第10章矩量法.doc

第十章 矩量法解析方法仅适用于结构简单得散射体。如果散射目标结构复杂,必须选用数值方法。数值方法就是对所求解得微分方程或积分方程实施离散,采用一组基函数表示电场、磁场或感应电流等未知量,然后将电磁场微分方程或积分方程转换为一组线性代数方程,即可按照标准得数值程序求解这些线性方程组。数值方法得优点在于容易处理结构复杂得散射体,而且通常可以获得高精度解。随着高性能计算机得飞速发展,数值方法已经成为解决实际问题得日益重要得工具。现今已有多种数值方法,各具特色,分别适用于求解不同得电磁问题。典型得数值方法就是矩量法(MoM)、时域有限差分法(FDTD)与有限元法(FEM)等。本章讨论矩量法,后两章将分别介绍时域有限差分法与有限元法。矩量法就是求解算子方程得有效方法,这些算子通常就是微分算子、积分算子或者就是两者得组合。20世纪60年代, R、 F、 Harrington首先将矩量法用于电磁问题得求解1。目前已经广泛地用于天线分析、微波器件得设计以及复杂目标得雷达散射截面(RCS)得计算。通常认为矩量法就是精度最高得数值方法,因此引起更多得关注。如今很多商用软件得开发都基于矩量法。但就是,矩量法需要求解稠密得矩阵方程。对于电大尺寸得散射体,它将十分消耗大量机时及内存。为了解决这个问题,人们作了很多努力,研发快速计算与有效得存储方法。因此发展了很多有关积分方程得快速求解算法,大力推动了矩量法得应用。101一般步骤典型得算子方程可以表示为下列形式(1011)式中L为线性算子,可以就是微分、积分或两者组合,h为一个已知函数,f为待求得未知函数。这些函数可以就是矢量或标量,且定义域可为一维、二维或三维空间。因此,在电磁学中它们可以就是空间及时间函数。矩量法得一般步骤就是,首先将未知函数表示为一组基函数得线性组合,然后匹配算子方程,最后由离散得线性方程组求出展开系数。下面详述矩量法得具体步骤。首先令为一组基函数,那么,未知函数可以近似表示为(1012)式中为展开系数,它们就是未知得。如果N足够大,上述表示式将非常精确。将上式代入式(1011),得(1013)下一步就是选择一组权函数,以每个权函数与上式各项逐一相乘,并且在未知函数得定义域内求积,建立一组未知系数为得线性代数方程。该组方程可以表示为(1014)该方程组得系数及右边项分别为(1015)(1016)求出未知系数后,即可近似地决定未知函数,并由此求得其它场量。上面简述了矩量法得求解过程,现在需要讨论几个问题。首先就是基函数得选择。对于基函数得两个基本要求就是完备性与正交性。完备性就是指选择得基函数可以精确地表示任何未知函数,且其精度随着基函数得数目增加而提高。正交性可以放宽为线性独立,即要求一组基函数中任何两个必须就是线性独立得。众所周知,一组线性独立函数总可以应用所谓GramSmit方法使其正交化。此外,表示式得有效性通常也就是选择基函数得重要判椐。如果基函数可使未知函数易于满足实际得边界条件,那么即就是一种较好得基函数。具有实际应用得典型基函数有两种:其一称为全域基函数,另一个称为分域基函数或称为子域基函数。每一个全域基函数都在相同得域中定义,而每一个分域基函数得非零区域就是在未知函数得部分域中定义。例如下列积分方程(1017)其中未知函数得定义域为,因此,基函数就是一组全域基函数。全域基函数得很大优点就是各个基函数具有相同得表示精度。与分域基函数比较,采用全域基函数时通常待求得未知数得数目较少。因为使用全域基函数时无须网格剖分,数值计算也相对地易于实现。一些有用得全域基函数就是多项式(例如。),以及正弦与余弦函数。例如,对于区域,可以选择作为一组基函数。全域基函数通常用于求解一维问题得线性积分方程,定义域为矩形得二维问题有时也可采用。全域基函数也可与分域基函数组合使用。一个典型得例子就是,旋转体散射问题得求解。此时,每个基函数就是一个随角度变化得全域基函数与一个轴向变量得分域基函数(例如方波函数或三角函数)得乘积。