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四年级下期
第一讲 定义新运算
同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。
(1) 求4△3，3△4。
(2)这种运算有“交换律”吗？
(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。
(4)这种运算有“结合律”吗？
(5)如果已知5△b＝1，求b。
解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：
(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。
(2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。
(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。
17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。
(4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。
(5)因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。
通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。
例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？
解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。
因为3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。
例3 规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。
(1)求1＆100的值；
(2)已知x＆10＝75，求x。
解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)
＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1)
＝1＋2＋3＋…＋100
＝(1＋100)×100÷2
＝101×100÷2
＝5050。
(2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝75
10x＋(1＋2＋…＋9)＝75
10x＋45＝75
10x＝75－45
10x＝30
x＝30÷10
x＝3
例4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：
羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：
羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。
这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。
对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果：
羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。
解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)
＝羊△羊★羊△狼
＝羊★羊△狼
＝羊△狼
＝狼
练 习 一
1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。试计算：
(1)5△6； 6△5。
2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。
3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？
4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。
5．设a▽b＝a×b＋a－b，试求5▽8。
6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？
7．设a、b都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。求
(1)10△6； (2)7△(4△8)。
8．规定A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。
9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？
10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知82☉65＝31。计算：
(1)29☉57；(2)38☉(14☉23)。
11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算2000◇6。
12．如果“＋、－、×、÷、( )”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？
(1)8×7＝8；(2)7×7×7＝6；(3)(7＋8＋3)×9＝39；(4)3×3＝3。
第二讲 图形问题(一)
例1 有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16÷4＝4(厘米)，所以图中正方形B的面积是4×4＝16(平方厘米)，又因为阴影部分的面积是(80－16)÷2＝32(平方厘米)，所以原来的小正方形(正方形A)的边长是32÷4＝8(厘米)，面积是8×8＝64(平方厘米)。
