《独立性检验的基本思想及其初步应用》.doc

课 题
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（一）

教
学
目
标
【知识与技能】
1、了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
2、会从列联表（只要求列联表）、柱形图、条形图直观分析两个分类变量是否有关。
3、会用公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性。
【过程与方法】
运用数形结合的方法，借助对典型案例的探究，来了解独立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤。
【情感、态度与价值观】
1、通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用。
2、培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出合理推断的实事求是的好习惯。
教学重点
理解独立性检验的基本思想及实施步骤。
教学难点
独立性检验的基本思想和随机变量的含义。
教学方法
以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主体，合作探究式进行学习。
教学手段
多媒体辅助教学。

教 学 内 容
设 计 意 图

教
学
过
程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

教

学

过

程

（一） 创设情境，导入新课
5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看下面一个问题：
为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了人，得到如下结果（单位：人）
表1 吸烟与患肺癌调查表

不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟

吸烟

总计

那么吸烟是否对患肺癌有影响呢？下面先来介绍一下与列联表相关的概念。
一、相关概念
1、分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量。

2、列联表：像表1 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表。（高中阶段我们只研究列联表。）
问题1：根据列联表中的数据，计算吸烟者和不吸烟者中患肺癌的比重各是多少？
3、三维柱形图和二维条形图:
将列联表中的数据输入到Excel表格中，将数据呈现到图形中。
师用Excel表格演示：借助三维柱形图和二维条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。

师：通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”。当对这个问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

（二） 合作探究，收获新知：
二、独立性检验
1、独立性检验的思想
把表1中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：
表2 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟

吸烟

总计

为了回答上述问题，我们先假设：吸烟与患肺癌没有关系。
则有：，即。

因此，越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

构造一个随机变量
（1）
（其中为样本容量。）

若成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则应该很小。

根据表1中的数据，利用公式（1）计算得到的观测值为

这个值到底能告诉我们什么呢？
统计学家经过研究后发现，在成立的情况下，
（2）
问题2：如何理解在成立的情况下，（2）式的含义呢？

问题3：结合（2）式，以及的观测值，由这两个式子你能得到什么样的结论呢？

师：这种判断会犯错误，但犯错误的概率不会超过，即我们有的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。
上面这种利用随机变量来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

类比：上面解决问题的想法类似于反证法。可以从与反证法思想比较的角度帮助学生理解上面介绍的独立性检验的思想。
下表列出了二者的对应关系：
反证法
独立性检验
要证明的结论
要检验的是
在A不成立的前提下进行推理
在不成立的条件下，即成立的条件下进行推理
推出矛盾，意味着结论成立
推出有利于成立的小概率事件发生，意味着成立的可能性很大
没有找到矛盾，不能对下任何结论，即反证法不成功
推出有利于成立的小概率事件不发生，接受原假设

从上面的对比中，可以看出独立性检验的思想方法和反证法类似，不同之处有两个：其一是在独立性检验中用有利于的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾；其二是独立性检验中的接受原假设的结论相当于反证法中没有找到矛盾。
师：要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”？（师生共同回忆上述问题的独立性检验的过程。）
怎样判断的观测值是大还是小呢？这仅需确定一个正数，如果时，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.
我们称这样的为一个判断规则的临界值。
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：

2、独立性检验的基本步骤：
① 根据实际问题需要的可信程度确定临界值；
② 利用公式（1），由观测数据计算得到随机变量的观测值;
③ 如果，就以的把握认为“与有关系”；否则就说没有的把握认为 “与有关系”。
（三）课堂练习，夯实基础
1、应用举例
练习1、在某医院，因为患心脏病而住院的名男性病人中，有人秃顶，而另外名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有人秃顶。能够以 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病”有关系吗？

2、展望高考
本节内容为新课标中的新增内容，主要考查独立性检验的统计分析方法， 2010年宁夏理科高考试题，2009年辽宁文科高考试题均以解答题的形式考查2×2列联表及独立性检验问题，是一个新的考查方向。
思考1、（2010年新课标全国卷，宁夏，海南，吉林，黑龙江等地）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270

（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
附：
P（
0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

思考2、（黑龙江省2010年高三二模试题）
某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出名至周岁的男生，将他们的身高和体重制成列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校至周岁的男生的身高和体重之间有关系。
独立性检验临界值表

P（
0.025
0.010
0.005
0.001

5.024
6.635
7.879
10.828

独立性检验随机变量值的计算公式：（其中）

超重
不超重
合计
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
合计
7
13
20

(四)课堂小结，感悟提高

知识梳理
背景分析
三维柱形图
独立性检验
列联表
分类变量之间关系关系
二维条形图

（五）课后作业，学以至用
课本第18页 第1题和第2题
（六）板书设计

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）
一、 有关概念 二、独立性检验 三、例题：
1、 分类变量 1、独立性检验的思想
2、 列联表 2、独立性检验的步骤

联系生活，引起共鸣，激发学生的学习兴趣。
（大屏幕展示）
从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动。