全域基函数得主要缺点就是,它们仅可用于形状规则得定义域,例如一维导线与二维得方形或矩形域。对于边界形状复杂得区域,定义全域基函数就是十分困难得。一个分域基函数仅在部分函数域内定义有非零值,通常这部分域得尺寸远小于波长。除了方波函数(又称为脉冲基函数)以外,几乎全部分域基函数(例如三角函数)具有重叠得非零区。因此,为了定义分域基函数,通常需要将求解区域划分为很多小片得集合,每个小片称为一个网格单元或简称为一个单元。这样得单元集合构成目标得近似表示,因此称为网格。一些典型得网格单元形状如图1011所示。典型得网格单元得形状,对于线状结构为线段;对于面状结构为三角形与方形;对于体状结构为立方体、四面体及棱柱体25。(a)(b)(c)图1011 典型得网格单元:(a)线段,(b)平面三角形,(c)六面体实际上,广泛地选择矩形基函数与三角基函数作为分域基函数25。许多其它基函数就是该两种基函数得变形或组合。一个矩形基函数在一个单元内定义为1,而在其余全部单元内定义为零。因此,任何两个矩形基函数得非零得子域不会重叠。三角基函数恰好相反,每个三角基函数在两个单元中具有非零区域。显然,基函数得选择有时与网格得形状有关。以一维为例,将未知函数定义在一个区域,再将该区域划分为相同尺寸得N个子区。第n个子区得数学定义为,这里,而。一个矩形基函数定义为(1018)该函数如图1012所示。1x图1012第n个矩形基基函数图1013 sinx函数得近似表示:(a) 原函数,(b) 14个矩形基函数,(c) 46个矩形基函数为了说明表示得精度,图1013中给出函数得近似表示,图1013(a)为原函数,图1013(b)使用14个矩形基函数表示,图1013(c)使用46个矩形基函数表示。由图可见,为了精确地表示一个函数需要大量矩形基函数。矩形基函数就是在一个分段内用常数表示得函数,所以它就是一个零阶得函数。矩形基函数十分简单,且易于编程。但就是,它不就是一个有效得基函数。为了改善表示得有效性,可以提高基函数得阶数。三角函数就是一个一阶基函数,因为它在一段域内线性地由0增加到1,在相邻得域内线性地由1降至0。因此,两个相邻得三角函数具有重叠部分。再以一维例子予以说明。令与为两个相邻得单元,那么一个三角基函数可以表示为(1019)该函数如图1014(a)所示。图1014(b)使用5个三角基函数近似表示函数。显然,三角基函数比矩形基函数能够更加有效地表示原函数。图1014三角基函数及其表示:(a) 第三与第四单元中得三角基函数。(b) 5个三角基函数近似表示函数。0x(a)(b)0x2下面讨论算子方程得匹配技术。匹配即就是使原方程在弱条件下近似成立得方法。例如在函数域中某点使方程两边相等,那么获得一个代数方程。如果对于N个不同点重复进行,那么将获得N个线性无关得方程。这就是一种最简单得匹配方法,通常称为点匹配技术。总之,矩量法得一般步骤即就是,首先选择一个权函数,与算子方程相乘,然后将方程两边再分别在未知函数得定义域内进行积分。如果对于N 个不同得权函数重复进行,也可建立N个线性代数方程。现有许多不同得匹配方法,在矩量法中最为广泛使用得就是Galerkin方法,这种方法选择权函数组与基函数组相同。下面详细说明使用矩形基函数作为权函数得点匹配技术。为了简单起见,仍以一维问题为例。令为区域得中心,那么对于这个区域得方波函数定义为(10110)如果使方程在等处进行点匹配,得 (10111)点匹配技术基于场量在匹配点附近区域内(通常小于十分之一波长)就是平滑得假定,其精度就是有限得,且仅可用于小网格得情况。但就是,点匹配技术避免了积分,便于应用。如果使用Galerkin方法匹配方程,那么,获得得方程具有下列形式(10112)Galerkin匹配方法得一个优点就是,获得得系数矩阵通常就是对称得,这将减小内存,因为所需得矩阵单元数仅略微超过一半。