A
B
例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。
解法一：图形的总面积是40×40＝1600(平方厘米)。每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20×20÷2＝200(平方厘米)，所以图中阴影部分的面积是1600－200×4＝800(平方厘米)。
解法二：仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40×40÷2＝800(平方厘米)。
例3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
解：图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2＝500(平方厘米)。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷4＝30(厘米)。在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图
这个新正方形的面积是30×30＝900(平方厘米)，所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900－500)÷2＝200(平方厘米)。
例4 如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少？
A B
D C
解：如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a＋1，左上角正方形的边长就是a＋1＋1，右上角正方形的边长就是a＋1＋1＋1。因为CD＝AB，所以a＋a＋(a＋1)＝(a＋1＋1)＋(a＋1＋1＋1)，即3×a＋1＝2×a＋5，于是a＝4。从而，CD＝a＋a＋(a＋1)＝13，AD＝(a＋1)＋(a＋1＋1)＝11。因此，矩形ABCD的面积是13×11＝143。
练 习 二
1．已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米？
甲
3 乙
15 8
2．把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？
3．一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？
4．下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大？
A
B
5．一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？
6．四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？
7．如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？
8．有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。 2
2
3
9．如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？
19
57 45
10．将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？
11．在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米？
12．如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？
第三讲 枚举与计数
例1 数列A：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 10, 11，……。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：1, 2，3, 4，5, 6，7, 8，9, 1，0, 1，1, 1，2，……。
(1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？
(2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？
(3)到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？
解：(1)数列A中，1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9＋180＋3＝192个数。
(2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100－9＝91，而91＝2×46－1，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是9＋46＝55，它的第一位（十位）数字是5。
(3)数列A中，55以前的数含有数字3的依次是3, 13, 23, 30, 31, 32，33, ……，39, 43, 53，所以数字3共出现16次。
答：(略)。
例2 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？所有这些两位数的和是多少？
解：当十位数字是1时，满足题意的两位数有8个；
当十位数字是2时，满足题意的两位数有7个；
……
当十位数字是8时，满足题意的两位数有1个；
共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)。
