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微元法在高考物理中的应用
河南省信阳高级中学 陈庆威 2013.10.06
微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I）第25题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。
很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。
一、从真题中练方法
例题1.（2013全国课标卷I）
如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
m
θ
L
B
C
⑴电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。
【答案】⑴Q=CBLv ⑵
【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为
①
平行板电容器两极板之间的电势差为
②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有
③
联立①②③式得
④
（2）设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为
⑤
设在时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有
⑥
也是平行板电容器极板在时间间隔内增加的电荷量，由④式得
⑦
式中，为金属棒的速度变化量，按定义有
⑧
金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为
⑨
式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有
⑩
金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有
⑾
联立⑤至⑾式得
⑿
由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。T时刻金属棒的速度大小为
⒀
例题2.（2007•江苏）
如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：
（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；
（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；
（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n．

解：（1）线框ＭＮ边刚进入磁场时，感应电动势 ，感应电流 ，受到安培力的大小 Ｆ=
（2）水平方向速度为0，
（3）用“微元法”解
线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势 ，感应电流 ，受到安培力的大小 Ｆ=，得，
在时间内，由牛顿定律：
求和，,
解得 ，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n=，取整数为4。
例题3.（2008•江苏）
如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直． （设重力加速度为g）
（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动△Ek．
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．

解：⑴因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒得
①
⑵设导体棒刚进入无磁场区时的速度为,刚离开无磁场区时的速度为,即导体棒刚进入磁场区时的速度为,刚离开磁场区时的速度为，由能量守恒得：
在磁场区域有： ②
在无磁场区域： ③
解得：
⑶用微元法
设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为，
在无磁场区域有： ④
且平均速度： ⑤
在有磁场区域，对a棒：
且：
解得: ⑥
因为速度是变量，用微元法
根据牛顿第二定律, 在一段很短的时间内

则有
因为导体棒刚进入磁场区时的速度为,刚离开磁场区时的速度为, 所以, ，
所以： ⑦
联立④⑤⑦式,得
（原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程：
④代入⑦得：， ⑧
⑧代入⑤得： ⑨
⑦+⑨得：。）
a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等, 所以a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于．所以
。
（注意：由于a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。）
例题4.（2009•江苏）
如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为。条形匀强磁场的宽度为，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置。总质量为，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为（），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为。求：
1) 装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；
2) 线框第一次穿越磁场区域所需的时间；
3) 经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离。

【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W
由动能定理
且
解得
（1） 设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动
由动能定理
装置在磁场中运动的合力

感应电动势
感应电流
安培力
由牛顿第二定律，在到时间内，有
则=
有
解得
（2） 经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离之间往复运动，
由动能定理
解得。

二、 在强化训练中提升能力
1.（2004哈尔滨）如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：
（1）、ab、cd棒的最终速度；
（2）、全过程中感应电流产生的焦耳热。
2.(1999上海）如图所示，长电阻r＝0.3Ω、m＝0.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨间距也是L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，量程为0～3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0～1.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面。现以向右恒定外力F使金属棒右移。当金属棒以v＝2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏。问：⑴此满偏的电表是哪个表？说明理由。⑵拉动金属棒的外力F多大？（3）此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上。求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。
3.（2004广州）如图所示，金属棒ab质量m＝5g，放在相距L＝1m、处于同一水平面上的两根光滑平行金属导轨最右端，导轨距地高h＝0.8m，电容器电容C＝400μF，电源电动势E＝16V，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中。单刀双掷开关S先打向1，稳定后再打向2，金属棒因安培力的作用被水平抛出，落到距轨道末端水平距离x＝6.4cm的地面上；空气阻力忽略不计，取g＝10m/s2.求金属棒ab抛出后电容器两端电压有多高？
x
C
E
K
h
2
1