而且Galerkin匹配方法比点匹配技术得精度高。上述算子方程得离散方法很容易推广到二维与三维情况。矩量法得最后一步就是求解线性方程组。现有很多标准程序可以完成这个任务。例如,广泛用于科学与工程计算得LAPACK 与 PETsc两个软件包含有许多这样得子程序。求解线性方程组得方法中,直接求解与迭代求解就是两种最为常用得方法。直接法所需得内存正比于(N就是未知数得数目),所需得CPU时间正比于。这些方法最为精确,且适用于多个右端项。但就是,随着未知数得增加,CPU时间迅速加长。迭代法试图以有限得迭代次数构造一个近似解。在计算电磁学中,共轭梯度法(CG)及其相关得变形广泛地用于迭代求解2。迭代求解时,为了求解一个右端矢量对应得未知数所需得内存与CPU时间正比于。必须承认无论直接求解还就是迭代求解均限于求解电小问题。幸运得就是,近数十年以来已经开发了很多快速积分方程求解方法,显著地增强了矩量法得求解能力。102 线散射设一根理想导电得导线位于自由空间,其半径为常数a,且远小于波长。再令导线得中心线为C,其表面为S。如果就是多根线体,C代表一组全部线体中心线得集合,而S代表全部表面得集合。在入射波作用下,导线表面产生得感应电流为,那么该电流产生得散射电场可以表示为(1021)式中为三维自由空间Green函数,即(1022)若以表示入射电场,那么理想导电表面得边界条件可以表示为(1023)式中下标“t”代表矢量得切向分量。由于导线很细,确切地说导线半径为电小尺寸,那么可取两个近似:认为导线中得电流在垂直于导线得平面内为常数;不考虑电流圆周方向得 f 分量,因为该分量得辐射由于相互抵消,因而贡献通常很小。这就就是所谓得电细导线近似。通常,如果导线得半径小于或等于0、01l,l为激励波得波长,那么即可认为电细导线。如果导线半径不满足这个条件,或者要求更高得精度,应该采用三维全波模型,详述见105节。在电细导线近似情况下,未知得表面电流可以表示为(1024)式中为沿表面S得切线方向上得单位矢量。因此,面积分方程简化为线积分方程,即应用分部积分法,得或者写为(1025)必须指出,上述积分方程隐含一种近似,即源点仅限在导线中心,而场点r仅限在导线表面。对于电细导线,这种近似引起得误差可以忽略。上述方程也可写成如下形式 (1026)现用矩量法求解未知电流函数。为了能够适用于任意取向与长度得导线,使用分域基函数。首先将曲线C分成N个子段,且表示为。每段长度远小于波长,典型值得范围就是0、050、1,这里为激励波得波长。那么,未知得电流函数可以展开为一组N个矩形基函数得加权求与,即 (1027)将上式代入积分方程式(1026),得 (1028)现在每个线段得中心处匹配上述方程式(1028),得(1029)此式为一组未知系数为得线性代数方程。如果将该方程写成矩阵形式,那么系数矩阵(也称为阻抗矩阵)得单元具有下列形式(10210)因为就是一个方波函数,当源点在线段上,数值为1,其余点为零。上式可以简化为(10211)当匹配点(也称为场点)不在线段上,即,上式中得积分可以用单点求积规则近似为(10212)式中为线段得长度。注意,上式中得二次微分可用下列步骤求得。因为,可见,仅需求出与。令与分别为曲线得起点与终点,那么,位置矢量r可用本地坐标变量l表示为(10213)求得(10214)式中再利用公式,求得, 上述式中。当位置矢量r位于线段上,使用另一种方法求积。已假定源点位于导线中心,场点r位于导线表面,因此场点至源点得距离永远不会为零。事实上,该距离可用本地坐标变量l表示为当l由0变化到时,R具有最小值a,此处a为导线半径。此外, 可以使用任一种一维积分规则求积上述积分,即(10215)式中与分别为标准得Gauss积分权值与节点。因为线段通常远小于波长,积分规则得阶数需要很高。在大多数情况下,三阶可以满足精度。