这些两位数的十位数字的和是8×1＋7×2＋6×3＋5×4＋4×5＋3×6＋2×7＋1×8＝120，个位数字的和是9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝240，所以这些两位数的和是10×120＋240＝1440。
答：个位数字大于十位数字的两位数共有36个，所有这些两位数的和是1440。
例3 有10个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
解：与某一小朋友不相邻的小朋友有7个，所以不相邻的小朋友有7×10＝70(对)，每对小朋友都重复算了一次，所以共有70÷2＝35(种)选法。
答：有35种不同的选法。
例4 在校级运动会上，运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。在区级运动会上，他们也是100米短跑的前三名。
(1)如果在区级运动会上，他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同，那么排名情况有多少种可能？
(2)如果在区级运动会上，他们的排名都与校级运动会的排名不同，那么排名情况有多少种可能？
解：(1)设A的排名不变，那么B排第三，C排第二，只有这1种情况。同理B、C的排名不变，也各有1种情况。因此，共有3种情况。
(2)如果排名情况都改变，A可能排第二或第三：当A排第二时，B排第三，C排第一，有1种情况；当A排第三时，B排第一，C排第二，也有1种情况。因此，排名均不同的可能性有2种。
答：(略)。
练 习 三
1．三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是114，那么这三个数中最小的是多少？
2．由数字卡片 5 、 7 、 2 、0 、 1 各一张能组成多少个不同的三位数？把这些数按照从小到大的顺序排列，第14个数是多少？
3．一个三位数，三个数字各不相同且不为0，如果三个数字之和为10，这样的三位数有个？
4．一个两位数的十位数字比个位数字大5。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来小多少？
5．编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字，这本书一共有多少页？
6．新华小学学生的总人数是一个三位数，平均每班有36人。统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。学生的总人数最多是多少人？最少是多少人。
7．一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始顺序报数，规定：报7的倍数时要拍一次手，报带7的数时要拍两次手，报既带7又是7的倍数时要拍三次手。则报到100时共拍了多少次手？
8。一只口袋里有5个小球，另一只口袋里有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同。
(1)从两只口袋里任意取出一个小球，有多少种不同的情况？
(2)从两只口袋里分别取出一个小球，有多少种不同的情况？
9．某地区有50个县城，每个县城都有3条公路通向别的县城，这些县城之间共有多少条公路？
10．如图，从B逐步往下走到A，有多少条不同的路线？
B
A
11．如图，小丽从家到学校可以有多少种不同的走法？
小丽家
学校
12．小明的爸爸买了6张电影票(如下图)，想和小张家一块去看电影。但因临时有事不能和小张同时出发，小明只好撕下3张连在一起的票给小张家送去。那么有多少种不同的撕法？
第四讲 推理与判断
例1 小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但是谁爱好哪项运动，在哪个学校读书还不清楚。只知道：
(1)小东不在一中；
(2)小兰不在二中；
(3)爱好排球的不在三中；
(4)爱好游泳的在一中；
(5)爱好游泳的不是小兰。
那么谁在一中？谁在二中？小兰爱好什么？
解：由(4)爱好游泳的在一中，由(1)这个人不是小东，由(5)这个人不是小兰，所以这个人是小英，即小英在一中。同时得知，小兰也不在一中，小兰只能在三中，进而得知小东在二中。由(3)爱好排球的在一中或二中，可是一中的小英已经爱好了游泳，所以爱好排球的是在二中的小东。还剩下小兰就只能爱好篮球了。
例2 小华同学做了三道习题，小明、小丽、小刚看完后分别说：“小华做对了第一题”，“小华第二题没有做对”，“小华第一题没有做对”。老师看完三道题后发现：小华只做对了一道题，而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。请判断小华做对的是哪道题？
解：假设小华做对了第一题，那么小明和小丽就都说对了，与题意不符；假设小华做对了第二题，那么小明和小丽就都说错了，只有小刚说对了，与题意相符；假如小华做对了第三题，那么小丽和小刚就都说对了，也与题意不符。所以小华做对了第二题。
例3 标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯，顺次排成一行，每盏灯装有一个开关。现在B、E、G开着，其余5盏灯关着，小明从灯A开始，循环逐个拉动8盏灯的开关，拉了2004次后，关着的灯是哪几盏？
解：因为2004÷8商250余4，从A开始拉动开关250次后，由于250的双数，所以B、E、G仍然开着，其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后，A、C、D变成开着的，B又灭了，所以最后关着的灯是B、F、H。
例4 购物单上某商品的单价是49.36元╱千克，总价是 7.28元，方框中的数看不清了。则购买此商品的数量至少是多少千克？
解：写成竖式进行推导。先考虑个位数：
4 9 3.6 4 9 3.6
× …… 3 × …… 8
