人教版高一任意角和弧度制知识点.doc

1.1任意角和弧度制
例1、用集合表示：
　　（1）各象限的角组成的集合．　　（2）终边落在 轴右侧的角的集合．
解析：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝
第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝
第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝
（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 ．
说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
例2、在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2） ；（3） ．
解析：（1）∵
　　　　∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
　　（2）∵
　　　　∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
　　（3）
　　所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．
例3、利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。
o
R
S
证明： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
l
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单

任意角和弧度制（基础训练）
1、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
解析：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000　　　600+0×3600=600　　　600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是
-210+0×3600=-210　　　-210+1×3600=3390　　　　-210+2×3600=6990
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}　　S中适合-3600≤β<7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，　　　　363014，+（-1）×3600=3014，　　　363014，+0×3600=363014，
2、写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
解析：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }
（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }
同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }
3、 把化成弧度
解析： ∴
4、 把化成度
解析：
5、用弧度制表示：1°终边在轴上的角的集合 2°终边在轴上的角的集合 3°终边在坐标轴上的角的集合
解析：1°终边在轴上的角的集合
2°终边在轴上的角的集合
3°终边在坐标轴上的角的集合
6、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
解析： ⑴：
⑵： ∴
o
A
B
7、如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解析：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
8、计算
解析：∵ ∴

∴

任意角和弧度制（强化训练）
1．在半径为12 cm的扇形中, 其弧长为5 cm, 中心角为. 求的大小(用角度制表示)．
解析: 由条件可知= ， 故=×180=75
2．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）

（1） （2） （3）

解析：（1）
（2）
（3）
3．已知△ABC的三内角A、B、C既成等差数列又成等比数列，求cos2A+cos2B+cos2C的值．
解析：∵A、B、C成等差数列又成等比数列， ∴A=C=B
又A+B+C=π，∴A=B=C=，
∴cos2A+cos2B+cos2C=cos2+cos2+cos2=.
4．已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值．
解析：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S
∵c=2R+l，∴R= (l＜c)．
则S=Rl=×·l= (cl－l2)=－ (l2－cl)=－ (l－)2+，
∴当l=时，Smax=．
答：当扇形的弧长为时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是．
5．已知集合A={
求与A∩B中角终边相同角的集合S．
解析：．
6．单位圆上两个动点M、N，同时从P（1，0）点出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转弧度/秒，N点按顺时针转弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．
解析：设从P（1，0）出发，秒后M、N第三次相遇，则 ， 故=12（秒）．
故M走了（弧度），N走了（弧度）．

任意角和弧度制（提高训练）
1、将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解析：
R=45
60

2、求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解析：∵
∴
3、已知是第二象限角，且则的集合是 ．
答案：
解析：∵是第二象限角，∴，
∵∴，
当时，，当时，，
当为其它整数时，满足条件的角不存在．
4、已知=1690o，
(1)把表示成的形式，其中k∈Z，∈．
（2）求，使与的终边相同，且．
解析：（1）∵；∴．
（2）∵，且； ∴．
5、已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积．
解析：∵弧长，∴；于是 ．
6、△ABC三个顶点将其外接圆分成三段弧弧长之比为1∶2∶3，
求△ABC的外接圆半径与内切圆半径之比．
解析：三角形三个内角分别为：、、，斜边为外接圆直径．
∵三角形面积：，∴．