学生活动，动手计算，做出相关结论。

借助多媒体辅助教学进行演示，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论。

设置问题，引发学生的思考，激发学生的求知欲望。

以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主体，合作探究式进行学习。

生作答

提问生作答

学生活动：讨论式教学，运用群体的力量和团队精神解决问题，通过给学生思考、探索的空间，培养学生的合作学习观念。

生成概念，让学生初步体会独立性检验的基本思想。

学生活动：分组进行讨论，而后让学生总结二者的联系和区别。

用类比的方法，帮助学生进一步理解独立性检验的思想，培养学生用联系的观点看问题。

教学生学会怎样运用临界值表。

通过归纳总结，进一步加深学生对独立性检验思想的理解。

让学生复习列联表的制作方法，运用独立性检验的思想解决实际问题。

让学生感悟高考真题，使之对所学新知识充满兴趣，提高其应用新知识解决问题的能力。

熟练运用公式进行独立性检验。

学生进行思考后总结，教师进行概括。让本节课所学的知识在学生的感悟中得以升华。

教学设计说明
黑龙江省牡丹江市第一高级中学 张宁

教材：普通高中课程标准实验教科书 数学选修 人教A版
章节： 独立性检验的基本思想及其初步应用
一、授课内容的数学本质
在《数学3（必修）》概率统计内容的基础上，通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用。
章引言首先提出了现实中经常遇到的问题，比如肺癌是严重威胁人类生命的一种疾病，吸烟与患肺癌有关系吗？等等。现实中类似的问题大量存在，如何得出准确的推断，这就需要科学的方法，独立性检验就是其中一种常用的统计方法。
教科书通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出了独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟人中患肺癌的比例比不吸烟人中患肺癌的比例要高，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能有关系。“吸烟与患肺癌有关”这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体？来自于样本的结论“吸烟与患肺癌有关”能够推广到总体吗？为了回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法。
二、教学目标分析
【知识与技能】
1、了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
2、会从列联表（只要求列联表）、柱形图、条形图直观分析两个分类变量是否有关。
3、会用公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性。
【过程与方法】
运用数形结合的方法，借助对典型案例的探究，来了解独立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤。
【情感、态度与价值观】
1、通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用。
2、培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出合理推断的实事求是的好习惯。
三、教学问题诊断
在独立性检验中，教科书通过典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的步骤是固定的，仿照教科书的例题，学生不难完成习题，但独立性检验的思想对学生来说是比较难理解的，教学中如何结合例子介绍独立性检验的思想，才能使得学生很好的理解是一个教学难点。那么，在教学过程中，采用了与反证法做类比，帮助学生理解独立性检验的思想。两者都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出“矛盾”来断定结论是否成立。但二者“矛盾”的含义不同，反证法中的“矛盾”是指一种不符合逻辑事情的发生；而独立性检验中的“矛盾”是指一种不符合逻辑的小概率事件的发生，即在结论不成立的假设下，推出有利于结论成立的小概率事件发生。我们知道，小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，因此认为结论在很大的程度上是成立的。这样做了类比后，可以很好的帮助理解独立性检验的基本思想。
四、教法特点及预期效果分析
精心设计课堂环节，共同实现师生互动。在设计本节课的时候，我是从以下几个方面入手的。
1、创设情境，导入新课
通过对典型案例“吸烟是否对患肺癌有影响？”的提出，联系生活，引起共鸣，激发学生的学习兴趣。从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动。
先介绍分类变量、列联表的概念。
对于问题1的设计，是想让学生通过对列联表中数据的观察和计算，得出结论，吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者中患肺癌的可能性大。
将列联表中的数据输入到Excel表格中，将数据呈现到图形上，用计算机演示三维柱形图和二维条形图，让生观察图形，总结可以得出什么样的结论？用多种统计图使学生直观感觉两个分类变量是否有关系，然后再进行检验。
提出问题：是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”呢？ 设置问题，引发学生的思考，激发学生的求知欲望。
2、合作探究，收获新知
通过用字母表示的列联表：
表2 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌
患肺癌
总计
不吸烟

吸烟

总计

在假设：“吸烟与患肺癌没有关系”的基础上。引导学生得出。
因此，越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。 （上述结论由生思考后回答。）
师：介绍统计学中有这样一个公式
构造一个随机变量 （1）
（其中为样本容量。）

学生得出结论：若成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则应该很小。
根据表1中的数据，利用公式（1）计算得到的观测值为

这个值到底能告诉我们什么呢？
统计学家经过研究后发现，在成立的情况下，
（2）
对于问题2的设计，目的是让学生理解，在成立的情况下， 的发生的概率非常小，是一个小概率事件。
对于问题3的设计，学生讨论的很激烈，经过同学互相点评以及教师的适时引导，学生慢慢理解了当小概率事件发生时，一般认为是假设的出现了问题，因此认为结论在很大的程度上是成立的。
将独立性检验和反证法作类比，加深学生对独立性检验思想的理解。学生活动：分组进行讨论，而后让学生总结二者的区别和联系，培养学生学会用联系的观点看问题。
介绍临界值表，教学生学会运用临界值表。
总结独立性检验的基本步骤。
3、课堂练习，夯实基础
课上到这里，学生已掌握了独立性检验的基本步骤，练习就是进一步巩固所学知识，运用其来解决实际问题。
4、课堂小结，感悟提高
学生进行思考后，对本节课所学知识进行梳理，教师再进行补充概括。让本节课所学的知识在学生的感悟中得以升华。
5、课后作业，学以致用

效果分析：本节课通过对典型案例的探究，学生理解了独立性检验的基本思想及其具体实施步骤。让学生从中初步体会了数学与实际生活的联系，以及怎样运用所学知识去解决实际生活中的问题。
本节课通过对几个问题的设置，经过学生之间的讨论、互评，教师的引导帮助，使得本节课的难点得以突破。学生通过总结也完善了自己的认知结构，从而对该部分得知识也有了更深的体会。
我在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生自主探究、合作交流的学习方式。通过课堂练习，看到学生基本上能掌握用独立性检验思想解决实际问题，课前制定的教学目标基本实现。
通过反思，才能进步，我觉得课前预设与课堂生成相结合，才是符合新课程理念的对学生发展最为有利的教法。
非常感谢主办单位为我们年轻教师的成长提供了这样一个平台，我会在今后努力工作，使自己快速的成长起来，也希望各位专家，评委和同行们批评指正，谢谢！
黑龙江省牡丹江市第一高级中学 张宁
2010.9.19