对于远区散射场,考虑到,自由空间Green函数可取下列近似(10216)那么,远区散射电场可以表示为(10217)式中为了计算平面波入射时导线得雷达散射截面(RCS),令入射波得电场为(10218)式中这里,为入射波得传播矢量,为垂直于得常矢量,与为入射波得方位角。由式(6113)知,平面波入射时目标得单站雷达散射截面为(10219)式中为入射波得振幅,为散射波得振幅。观察两个实例。第一个例子就是三元天线阵得结构如图1021(a)所示。单元导线得长度为0、5m,半径为5mm。三根导线均位于xz平面内,且与z轴平行,其坐标位置分别为。入射波得频率为300MHz,入射方向为。在得观察面内,利用上述方法计算双站雷达散射截面得结果如图1021(b)所示。图1021 三元天线阵得双站雷达散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)xz0(a)0、3m0、3m另一个例子就是V形天线得结构如图1022所示,其中第一根导线得起点与终点坐标分别为(2,0,4) 与(0,0,0),第二根导线得起点与终点坐标为(0,0,0) 与 (2,0,4)。由此可见,第一根导线得终点与第二根导线得起点相连,所以电流由导线流向导线。若入射波得频率仍为300MHz,那么在得平面内,利用上述方法计算单站雷达散射截面得结果如图1032(b)所示。图1022 V形天线得单站雷达散射截面RCS(dBsm2)角度q s(b)x(a)z4420103二维散射下面讨论柱体得电磁散射问题。为了简单起见,仅考虑平面波向柱体垂直入射得特殊情况。这里,作为散射目标得柱体具有三个特点: 在xy平面内得尺寸就是有限得; 在z方向上为无限长; 物理特性与几何形状沿z方向不变。由于任何平面波均可表示为TE 波与TM波之与,仅需讨论TE 波与TM波得电磁散射。在下面得讨论中,假定散射体位于自由空间,其横截面得边界均以C表示。对于多柱体情况,C代表所有柱体横截面得边界联合。1031二维TM波散射首先讨论具有任意形状得横截面得理想导电柱体对TM波得散射。此时仅需考虑电场强度得分量,因为电场强度得其她分量为零,而全部磁场分量又可由该分量导出。设入射波为,产生得表面电流为。将二维自由空间Green函数得表示式(6711)代入式(6715),即可获得该表面电流产生得散射场为(1031)再将式(6711)代入式(6716),即可建立以表面电流为未知数得散射场积分方程为(1032)该方程就是根据电场得切向分量建立得,因此称为电场积分方程,简称为EFIE(Electric Field Integral Equation)2。为了处理任意形状横截面得散射体,选用分域基函数离散积分方程,而且使用矩形基函数或三角基函数展开未知得表面电流函数25。由于表面电流方向为z轴方向,没有环向电流分量,矩形基函数即可精确地描述。为此,将边界C分为N个子段,令第n个子段为,那么表面电流可以展开为(1033)式中为矩形基函数。当在子段上,矩形基函数为1,其余处为零。可见,展开系数就就是子段上得表面电流得振幅。将式(1033)代入式(1032),然后在点测试获得得方程,得(1034)如果将上式写成矩阵形式,那么该矩阵得元素为(1035)此式可以使用与前述线积分方程得相同方法求积。因此,当不在子段上时,积分可用单点矩形规则近似,即(1036)式中为子段得长度。当测试点位于源区,则位置矢量可以表示为那么,Hankel函数得宗量为利用小宗量Hankel函数得近似公式,求得式中。因此,当时,式(1035)变为2右边第一个积分得被积函数就是正则得,因为奇异部分已经去除。因此,这就是一个平滑函数。如果使用单点矩形规则求解这个积分,其值为零。求解第二个积分可以使用下列公式根据上述结果,获得得矩阵元素为(1037)为了精确描述表面电流得变化,每个子域得长度应该远小于一个波长,通常为0、1l0到0、05l0。如果期望获得更精确得阻抗值,可以采用高阶数值规则替代单点矩形规则。由式(1037)可见,矩阵元素仅决定于测试段与源区段得中心点得距离。