1 4 8 0 8 3 9 4 8 8
…… ……
……7.2 8 ……7.2 8
进一步考虑十位数：
4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6
× …… 2 3 × …… 7 3 × …… 4 8 × ……9 8
1 4 8 0 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 3 9 4 8 8
9 8 7 2 3 4 5 5 2 1 9 7 4 4 4 4 2 4
…… …… …… 4 8 3 7.2 8
…… 7.2 8 …… 7.2 8 …… 7.2 8
所以至少购买98千克。
练 习 四
1．甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。乙说：我的对面是“南”；丙说：我在乙的左边；丁说：我的对面不是乙。甲坐在哪边？
2．甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛，获得前五名。他们的得分情况如下：
(1)丙比乙低，但比戊高；(2)甲比丁高，但比戊低；(3)乙比戊高。
这次歌咏比赛的第一名是谁？
3．甲、乙、丙三人中一位是工人，一位是农民，一位是教师。已知丙比教师的年龄大，甲与农民不同岁，农民比乙的年龄小。那么谁是教师？
4．甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。甲说：“我会开。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开。”三人的话只有一句是真话。会开车的是谁？
5．△、○、□代表三个数，并且
○＋○＝△＋△＋△
△＋△＋△＝□＋□＋□＋□
○＋△＋□＋□＝800
那么△、□、○各代表多少？
6．下图中的“？”应填多少？
23 13 ？
5 8 3 5 3 2 5 4 5
7．1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。赛后他们接受小记者的采访。1号说：“3号在我前面冲向终点。”另一个得第三名的运动员说：“1号不是第四名。”小裁判员说：“他们的号码与他们的名次都不相同。”则第一名是几号？第二名是几号？第三名是几号？
8．将99棋子放在两种型号的盒子中，每个大盒子中装12粒，每个小盒子中装5粒。已知盒子数大于10个，那么有多少个大盒子？多少个小盒子？
9．会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。那么，在小宇就座之前，这一排至少已坐了多少人？
10．某次数字竞赛有20道题，初始分为60分。规定：答对一题给5分，不答扣1分，答错一题扣3分。最后得分是奇数还是偶数？
11．“希”、“望”、“杯”、“赛”各代表不同的数字，请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字？
希 望
希 望 杯
＋ 希 望 杯 赛
2 0 0 5
12．下面是一个六位数乘一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，这个六位数是多少？
小 学 希 望 杯 赛
× 赛
9 9 9 9 9 9
第五讲 解决问题(一)
例1 祖父与父亲的年龄之差是孙子年龄的6倍，而孙子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁，孙子今年多少岁？
解：当用孙子与父亲的年龄之和与祖父相比时，祖父的年龄比这个和多出来的部分只有孙子的6－1＝5倍。所以孙子今年30÷5＝6(岁)。
答：孙子今年6岁。
例2 幼儿园分饼干，如果每人分3块，余14块；如果每人分4块，还有3个小朋友没分到。一共有多少个小朋友？有多少块饼干？
解：改变分法后，从余15块到缺4×3＝12(块)，一共要多分14＋12＝26(块)，这是因为每人多分4－3＝1(块)的缘故，所以一共有26÷1＝26(个)小朋友，有3×26＋14＝92(块)饼干。
答：一共有26个小朋友，92块饼干。
例3 运输公司为客户装运1600只瓷盘，每只运费1元，如果损坏一只，不但得不到运费，还要照价格的一半赔偿。若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘，并得到1540元。则瓷盘价格为每只多少元？
解：如果瓷盘没有损坏，运输公司将得到1×1600＝1600(元)，实际少得了1600－1540＝60(元)。损坏一只瓷盘运输公司少得60÷5＝12(元)，其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半，所以瓷盘的价格是(12－1)×2＝22(元)。
答：每只瓷盘22元。
例4 怀特海是英国数理逻辑学家，曾执教于剑桥大学和哈佛大学。下面是他给他的学生出的一道题：
A、B、C三人各有硬币若干枚。A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。这样，三人的硬币都是8枚。请问他们原来各有硬币多少枚？
解：用倒推法。
第三次调整后：A有8枚，B有8枚，C有8枚；
第二次调整后：A有8÷2＝4(枚)，B有8÷2＝4(枚)，C有8＋4＋4＝16(枚)；
第一次调整后：A有4÷2＝2(枚)，C有16÷2＝8(枚)，B有4＋2＋8＝14(枚)；
原来：B有14÷2＝7(枚)，C有8÷2＝4(枚)，A有2＋7＋4＝13(枚)。
答：原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。
练 习 五
1．有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。甲队原来有多少人？
