不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析.doc

线性规划讲义
【考纲说明】
（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；
（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．
（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
【知识梳理】

简单的线性规划问题
一、知识点
1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．
3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.

积储知识：
一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0
2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<0
3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0
注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,
即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0
二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界;
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.
三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域
原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：
1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），
当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：
①线性约束条件： ②线性目标函数：
③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：
【经典例题】

一．建构数学
1．问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？

首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．
其次，将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．

平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示．
因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．

二．数学运用

例1．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．

解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，
作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点
满足，即，
而且，直线往右平移时，随之增大．
由图象可知，
当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．

例2．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
解：由引例可知：直线与所在直线平行，
则由引例的解题过程知，
当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，
当经过点时，对应最小，
∴，．
例3．已知满足不等式组，求使取最大值的整数．
解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，

，
作一组平行线：平行于：，
当往右上方移动时，随之增大，
∴当过点时最大为，但不是整数解，
又由知可取，
当时，代入原不等式组得， ∴；
当时，得或， ∴或；
当时，， ∴，
故的最大整数解为或．
例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：

资 金
（百万元）
场 地
（平方米）
利 润
（百万元）
A产品
2
2
3
B产品
3
1
2
限 制
14
9

然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解

解：设生产A产品百吨，生产B产品米，利润为百万元，
则约束条件为，目标函数为．
作出可行域（如图），
将目标函数变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的直线，平移直线，当它经过直线与和的交点时，最大，也即最大．此时，．
因此，生产A产品百吨，生产B产品米，利润最大为1475万元．
说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．
一、 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．

三、画区域
1. 用不等式表示以，，为顶点的三角形内部的平面区域．
分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解：直线的斜率为：，其方程为．
可求得直线的方程为．直线的方程为．
的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内（如图）．
所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组表示．
说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．
2 画出表示的区域，并求所有的正整数解．
解：原不等式等价于而求正整数解则意味着，还有限制条件，即求．
依照二元一次不等式表示的平面区域，
知表示的区域如下图：
对于的正整数解，容易求
得，在其区域内的整数解为
、、、、．
3设，，；，，，用图表示出点的范围．
分析：题目中的，与，，是线性关系．
可借助于，，的范围确定的范围．
解：由得
由，，得画出不等式组所示平面区域如图所示．
说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的，，的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出，，，从而求出，所满足的不等式组找出的范围．
4、已知x,y,a,b满足条件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6
（1）试画出（）的存在的范围； （2）求的最大值。

四、画区域，求面积
例3 求不等式组所表示的平面区域的面积．
分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．
解：不等式可化为或；
不等式可化为或．
在平面直角坐标系内作出四条射线：
， ，
则不等式组所表示的平面区域如图，由于与、与互相垂直，所以平面区域是一个矩形．
0
A
B
C
（图1）
根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和．所以其面积为．
五、求最值
一、与直线的截距有关的最值问题
1.如图1所示，已知中的三顶点，
点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：
①在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC处有最小值 1 ；
②在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 处有最小值
0
A
B
C
（ 图2 ）
0
A
B
C

2若、满足条件求的最大值和最小值．
分析：画出可行域，平移直线找最优解．
解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点A时，取得最大值，当过点时，取得最小值．
∴　 ∴　
注：可化为表示与直线平行的一组平行线，其中为截距，特别注意：斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。
变式：设x,y满足约束条件

分别求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。
二、与直线的斜率有关的最值问题
表示定点P（x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.
例2　设实数满足，则的最大值是__________．
解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC，表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．
0
A
B
C
（图1）
可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，
即A点．∴．故答案为．
3.如图1所示，已知中的三顶点，
点在内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：
若目标函数是或，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得和？
三、与距离有关的最值问题
（配方）的结构表示定点Q （x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。
1.已知，．求的最大、最小值．
分析：令，目标函数是非线性的．而可看做区域内的点到原点距离的平方．问题转化为点到直线的距离问题．
解：由得可行域(如图所示)为，而到，的距离分别为和． 所以的最大、最小值分别是50和．
2.已知求的最小值
解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段上，故z的最小值是．

【课堂练习】
1. （安徽11）若满足约束条件：；则的取值范围为
2. 北京2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A） （B） （C） （D）
3.福建9.若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.广东5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为( )