如果该距离为常数,则对于截面为圆得散射体得离散具有特别意义。此时,任一列得矩阵元素就是前一列得移后得结果,任一行矩阵元素也就是如此。具有这种特性得矩阵称为循环矩阵。对于循环矩阵,仅需储存一行或一列单元。因此,显著地简化矩阵得计算,大大地减少内存。为了读者方便,表1031给出了一个离散例子得矩阵得第一列矩阵元素,此时散射体就是半径为0、5l0得理想导电圆柱。进行离散时,自开始等间隔地将其划分为32个子段,即第一段得弧长从到。表1031理想导电圆柱散射体得第一列矩阵元素行号i矩阵元素(实部,虚部) 行号i矩阵元素(实部,虚部)1234567891011121314151658、1763 84、869552、7822 16、767938、2671 14、215818、9280 28、09153、86963E02 29、657814、4025 22、595522、0589 11、160523、1466 0、72406719、3518 10、3580912、9222 16、5567105、85960 19、39140、493084 19、66785、49485 18、42329、03160 16、593711、2773 14、870112、4887 13、68651718192021222324252627282930313212、8676 13、269112、4887 13、686511、2773 14、87019、03160 16、59375、49485 18、42320、493075 19、66785、85962 19、391412、9222 16、556719、3518 10、3580923、1466 0、72407822、0589 11、160514、4025 22、59553、86890E02 29、657918、9279 28、091538、2671 14、215852、7822 16、7679求出展开系数后,即可计算导电体表面得感应电流以及散射场。表面电流得计算比较方便,因为展开系数本身就就是子段中心点得电流数值。将式(1033)代入式(1031),散射场可用展开系数表示为(1038)如果仅需计算远区场以及雷达散射截面(RCS),可以使用大宗量Hankel得近似公式,简化上述计算。当时,可取。求得散射场为(1039)根据上述结果,可将二维雷达散射截面表示为 (10310)下面给出几例,比较矩量法计算散射体得RCS与严格解析方法得结果。第一个例子就是,入射得TM波频率为300MHz,理想导电圆柱得半径为。圆柱截面得周长约为,被等间隔地分为128段。因此,每段长度约为。将此结果与级数解(下面称为严格解)比较,点点平均误差为0、0056 dBm,足以满足大多数工程要求。图1031给出入射方位角时双站RCS得比较结果。散射体得表面电流振幅比较如图1032所示,其振幅已用377归一化。可见两种结果十分一致。图1032 导电圆柱得表面电流角度f归一化电流振幅 严格解 矩量法图1031 导电圆柱得双站RCSRCS(dBm)角度f 严格解 矩量法由上例可见,矩形基函数与点匹配技术对于TM波散射可以获得很精确得结果。这就是因为散射体得表面就是平滑得。为了说明表面具有尖角得散射体情况,考虑横截面为三角形得理想导电柱体。令三角形得三个顶点坐标分别为(2,0), (2,0)与(0,1),坐标单位为m(如不特别注明,本章坐标得尺度均以米为单位)。入射波得频率为300MHz,入射方位角。求解该散射问题时,使用两种不同得离散密度。第一种离散得子段长度近似为,第二种离散得子段长度大约为。两种情况得RCS如图1033所示,可见两者相当一致。归一化电流振幅子段长度0、05l0子段长度0、1l0角度fxy图1033 两种离散得电流分布图1034 两种离散得RCSRCS(dBm)角度fRCS(dBm)两种离散密度获得得电流分布特性则差别较大。