必修一数学定义域-值域-解析式求法-例题-习题(含答案).doc

赛思教育 函数定义域，值域，解析式专题
函数的定义域
（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合
（2）求函数定义域的注意事项
☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零；
☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制
若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法
☉已知y=f（x）的定义域是A，求y=f（g（x））的定义域，可通过解关于g（x）∈A的不等式，求出x的范围
☉已知y=f（g（x））的定义域是A，求y=f（x）的定义域，可由x∈A，求g（x）的取值范围（即y=g（x）的值域）。
例1．函数 的定义域为 (　 　)
A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4]
【答案】D【解析】要使解析式有意义需满足：，即且
所以函数 的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D
例2．函数的定义域为( )
A. B. C. {1} D. {-1,1}
【答案】D【解析】函数可知: ,解得： .
函数的定义域为{-1,1}.故选D.
例3．已知函数的定义域为，函数定义域为__________.
【答案】【解析】由函数的的定义域为(−2,2)，得： ，
故函数f(x)的定义域是.
例4．若函数的定义域为,则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A函数的定义域是， ，解不等式组：，故选A.
例5．已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】解：由条件知： 的定义域是，则，
所以，得
例6．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）
A． B. C. D.
【答案】A 【解析】
例7．函数的定义域为___________．
【答案】【解析】要使函数有意义，则，即，即，故函数的定义域为，故答案为.

函数值域
定义：对于函数y=f（x），x∈A的值相对应的y值叫函数值，函数值得集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
（2）求函数值域的常用方法
☉观察法：通过解析式的简单变形和观察（数形结合），利用熟知的基本初等函数的值域，求出函数的值域。
☉配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y=ax2+bx+c(a=0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值得求法（可结合图像）。
☉换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。
☉分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域。y=ax+bcx+d型 y=ac+kcx+d 值域：{y|y≠ac}
☉判别式法：它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而容易出错。
☉充分利用函数的单调性，对单调性未知的，应该先判断其单调性。在通过定义域进行判断其函数取值范围。
注意：值域对基础函数、不等式、开方，绝对值等的要求较高，学生需要注意这些方面的掌握。
例1．函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D ，故函数的值域为，故选D.
例2．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】试题分析：函数对称轴为，当时，当时，所以结合二次函数图像可知的取值范围是
例3．函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】试题分析：由于，所以，故选B.
例4．函数的值域是_________.
【答案】 【解析】由 ，得 ，解之得 。
例5．已知,则f（x）的值域为________________
【答案】{y|y≠-1 }【解析】主要考查函数值域的求法。由==－1－，因为≠0，所以≠－1，故f（x）的值域为{y|y≠-1 }。
例6．求函数的值域。
【解析】思路分析：
1）题意分析：这是求分式型函数的值域，而且分子、分母是同次幂。
2）解题思路：分离出常数，使问题简化。
解：分离常数，得。
由，得，即有. 所以函数的值域是。
解题后的思考：该方法适用于分式型函数，且分子、分母是同次幂，这时可以通过多项式的除法，分离出常数，使问题简化。
例7 求函数的值域。
解 原式变形为 （*）
（1）当时，方程（*）无解；
（2）当时，∵，∴，解得。
由（1）、（2）得，此函数的值域为
例8 求函数的值域。
解 令，则t0，得，，
又0，， 故原函数的值域为
函数解析式的表达方式
☉待定系数法：若已知函数模型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法求解。
☉换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，但此时要注意换元法之后自变量的组织范围。
☉解方程组法:已知函数f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，外出现其他未知量，如f（-x），f（1x）等，必须根据已知等式（如用-x或者1x 替换x）再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求f（x）的解析式。
例1．已知是一次函数，且，，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 试题分析：设一次函数，依题意有，，联立方程组，解得，所以. 考点：待定系数法求解析式.
例2．已知是一次函数，且满足则
A. B. C. D.
【答案】A【解析】因为是一次函数，且满足则，选A
例3．已知，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】试题分析：设则代入已知可得函数的解析式为考点：函数的解析式
例4．若的解析式为 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B试题：令，则，所以=，故，选B.
练习题
1．函数f(x)=2+x-x2|x|-x的定义域是 ( )
A. {x|－1≤x≤2} B. {x|－1≤x<0或0<x≤2} C. {x|－1≤x<0} D. {x|0<x≤2}
【答案】C【解析】由题设可得x2-x-2≤0x<0⇒{x|-1≤x<0}，应选答案C。
2．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】试题分析：，解得：且，故选C.考点：函数的定义域
3．如果函数的值域为，则的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】函数的值域为,
而函数是把函数向左平移1个单位得到的,纵坐标不变,
的值域为.所以C选项是正确的.
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 (　　)
A.{－1,0,3}　　　　B.{0,1,2,3} C.{y|－1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
【答案】A【解析】把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x，即y＝0，－1,3.
5．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )
A．；B．；C．；D．无法确定
【答案】 B【解析】函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的
6．函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
；
7．已知，则的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】令,． ．
．故A正确．
点睛:在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
8．已知函数，则函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】试题分析:令，则，所以，即.故选A.考点：函数的解析式.
9．已知，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】试题分析：由题意得，设，则，所以，所以函数的解析式为，故选B．
考点：函数的解析式．
10．已知，则f(x)的表达式为
A． B． C． D．
【答案】A【解析】试题分析：设
考点：换元法求函数解析式
11．设函数，则下列关系中正确的是 （ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B【解析】
试题分析：函数是开口向上的抛物线，对称轴是，离对称轴越远，函数值越大，所以，故选B.考点：二次函数的单调性
12．若一次函数满足，则的解析式是
A. B.
C. D.或
【答案】B分析：
考点：函数求解析式
13．函数,若 ，则函数的解析式是（ ）
A. B.
C.或 D.
【答案】A【解析】试题分析：由函数解析式可知函数为增函数，所以
考点：函数求解析式
14．函数则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】试题分析：，，故选B.考点：复合函数
15．已知，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】试题分析：设则代入已知可得函数的解析式为
16．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝(　　)
A．x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．3x＋3
【答案】B 【解析】∵2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①
将①中x换为－x，则有 2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②
①×2＋②得3f(x)＝3x＋3， ∴f(x)＝x＋1.
考点：复合函数解析式求法
17．已知，则等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D【解析】试题分析：令，所以，因为所以。
考点：函数解析式的求法。
点评：用换元法求函数的解析式一定要注意新元的取值范围。
18．已知，则]的值为 （ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
【答案】C【解析】本题考查分段函数的概念.求分段函数的函数值，首先确定自变量在哪一段的自变量取值范围内，然后把自变量代入该段的对应关系式求出函数值。
故选C
19．若函数,则的值为( ▲ )
A. B. C. D.18
【答案】A【解析】故选A
20．设
（1）若的定义域为，求的范围；（2）若的值域为，求的范围.
【答案】(1) ；（2）.
【解析】试题分析：（1）讨论与，两种情况，使得恒成立，列出关于 的不等式，从而可得结果；（2）讨论与，两种情况， 能取到一切大于或等于0的实数，解不等式即可得结果.
试题解析：（1）由题知恒成立.
①当时， 不恒成立；
②当时，要满足题意必有，∴，
综上所述， 的范围为.
（2）由题知， 能取到一切大于或等于0的实数.
①当时， 可以取到一切大于或等于0的实数；
②当时，要满足题意必有，∴，综上所述， 的范围为.
21．已知二次函数f(x)=mx2+4x+1,且满足f(-1)=f(3).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的定义域为(-2,2],求f(x)的值域.
【答案】(1)f(x)=-2x2+4x+1. (2)f(x)在(-2,2]上的值域为(-15,3]
【解析】试题分析：(1)利用函数值相等，确定函数的对称轴，由此计算得到m的值，确定函数的解析式；(2)利用函数已知，定义域已知，直接求解函数的值域.
试题解析：(1)由f(-1)=f(3)可得该二次函数的对称轴为x=1,
即-42m=1从而得m=-2,
所以该二次函数的解析式为f(x)=-2x2+4x+1.
(2)由(1)可得f(x)=-2(x-1)2+3,
所以f(x)在(-2,2]上的值域为(-15,3].