2．在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了24道题，其中，答对的题数是答错的题数的2倍；第二试答了20道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。则这位同学在第二试答对了多少道题？
3．菜市场运来6筐萝卜，分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中3筐，小李承包了另外2筐。已知小王承包的萝卜质量是小李的2倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？
4．小光和小明，共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。已知，小光的纪念邮票是小明的5倍，小明的特种邮票是小光的3倍。小光的邮票比小明多多少张？
5．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个。苹果有多少个？小朋友共几组？
6．某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住5个人，还有4个人无法入住；每间安排6个人，最后一间还可以住2个人。那么预定了房间多少间？共有多少个人？
7．有三角形桌子和正方形桌子共13张，共有44条腿(桌子的每个角有一条腿)，则三角形桌子比正方形桌子多多少张？
8．一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得了92分，小华在此次比赛中答错了多少道题？
9．购买5元、8元和10元的公园门票共100张，用去748元，其中5元和8元的张数相同，则10元的门票共多少张？
10．小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分。两人各打10发，共得208分，小王比小李多得64分，小王打中多少发？小李打中多少发？
11．小明问老师今年多少岁，老师说：“我6年前的年龄和你6年后的相同，我3年后的年龄和你3年前的年龄之和是42岁。”老师今年多少岁？小明今年多少岁？
12．将786个桃子分成四堆，第一堆比第二堆多24个，比第三堆多16个，比第四堆多46个，那么第四堆有多少个？
第六讲 解决问题(二)
例1 10名同学的考试成绩按分数从高到低排列名次，前4名平均得92分，后6名的平均分数比10人的平均分数少8分，这10名同学的平均分数是多少分？
解：如果从前4名的总分中拿出6个8分补给后6名同学，那么前4名的平均分数也就和10个同学的平均分数同样多了，所以这10名同学的平均分是(92×4－8×6)÷4＝80(分)。
答：这10名同学的平均分是80分。
例2 一列以相同速度行驶的火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长的铁桥用了35秒，这列火车长多少米？
解：因为火车行驶一个车身的距离要9秒，而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度，所以火车行468米只需35－9＝26(秒)，每秒行驶468÷26＝18(米)，这列火车长18×9＝162(米)。
答：这列火车长162米。
例3 星期天，妈妈从超市买了4支“小梦龙”和3支“可爱多”冰淇淋，用去24元钱。妈妈对小丽说：“上星期天我买3支‘小梦龙’和5支‘可爱多’冰淇淋用去29元钱。”“小梦龙”和“可爱多”冰淇淋每支各多少钱？
解：把已条件整理成算式：
4支小梦龙＋3支可爱多＝24(元) (1)
3支小梦龙＋5支可爱多＝29(元) (2)
为了消去“小梦龙”，让(1)扩大3倍，(2)式扩大4倍，得：
12支小梦龙＋9支可爱多＝72(元) (3)
12支小梦龙＋20支可爱多＝116(元) (4)
(4)式－(3)式得：每支“可爱多”(116－72)÷(20－9)＝4(元)。再由(1)式得：每支“小梦龙”(24－4×3)÷4＝3(元)。
答：“小梦龙”每支3元，“可爱多”每支4元。
例4 要用1000元钱买23元、22元、21元的三种物品，三种物品都要买，而且不能剩钱，则最多可以买多少件？最少可以买多少件？
解：要想买的件数最多，就要尽量多买21元一件的，1000÷21＝47……13，说明可以47件21元的，还余13元，可以用这13元补到几件21元的物品上换成22元和23元的物品，所以最多可以买47件。要想买的件数最少，就要尽量多买23元一件的，1000÷23＝43……11，也就是说如果买44件就少23－11＝12(元)，可以买44件23元的，超出23－11＝12(元)，可以用几件23元的物品换21元和22元的物品，直到把超出的12元抵消，所以最少可以买44件。
答：最多可以买47件，最少可以买44件。
练 习 六
1．有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这样的方法计算了4次，分别得到4个数：26, 32, 40, 46，那么原来四个数的平均数是多少？
2．有6个数排成一行，它们的平均数是27。已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数是34。第4个数是多少？
3．甲筐苹果个数比乙筐多64个，从甲筐取出多少个苹果放入乙筐，可使乙筐苹果比甲筐多12个？
4．期末考试中，小强语文、数学、外语三门课的的平均成绩是92分，语文、外语两门课的平均成绩比数学低3分，语文比外语高2分。则外语多少分？
5．小光故意把成绩单上的两个分数涂掉了，让爸爸猜。已知数学比思想品德分数高，那么数学得了多少分？
科目 思想品德 语文 数学 体育 科学 艺术 平均
分数 88 81 79 76 87
6．为了支援西部，四一班班长小明和四二班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本，小光要了18本。回校后，小明补给小光28元。小明、小光各带了多少元？每本书多少元？