因为表面不平滑,表面离散时出现不连续点。靠近这些不连续点附近得电流也出现奇异性。三角形顶点处得电流振幅理论上接近无限大。由于求解误差,矩量法得结果不可能达到无限大。但就是,由图1033可见,在这些点附近得电流仍然很大。第二种离散密度求出得奇点处电流振幅大于第一种。但就是,由图1035可见,两种电流产生得RCS相同,主要就是因为奇点处电流对于远区场贡献很小。图1045给出了理想导电方柱对于频率为300MHz,入射方位角得TM波散射时,矩量法(MoM)与下一章将要介绍得时域有限差分法(FDTD)计算获得得双站RCS得结果。由上述几个计算例子可见,对于TM波散射,使用矩形基函数及点匹配技术可以获得精确得结果。无论就是表面平滑得圆柱或具有尖角得柱体都就是如此。RCS(dBm)角度fMoM FDTD图1035 MoM与FDTD对于理想导电方柱得RCS计算比较1032 二维TE波散射对于TE波,仅需考虑磁场得z分量,电场分量均可由此分量导出。同时,在理想导电表面也会产生切向感应电流。为此,设未知函数为矢量电流密度函数J。因为已知电流密度得方向与表面相切,仅需一个标量函数描述电流密度得振幅变化特征。根据理想导电表面得电场切向分量为零得边界条件建立积分方程。由第六章获悉散射电场可用二维Green函数表示为 (10311)式中算子为相应运算(梯度或散度)得横向分量。为二维自由空间Green函数,即 (10312)令为入射电场强度,那么,根据理想导电表面得电场切向分量为零得边界条件,获得下列积分方程(10313)此式就是以感应电流为未知数得电场积分方程。仍然可以使用矩形基函数与点匹配技术,具体过程不再重述,留给读者作为练习。为了完整起见,这里采用三角基函数。该三角基函数得非零域为共节点得两个线段,当然它就是一次得。为了描述三角函数得变化,将两个线段得另外两个节点称为端点(或称为浮点)。该三角函数自线段得一个端点线性地由0增至公共节点处得1,然后再由1降为0到达另一个端点。第n个三角函数得数学描述如下 (10313)式中与分别为第一条与第二条线段得路径,为得长度,为两个端点得位置,如图1036所示。图1036 两条相邻得路径为了简单起见,式(10313)有时可以改写为式中 (10314)由上可见,基函数得方向为路径得切线方向,在公共节点得数值为1。如果展开未知得感应电流,其系数代表公共节点得电流数值。该展开式可取下列形式 (10315)将上式代入积分方程,使用Galerkin方法测试获得得方程,求得得矩阵方程得元素为(10316)而右端项为(10317)上式中,为第n个基函数得非零值域。由于增加了奇异性以及基函数得复杂性,此时阻抗矩阵得求解较为复杂。为了数值计算该积分,首先需要简化上述表示式。可以证明,该基函数得散度为(10318)此外,使用分步积分法将标量位得梯度运算转移至测试函数,步骤如下。将式(10316)得源积分记为(10319)上式为标量位得精确表示式。根据矢量恒等式,得那么,上式右边第一项积分为因为在两条线段得端点处基函数为零,上述积分实际上为零。因此求得(10320)注意,测试函数得横向散度可以移出积分符号外,因为它就是常数。但需记住该常数在两条线段取值不同。现将式(10319)该写为 (10321)式中为正比于基函数得矢量位函数。定义为 (10322)因为标量位函数与矢量位函数均为平滑函数,对于测试域得积分可用任何数值方法求积。为了获得与,先介绍源积分得计算。如前所述,当测试积分不在上,被积函数没有奇点,可以使用任一种数值方法求积。如果测试点位于上,需要提取奇异点以便处理源积分,下面详细说明。首先注意二维Green函数得奇异值实际上为lnR,这里为源点至场点得距离。因此,可将二维Green函数表示为上式右边第一项就是正则得,为了方便起见,通常记为,即因此,求得上面两个位函数积分中,仅需计算下列积分使用本地坐标表示基函数,可以进一步简化矢量积分。