资源描述
《二次根式》教材分析
一、本章地位与作用
二次根式的概念、性质及化简、运算是后续学习勾股定理、解直角三角形、一元二次方程和二次函数等内容的重要基础．
二．重点、难点：
重点：运算和法则
难点：在运算和法则的基础上，养成良好的运算能力（数感、符号意识、运算能力）
三、课标要求
课标要求：
2011版:了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算
近年来考试要求
考试要求
A
B
二次根式
及其性质
了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件
能根据二次根式的性质对代数式作简单变形；能在给定条件下，确定字母的值
二次根式的化简和运算
理解二次根式的加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）
四、课时安排建议
16.1 二次根式 约2课时
16.2 二次根式的乘除 约2课时
16.3 二次根式的加减 约3～4课时
数学活动与小结 约2课时
五、知识网络归纳：
二次根式
概
念
性
质
最简二次根式
*同类二次根式
*有理化因式
运
算
乘法：
混合运算算
除法：
加减法：合并同类二次根式
二次根式
应用
六、本章涉及的思想方法
1、遵循概念—性质---公式的路线，采用从“具体到抽象”，再从“抽象到具体”
2、类比思想
(1) 二次根式的运算与整式运算的类比；
=
=；
如：二次根式的乘法与多项式的乘法类比：
(2) 二次根式概念、性质与算术平方根概念、性质的类比．
3、转化思想
如，比较与5的大小
可将转化为，把5转化为，
，∴．
七、教学建议
（1）关于核心词
10个核心词中与本章相关的关键词：
数感（数及其运算结果估计方面）、运算能力、符号意识（用符号表示数、进行运算和推理，得到具体一般性的结论）、推理能力（通过归纳和类比得出性质、运算法则，从运算法则出发进行计算）、
（2）对分母有理化、同类二次根式的处理
八、各节建议
16.1 二次根式
本节主要内容是二次根式的定义和性质。
1.二次根式
形如的式子叫做二次根式．
注：不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数的要求．
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．这样的规定是为了降低难度，教学时要一定要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识．特别要强调二次根式的被开方数是“非负数”，而不是“正数”
例1、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
（1）；（2）；（3）；（4）．
提高题：（1）－； （2）－；
（3）； （4）．
例2．（1）若x、y为实数，且y＝＋＋3．求yx的值． （9）
（2）已知＋＋＝0．求a、b、c的值．
（）
2、二次根式的性质：
(1)； (2)； (3)；
与的对比
备注：教材仅考虑当时，==，而没有考虑当a<0时情况，教学中不必增加这种情况。
例3．已知为三角形的三边，则=
． （）
※例4（选讲）．（1）已知a<0，化简二次根式的正确结果是（ ）． A
A． B． C． D．
（2）把根号外的因式移到根号内，得（ ）．C
A． B． C． D．
16.2 二次根式的乘除
1、二次根式的乘除法公式：，
让学生通过计算并观察计算结果发现规律，然后概括到一般情形得到
例1：
强调运算结果应为-----最简二次根式或hjj有理式
2、公式的逆用：
通过简单练习熟悉一些能平方数：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；
（6）； （7）； （8）； （9）； ．
通过简单练习熟悉一些能平方数：
（1）； （2）； （3） ； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）； （9）．
例2：（1）； （2）.