7．三个工厂拿出相同的资金买煤，结果甲厂比乙厂多要了15吨，丙厂比乙厂多要了15吨，因此甲厂和丙厂各付给乙厂3000元，每吨煤多少元？
8．空间站上的5位宇航员轮流值班和休息，值班岗位有2个。在60小时里，平均每个宇航员休息了几小时？
9．小明沿着长为100米的桥面步行。当他走到桥头时，一辆迎面驶来的火车车头也恰好到达桥头。100秒钟后，小明走到桥尾，火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通达这座桥大约用了多少时间？
10．两列相向而行的火车恰好在某站相遇。如果甲列车长225米，每秒行25米，乙列车每秒行20米，甲、乙两列车错车时间是9秒。求：
(1)乙列火车长多少米？
(2)坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？
11．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟可追上乙。求甲的速度。
12．小明去相距9千米远的同学家，已知他步行的速度是每小时3千米，他每走50分钟要休息10分钟，他想在中午12：00之前赶到同学家，则他最晚要在上午几时几分出发？
第七讲 综合练习(一)
1．如果a△b＝3a－2b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(7*3)△6＝？
2．一个两位数的十位数字比个位数字小6。现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来大多少？
3．有10个盒子和45个乒乓球，能否把这45个乒乓球放入这10个盒子中，使任意两个盒子中的乒乓球数都不相同？
4．10．公园里有一个正方形花坛，在花坛四周有一条2米宽的小路。如果这一圈小路的面积是64平方米，那么花坛(阴影部分)的面积是多少平方米？
5．一个长方形的宽去掉3厘米而长不变，其面积比原来减少30平方厘米；如果长增加6厘米，而宽不变，其面积比原来增加42平方厘米。那么原长方形的面积是多少平方厘米？
6．个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
7．某次会议有30人参加，如果见面时每两人都要握一次手，那么这些人总共要握手多少次？
8．幼儿园分饼干，如果每人分3块，那么余10块；如果每人分4块，那么还有2个小朋友没分到。一共有多少块饼干？
9．甲、乙、丙三个好朋友都喜欢集邮。如果甲把自己的邮票给乙、丙一些，使他们的邮票各增加一倍；乙再把自己的邮票给甲、丙一些，使他们的邮票各增加一倍；丙再把自己的邮票给甲、乙一些，使他们的邮票各增加一倍。这样一样，三个人的邮票正好都是80枚。原来甲有邮票多少枚？
10．一列以匀速行驶的火车，经过一根电线杆用了10秒，通过一座600米长的铁桥用了40秒，这列火车全长多少米？
11．10名同学的考试成绩(满分为100分)按分数排列名次，前5名平均得90分，后5名的平均分数比10人的平均分数少6分，这10名同学的平均分数是多少分？
12．1999年12月澳门回到了伟大祖国的怀抱。在下面的算式中，“庆”、“澳”、“门”、“归”四个汉字各代表一个数字，那么“庆”是 、“澳”是 、“门”是 、“归”是 。
澳 门
澳 门 归
＋ 庆 澳 门 归
1 9 9 9
第八讲 等差数列
上学期我们已经对等差数列有了一些初步的了解。比如，等差数列 a1，a2，a3，…，an 的和Sn＝(a1＋an)×n÷2；如果公差是d，那么从ap到aq共有(aq－ap)÷d＋1项等。
这一讲我们就来研究一些有关等差数列的比较复杂的问题。
例 1 从1，2，3，…，100这100个数中，每次取两个数，使其和大于100，共有多少种取法？
解：较小数取1时，较大数可以取100，共1种取法；
较小数取2时，较大数可以取99、100，共2种取法；
较小数取3时，较大数可以取98、99、100，共3种取法；
……
较小数取50时，较大数可以取51、52、……、100，共50种取法；
较小数取51时，较大数可以取52、53、……、100，共49种取法；
较小数取52时，较大数可以取53、54、……、100，共48种取法；
……
较小数取99时，较大数可以取100，共1种取法。
总共有(1＋2＋3＋…＋49)×2＋50＝(1＋49)×49÷2×2＋50＝2500(种)取法。
例2 计算：(101＋103＋…＋399)－(91＋93＋…＋389)。
解：第一个等差数列共有(399－101)÷2＋1＝150项，第二个等差数列共有(389－91)÷2＋1＝150项。
方法一：原式＝(101＋399)×150÷2－(91＋389)×150÷2＝1500。
方法二：原式＝(101－91)＋(103－93)＋…＋(399－389)＝10×150＝1500。
例 3 计算：1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。
解法一：观察发现：由于减数“998、995、……、104、101”的存在，使得加数失去了连续性，不能运用等差数列的求和公式。为了解决这个问题，添上所缺的加数“998、995、……、104、101”，同时把原有的减数扩大2倍，因为一共有(1000－101)＋1＝900个加数，(998－101)÷3＋1＝300个减数，于是：
原式＝(1000＋999＋998＋…＋102＋101)－(998＋995＋992＋104＋101)×2＝(1000＋101)×900÷2－(998＋101)×300÷2×2＝165750。
解法二：先对减号两边的进行计算，一共得到300个1，同时，原有的900个加数减少到300个(参看解法一)于是：
原式＝1000＋1＋997＋1＋…＋106＋1＋103＋1＝(1000＋103)×300÷2＋1×300＝165750。
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