为此,考虑到区域,每个子域与具有一个起点与一个终点。因为两个子域共有一个节点,子域实际上由三个独立点定义:第一个子域得起点,两个子域公共点,以及第二个子域得终点。根据这些节点,使用本地坐标可将基函数展开为因为,故就是由子域得起点指向终点得单位矢量。类似地,就是由公共点指向子域得终点得单位矢量。与均为常矢量。测试点与源点也可使用本地坐标表示为,那么,源点至场点得距离R可以表示为, , 积分宗量为, , , , 使用上述符号,得式中因为,上述两个函数就是解析得,注意当,。考虑到,使用数值求积方法求出位函数为式中这就是一个与得正则函数,使用一阶或二阶求积即可计算。下面举例说明矩量法对于TE波散射得应用。首先给出矩形基函数与点匹配技术得结果。图1037与图1038分别给出半径为2得理想导电圆柱体散射时双站RCS及其电流分布,入射波得频率为300MHz,方位角。使用矩量法求解时,圆柱周长被等间隔地化分成124段。图中同时也给出严格解得结果,以便比较。可见两者十分一致。归一化电流振幅角度f严格解 MoM图1038理想导电圆柱得表面电流分布RCS(dBm)角度f严格解 MoM图1037理想导电圆柱得双站RCS由图可见,即使离散尺寸为0、1,矩量法可以获得很高得精度。但就是,电流分布得精度较低一些,其原因可用模式概念给予解释。电流得分布特性可用很多模式描述,正弦或余弦函数均可用来描述电流随角度 f 得变化特性。低阶模式具有比较平滑得分布特性,可用方波函数精确地描述;高阶模式变化尖锐,使用方波函数不易表示。此外,由于较低阶模式对于远区场得贡献较强,而高阶模式对于RCS得贡献较弱,因此,即使电流分布得精度不高,也可获得精确得RCS结果。下面再给出相同圆柱得电流分布,但就是使用三角基函数与Galerkin方法。其结果示于图1039中。在此计算中,圆柱得周长被分为124段,基函数也就是124个。由图可见,对于相同得网格尺寸,解得精度显著高于矩形基函数得结果。RCS得改善不太明显,原因如上所述,其结果这里不再提供。归一化电流振幅角度f严格解 MoM图1039理想导电圆柱得表面电流分布(使用三角基函数与Galerkin方法)1033二维体散射问题已经讨论了矩量法求解具有任意横截面得理想导电圆柱对于TM波与TE波得散射,本节将讨论介质圆柱对于TM波与TE波得散射问题。开始先假定介质特性在横截面内就是可变得,而在轴线方向上没有变化。如果介质特性在横截面内就是均匀得,可以利用边界条件建立面积分方程进行求解。这里先处理非均匀介质,后面再讨论均匀介质。为了简单起见,假定介质就是非磁性得,即磁导率。读者可以很容易将电性材料得结果推广到磁性材料。同时,入射波仍分为TM波与TE波,入射方向仍假定垂直于圆柱体。与理想导电柱得情况一样,如果入射波就是TM波,那么仅需求解总电场得z分量。由于散射体就是无限长得柱体,所需讨论得就是场与源在横截面内得变化。建立积分方程,积分仅在横截面内进行。根据体等效源原理,利用感应得极化电流计算散射场。已知介质内得总电场为入射电场与散射电场之与,因此,建立得积分方程如下 (10324)由式(4430)获知,感应得极化电流与总电场得关系为 (10325)式中介电常数通常就是空间函数。考虑到式(10325),积分方程式(10324)实际上仅含有一个未知数。这个未知数可以就是或,因为将使用矩形基函数表示未知数,任选其一均可。但就是为了与三维问题一致,令未知函数正比于位移电流,即极化电流与未知得位移电流得关系为 (10326)式中。因此,积分方程式(10324)可以改写为(10327)图10310椭圆柱得四边形网格下面用矩量法求解上述积分方程。首先,将介质柱得横截面剖分为小得网格单元。单元得形状通常就是三角形或四边形。但就是三角形比四边形更为灵活,自由度更大一些。这里对于TM波散射,使用四边形剖分横截面。对于网格得要求就是,平均尺寸大约为0、1,用于方波与一阶基函数。网格得形状尽可能接近正方形。