22．函数y=－1-x2的定义域为_________；.最大值为________.
【答案】 [-1，1] 0
【解析】由1-x2≥0得x∈[-1，1],所以定义域为[-1，1]
∵1-x2∈[0,1]∴y∈[-1,0]∴最大值为0
23．函数的定义域是__________（用区间表示）．
【答案】【解析】需满足的条件为： ，
∴定义域为： 故答案为：
24．已知的定义域是，则的定义域是________．
【答案】
【解析】的定义域为， ， ，，则的定义域是.
25．函数的定义域为_____________.【答案】
【解析】要使函数有意义需满足得，则函数的定义域为，故答案为.
26．函数的值域是________．
【答案】(0,1)∪[−3,+∞)
【解析】①x>1时,f(x)= ；∴0<<1；即0<f(x)<1；
②x⩽1时,f(x)=−x−2；∴−x⩾−1；∴−x−2⩾−3；即f(x)⩾−3；
∴函数f(x)的值域为(0,1)∪[−3,+∞).
故答案为：(0,1)∪[−3,+∞).
27．函数y=-x2-2x+8的定义域为A，值域为B，则A∩B=____________.
【答案】[0,2]
【解析】A={x|-x2-2x+8≥0}=[-4,2],B={y|y=9-(x+1)2}=[0,3]
∴A∩B=[0,2]
28．函数y＝x－的值域是________________.
【答案】(-∞,12]
【解析】令t=1-2x(t≥0) ，则：x=1-t22 ，换元可得：f(t)=1-t22-t(t≥0) ，
结合二次函数的性质可得函数的值域为(-∞,12] .
.