5.江苏14．（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ．

6.江西8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50

7辽宁8. 设变量满足，则的最大值为
A．20 B．35 C．45 D．55
8.全国卷大纲版13．若满足约束条件，则的最小值为 。
9山东
10陕西14. 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 ．
11四川9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
12新课标(14) 设满足约束条件：；则的取值范围为
13浙江21．(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．

14重庆10.设点集为，则所表示的平面图形的面积为
（A） （B） （C） （D）
【课后作业】
（1） 选择题：
1．以下四个命题中，正确的是（　　　）
　Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧
　Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x－y=0同侧　　　　　　
Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧　　　　　
Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧
2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）
A．右上方 B．右下方 C． 左下方 D．左上方
3．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
　 A． 　　B．　　　　　Ｃ．　　　　　Ｄ．2
（2） 填空题：
4．若x、y满足条件，则目标函数z=6x+8y的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x、y满足，则x+y的范围是 。
6．非负实数x、y满足，则x+3y的最大值是 。
7．设实数x、y满足条件，则的最大值是 。
8．设实数x、y满足条件，那么2x－y的最大值为（ ）
A． 2 B． 1 C ． －2 D． －3
9．已知变量x、y满足约束条件1≤x+y≤4，－2≤x－y≤2。若目标函数z=ax+y（其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是 。
10．设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线x+y=10距离的最大值是 。
（3） 解答题：
11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A型、B型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A、B型电视机的产量分别不低于5台和10台，那么生产两种类型电视机各多少台，才能使利润最大？

12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大赢利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？

【参考答案】

【课上练习】
1.【解析】的取值范围为
约束条件对应边际及内的区域：
则
2.【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。
【答案】D
3.考点：线性规划。
难度：中。
分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。

解答：可行域如下：
所以，若直线上存在点满足约束条件，
则，即。

4.【解析】选 约束条件对应边际及内的区域：
则
5.【答案】。
【考点】可行域。
【解析】条件可化为：。
设，则题目转化为：
已知满足，求的取值范围。
作出（）所在平面区域（如图）。求出的切
线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小，须。
∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。
当（）对应点时， ，
∴的最大值在处，为7。
∴的取值范围为，即的取值范围是。
6.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为 即作出不等式组表示的可行域,易求得点.

平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）.故选B.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.
7.【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题.
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，的最大值为55，故选D.

8.答案：
【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。
【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大，当目标函数过点时最小为。]
9.解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，
点处有最小值，即.答案应选A。

10.【答案】2
【解析】当时，，，∴曲线在点处的切线为
则根据题意可画出可行域D如右图：
目标函数，
当，时，z取得最大值2
11.[答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y

且
画可行域如图所示，
目标函数Z=300X+400Y可变形为
Y= 这是随Z变化的一族平行直线
解方程组 即A（4,4）
[点评]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.
12.【解析】的取值范围为
约束条件对应四边形边际及内的区域：
则
13.【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ) (ⅰ)．
当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时的最大值为：
＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵，∴令．
当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．
∴所求a＋b的取值范围为：．

【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)．
14.【解析】选 由对称性：
围成的面积与
围成的面积相等 得：所表示的平面图形的面积为
围成的面积既
【课后作业】
一、选择题
1．C；
2．C；
3．B解析：或画出可行域，是两个三角形∴所求面积为。
2. 填空题：
4。最大值为40，最小值为0；
5．2.8≤x+y≤5.2
6．最大值为9。
7．最大值为。
8．最大值为1。
9．解析：由约束条件可知可行域，区域为矩形的内部及其边界，（3，1）为其中一个顶点，z最大时，即平移y=-ax时，使直线在y轴上的截距最大，∴-a<-1∴a>1。
10．解析：画出可行域为一个四边形，到直线x+y=10距离最远的点应该是直线2x+3y=3、y＝1的交点，即点（1，1），它到x+y=10的距离是。
三、解答题
11．解析：设生产A型x台，B型y台，依题意得约束条件为：而目标函数为：z=6x+4y。画出可行域和直线3x+2y=0并平移可得最优解为：x=y=20。
12．解析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
，目标函数为z=x+0.5y，画出可行域和直线x+0.5y=0并平移得到最优点是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点（4，6）此时z=7（万元）。

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