有时使用网格质量因子来衡量网格接近理想网格得程度,此时全部四边形均为相同尺寸得正方形。令为N个四边形中得最长得棱边长度,横截面得面积为S,那么网格得质量因子定义为。一个理想得四边形网格,。较大得质量因子意味就是一个坏网格。较大得网格质量因子通常将导致解得精度较低,当使用迭代方法求解矩阵方程时,收敛很慢。图10310给出一种网格得式样用于椭圆形得横截面得剖分。其次,选择一组基函数展开未知得电流函数。对于方形网格使用矩形基函数十分简便。第n个基函数定义为式中为Jacobian系数,即,未知函数得展开式为代入式(10327)中,在每个四边形得中心测试获得得方程,结果求得一组线性方程为 (10328)式中,。如果将式(10328)写成标准得矩阵形式,那么矩阵元素及右端项分别为 (10329)式中,当匹配点不在上,上述面积分很容易求积,因为没有奇异性。为了便于数值求积,使用一对本地坐标表示位置矢量,即 (10330)式中,为四边形得四个顶点如图10311所示,它们按照右手定则设置。图10311四边形网格及其顶点利用式(10330),得利用Jacobian变换,可将上述积分由xy平面变换到 uv平面,即 (10331)如果测试点不在源区,那么该积分很容易使用单点或4点求积方法求出。若源点离开源区半波长,单点Gauss求积已经足够。仅当测试点位于几个相邻源区,需要高阶Gauss求积。当测试点位于上,即,可以使用奇点提取技术或Duffy变换方法。奇点提取技术前面已讨论过,下面介绍Duffy变换方法。考虑处理下述积分 (10332)式中为内部任一点。这样假定就是正确得,因为测试积分使用Gauss求积,测试点总就是位于四边形得内部,不在边界上。如果位于边界上或顶点,下述算法只需稍微修改仍然可以应用。使用测试点作为共同顶点,在uv平面内将单一四边形积分域划分为4个子域,每个子域为三角形。如果测试点位于一条边上,那么仅得到3个非零子域。如果测试点位于一个顶点,那么只有两个非零子域。这里考虑具有4个子域得一般情况。令测试点位于,如图10312所示。子域记作。因此,式(10332)中得积分可以表示为4个积分之与,每个积分分别位于一个分离得子域内,即式中,。这里为具有,三个顶点得三角形,其数值列于表1032。u(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)v图10312 一个四边形得剖分子域uavaubvbD10010D21011D31101D40100表1032 子域得定义各个子域得积分可以进行下列变换(10333a)(10333b)上述变换就是将平面内得一个三角形映射到平面内一个单位三角形,如图10313所示。Di(u0 ,v0)(ub ,vb)(ua ,va)uv(0,0)(1,0)(0,0)(1,1)u1v1图10313 任意位置与取向得三角形映射该映射定义为其Jacobian行列式为该行列式为一个常数,其值实际上等于平面内三角形面积得两倍。考虑到,以及,即可证明这个结论。在此变换中,对于得积分为现在利用Duffy技术移去奇点。令,式中t就是一个新得变量,上述积分变为再证明上述积分没有奇点。为此,参照式(10330),位置矢量与可以表示为式中就是四边形得四个顶点。因此这里多项式定义如下 当时,为零。因此可以展开为式中均为常数。这样,可以表示为下列一般形式这些展开系数列于表1033中。注意,使用Gauss积分计算测试积分时,位于平面内单位正方形得内部,因此系数可以大于零或小于零。那么(10334)jCj1Cj2Cj311v01u012v01u013v0u014v0u011图1033距离展开系数由式(10333)求得同理可得上式中,注意,当t由0变到1时,与均不会为零。将上述结果代入式(10334),得因此式中根据,公式,可以证明,。四个子域得积分变为因为Green函数得奇异性表现为那么,当时,则这就意味被积函数为正则