的处理
    1.计算题。含特殊角的三角函数的式子中的项数最多不超过五项，并且不出现繁分式。答案的精确不能超过已知量的精确要求，角的结果精确到1'，边长保留四位有效数字。
    2.证明题。本章不要求证明三角恒等式。对于个别三角恒等式，放在“想一想”或B组题中。A组题中只出现个别关于面积的证明题。
    3.判断题和选择题。目的都是为了巩固锐角三角函数和直角三角形的有关概念，以及熟悉锐角三角函数值随角度变化而变化的情况，都只需要经过简单的计算或推理就能作出判断或选择。
    4.应用题。本章应用题中允许少数可以通过解直角三角形的途径来解决的其他图表的问题，这里的图形限于添加辅助线后能划分为直角三角形，一道题中涉及到的直角三角形最多不超过四个。
    （四） 形数结合，加强应用
    图形语言与数学符号语言相结合是重要的数学思想和数学方法。图形语言具体，直观、一目了然，数学语言抽象、严谨、逻辑性强，两者相得益彰。本章内容是进行形数结合的理想材料，在引入概念、推理、论述、计算、化简、解决问题时，都应该画图帮助分析，通过图形找出直角三角形中边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。另外，教科书中还安排了一些按图提问的练习题，也是为了把形和数结合得更好一些。紧密结合实际，加强应用，这是本章知识出发点，同时又是本章知识的落脚点。
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