※例9、把下列各式中根号外面的因式移到根号里面
(1) ； (2) ； (3) ； (4)；
教科书P11页 13题.已知下列等式：
，， ，······，
① 根据上述等式的特点，请你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；
② 观察上述等式的规律，请你写出第n个等式． （允许写成的形式）
此题有助于培养学生合情推理，从如何观察上引导，使学生发现根号下特征，再对照结果，发现根号下9的个数与结果中0的个数之间的关系。
16.3 二次根式的加减
1：-------法则
2.二次根式的加减法容易出现的问题
（1）该化简的没有化简，或化简的不正确；
（2）该合并的没合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，
如：①运算结果含有等；=
②运算过程中有或或=5-4等
③运算过程中有或等
例1．计算：（1）3+ （2）
（3）； （4）
（5）（+）-（-）
例2. （1）；（2）
（3）3-9+3 （4）3-9+3
例3 （1） （2）
（3）
补充练习（1） （2）
（3）； （4）；
（5） （6）
（7） （8）
3、二次根式的混合运算．-----运算与运算律、运算法则、运算顺序
适当运用乘法分配律：
乘法公式：，，
例1、计算：
(4) (5) (6)
(7)
例2、计算：（1） （2）
（3） （4）
例3、计算：
例4. （1） （2）
(3) （4）
（5） （6）
（7）－―＋（a＞0，b＞0）
（8）
补充练习
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
(11) （12）
（13） （14）
4.二次根式应用问题-------求周长、面积、体积等
综合练习
（一）条件求值类题目：
1.甲、乙两人对题目“求值：，其中”有不同的解答，
甲的解答：，
乙的解答：，
谁的解答是错误的？为什么？
2.（1）如果，那么=_____．
（2）若实数满足，则的值是 ．
3.① 已知: ， 求的值．
② 已知: ， ， 求x2 - xy + y2 的值．
（3）已知x+y=6，xy=6，求：的值．
（4）已知x＋y=－8，xy=8，求的值．
（5）已知x＝， y＝， 求的值．
（6）已知， 求的值．
（二） 寻找规律
1.观察下列等式：
；；；
……
回答下列问题：
① 利用你观察到的规律，化简：．
② 计算：．
2.观察下列各式的特点：
，，，……
(1) 请根据以上规律填空 >
(2) 请根据以上规律写出第个不等式，并证明你的结论．
(3) 计算下列算式：
3.计算
4（选讲）.有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，则可变为，即变成开方，从而使得化简．例如：
==，
∴
请仿照上例解下列问题：（1）； （2）
（三）其它
l 二次根式的比较大小
（1）引导学生总结常用的比较大小的方法
两个实数a,b比较大小，两种方法：
①将两个实数相减：若a-b>0，则a>b；
若a-b=0，则a=b；
若a-b<0，则a<b.
②两个实数相除：若，当b>0时，则a>b；当b<0时，则a<b.
若，则a=b.
若，当b>0时，则a<b；当b<0时，则a>b.
（2）除此之外，还有以下常用方法：
①估算法； ②被开方数比较法； ③平方比较法；
④倒数比较法； ⑤设参数比较法； ⑥分子或分母有理化比较法.
如比较大小：
（1）3与（平方法） ( > ) （2）－5与－6（被开方数）( > )
（3）与（分母有理化） ( > )（4）－与－（倒数法） ( < )
(5) 与（设参数比较） ( < )
(6)与（分子有理化）( < )（7） ( > )
练习1.比较大小：（1）3与 （2）－与－）
（3）与 （4）－与－
2.在实数范围内分解因式：=________；
二次根式全章测试
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 如果有意义，那么字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3．化简 的结果是（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D．9
4．下面不等关系正确的是（ ）
A. B. C. D．
5．若x= -3，则等于（ ）
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
6. 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知在数轴上的位置如右图所示，则代数式（ ）
A. B.
C. D. a
二、填空题（每空3分，共27分）
9．使式子有意义的x的取值范围是 .
10．最简二次根式与是可以合并的二次根式，则＝ .
11．化简：＝ ；＝ . 计算：=_________； =_________；=________；
12．计算：＝ .
13．在实数范围内因式分解： =
14．三角形的三边长分别为，则这个三角形的周长为 cm.
15．若，则a的取值范围是 .
16．已知实数m满足 则m-20102=_________.
17. 已知，化简二次根式的正确结果是 .
三、计算（每题5分，共40分）
18． 19.
20． 21.
22.
23.
24． 25.
四、解答题（每题4分，共8分）
26．已知 求的值.
27. 已知的整数部分为x，小数部分为y，求的值.（）
28. 已知
29. 已知，求的值.
答案：
1~4AAAB 5~8BCDC
9. x≤1且x≠ -2 10. 21 11. ；-； 12. 11 13.
14. 15. a<0 16. 2011 17.
18. 19. 20. 21. 22. ； 23. 24. 25.
26. 27.
附加：
1. 2.6
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