4.（南京2010三模）如图所示，两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成，导轨间距，倾角θ=45°，水平部分处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN与导轨垂直。金属棒质量，电阻，金属棒质量，电阻，导轨电阻不计，两棒与导轨间动摩擦因数。开始时，棒放在斜导轨上，与水平导轨高度差，棒放在水平轨上，距MN距离为。两棒均与导轨垂直，现将棒由静止释放，取。求：
（1）棒运动到MN处的速度大小；（2）棒运动的最大加速度；
（3）若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒距离MN的最小距离。
N
c
h
M
b
d
a
S000

5. （2010模拟）如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨 MN、PQ 平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜 面上，两导轨间距 L＝1m，导轨的电阻可忽略。M、P 两点间接有阻值为 R 的电阻。一 根质量 m＝1kg、电阻 r＝0.2?的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上，与导轨垂直且接触良 好。整套装置处于磁感应强度 B＝0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示 位置起，杆 ab 受到大小为 F＝0.5v＋2（式中 v 为杆 ab 运动的速度，力 F 的单位为 N） 、 方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻 R 的电流随时 间均匀增大。g 取 10m/s2，sin37°＝0.6。
⑴试判断金属37°
F
R
B
杆 ab 在匀强磁场中做何种运动，并请写出推理过程；
⑵求电阻 R 的阻值；
（3）求金属杆下滑1m所需的时间t以及此过程产生的焦耳热。
6.（2012虹口二模）如图（甲）所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个阻值为2Ω的定值电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd的电阻r=2Ω，导轨电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。若棒以1m/s的初速度向右运动，同时对棒施加水平向右的拉力F作用，并保持拉力的功率恒为4W，从此时开始计时，经过一定时间t金属棒的速度稳定不变，电阻R中产生的电热为3.2J，图（乙）为安培力与时间的关系图像。试求：
（1）金属棒的最大速度；（2）金属棒速度为2m/s时的加速度；
（3）此过程对应的时间t；（4）估算0～3s内通过电阻R的电量。
F安/N
t/s
1.0
2.0
3.0
0.5
1.0
0
图（乙）

R
M
N
P
Q
c
d
F
图（甲）

参考答案
1.解析：（1）由动能定理：（*此题动量不守恒）
ab与cd匀速运动，则它们不受安培力作用，回路感应电动势为零，
E1=BL1v1，E2=BL2v2，则v2=3v1
ab与cd组成的系统受到安培力合力不为零，F1=3F2，动量不守恒，
用动量定理：ΣF1Δt=m（v-v1），ΣF2Δt=mv2，

（2）系统能量守恒
2.解析（1）U=I（R+r），当U=1V时，I=1.25A，所以电压表先满偏。
（2） ，因为E=BLv，所以BL=0.8,,
（3） 用动量定理，ΣFΔt=ΣBILΔt=mv，BLΣIΔt=mv，BLQ=mv，
3.解析：下落时间，，
根据动量定理，ΣFΔt=ΣBIlΔt=mv，BlΣIΔt=mv，BlQ=mv，
,
4.解析：（1）,
(2) ab刚进入磁场时,感应电流最大,加速度最大

(3) ab和cd组成的系统受到合外力为零,动量守恒,最后稳定下来,具有共同的速度.
,,设ab和cd的瞬时速度分别为v1和v2,
感应电动势为
方法一:,
,两边求和:
即
方法二:对ab运用动量定理,,即,

5.解析：（1）通过R的电流，因为I随时间均匀增大，所以v随时间均匀增大，导体棒做匀加速直线运动。
（2） 合外力是恒力，
所以R=0.3Ω，F合=8N，
（3） a=8m/s2,,

6.解析：（1）金属棒的速度最大时，安培力也最大,为1N,拉力等于安培力,
, 或 ，，
（2）, ,,
（3）在此过程中，由动能定理得：
,
安培力做功全部转化为焦耳热,W安=-(QR+Qr)= -2QR =-2×3.2J=-6.4J
解出
（4）图线与横轴之间共有个小方格，
相应的“面积”为131.5×0.2×0.1N·s=2.63 N·s，即=2.63 N·s
故
15