2020年四川省中考数学诊断性考试试题(含答案解析).doc

2020年四川省中考数学诊断性考试试题
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分
1．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA＝，则AC的长为（　　）

A．5 B．8 C．12 D．13
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
4．（3分）如图，双曲线y＝的一个分支为（　　）

A．① B．② C．③ D．④

5．（3分）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（　　）
A．3 B．12 C．18 D．27
6．（3分）如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC为（　　）

A．2 B． C． D．5
8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO．若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°
10．（3分）已知y关于x的函数表达式是y＝ax2﹣4x﹣a，下列结论不正确的是（　　）
A．若a＝﹣1，函数的最大值是5
B．若a＝1，当x≥2时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点A，O，B都在格点上，则tan∠AOB＝　 　．

12．（4分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为　 　．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则△OMN的面积为　 　．

14．（4分）如图，BA，BC是⊙O的两条弦，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交⊙O于点D；连接OD，OC．若∠COD＝70°，则∠ABD等于　 　．

三、解答题（共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1+﹣6sin45°﹣|3﹣|
（2）解方程：x（x﹣3）+2x﹣6＝0
16．（6分）为全面贯彻党的教育方针，坚持“健康第一”的教育理念，促进学生健康成长，提高体质健康水平，成都市调整体育中考实施方案：分值增加至60，男1000米（女800米）必考，足球、篮球、排球“三选一”…，从2019年秋季新入学的七年级起开始实施．某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）求参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图；
（2）若该中学七年级共有400名学生，请你估计该中学七年级学生中喜爱篮求运动的学生有多少名？
（3）若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
17．（8分）近日，国产航母山东舰成为了新晋网红，作为我国本世纪建造的第一艘真正意义上的国产航母，承载了我们太多期盼，促使我国在伟大复兴路上加速前行．如图，山东舰在一次测试中，巡航到海岛A北偏东60°方向P处，发现在海岛A正东方向有一可疑船只B正沿BA方向行驶．山东舰经测量得出：可疑船只在P处南偏东45°方向，距P处50海里．山东舰立即从P沿南偏西30°方向驶岀，刚好在C处成功拦截可疑船只．求被拦截时，可疑船只距海岛A还有多少海里？（≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1海里）

18．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．

19．（10分）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．
（1）求直线EF的解析式；
（2）求四边形BEOF的面积；
（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

20．（10分）如图1，△ABD内接于⊙O，AD是直径，∠BAD的平分线交BD于H，交⊙O于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E，

（1）求证：AE＝AD；
（2）若＝，求的值；
（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若AH＝HC，AF＝6，求△BEC的面积．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）B卷（50分）
21．（4分）若a，b是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根，则＝　 　．
22．（4分）光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率n＝（α代表入射角，β代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得BC＝7cm，BF＝12cm，DF＝16cm，则光线从空气射入水中的折射率n等于　 　．

23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为　 　．

24．（4分）如图，已知△ABC中，CA＝CB＝4，∠C＝45°，D是线段AC上一点（不与A，C重合），连接BD，将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F．若△BEF是直角三角形，则AF的长为　 　．

25．（4分）如图，在▱ABCD中，BC＝6，对角线BD＝10，tan∠DBC＝，点E是线段BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得∠DFE＝∠DBC，连接CF，则△DCF周长的最小值为　 　．

二、解答题（共3个小题，满分30分）
26．（8分）非洲猪瘟疫情发生以来，猪肉市场供应阶段性偏紧和猪价大幅波动时有发生．为稳定生猪生产，促进转型升级，增强猪肉供应保障能力，国务院办公厅于2019年9月印发了《关于稳定生猪生产促进转型升级的意见》．某生猪饲养场积极响应国家号召，努力提高生产经营管理水平，稳步扩大养殖规模，增加猪肉供应量．该饲养场2019年每月生猪产量y（吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出当0＜x≤4（x为整数）和4＜x≤12（x为整数）时，y与x的函数关系式；
（2）若该饲养场生猪利润p（万元/吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）满足关系式：p＝﹣x+．请问：该饲养场哪个月的利润最大？最大利润是多少？

27．（10分）如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．
（1）求证：∠BAP＝∠BGN；
（2）若AB＝6，BC＝8，求；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分
1．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．
【解答】解：A、主视图是矩形，故A不符合题意；
B、C、主视图是正方形，故B、C不符合题意；
D、主视图是三角形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形．
2．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA＝，则AC的长为（　　）

A．5 B．8 C．12 D．13
【分析】根据余弦的意义，直接计算即可．
【解答】解：∵cosA＝，即＝，AB＝13，
∴AC＝AB•cosA＝5，
故选：A．
【点评】考查直角三角形的边角关系，掌握锐角三角函数的意义是正确解答的关键．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．
4．（3分）如图，双曲线y＝的一个分支为（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【分析】此题可直接根据反比例函数的图象性质作答．
【解答】解：∵在y＝中，k＝6＞0，
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当x＝2时，y＝3，排除③；
所以应该是④．
故选：D．
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
5．（3分）在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（　　）
A．3 B．12 C．18 D．27
【分析】设黑球的个数为x个，根据概率公式列出方程，求出x的值即可得出答案．
【解答】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝18，
经检验x＝18是方程的解，
答：黑球的个数为18；
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（3分）如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据垂径定理的推论可得，MN所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
【解答】解：如图所示，
根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．

故选：B．
【点评】此题主要考查垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC为（　　）

A．2 B． C． D．5
【分析】如图，作BE⊥AC于E．设EC＝DE＝x，则有：BE2＝AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，作BE⊥AC于E．

∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴EC＝DE，设EC＝DE＝x，
则有：BE2＝AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，
∴62﹣（6﹣x）2＝42﹣x2，
解得x＝，
∴CD＝2EC＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】把各点分别代入反比例函数y＝求出y1、y2、，y3的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣1；y2＝＝﹣3；y3＝＝3，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO．若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°
【分析】欲求∠OAD的度数，只需证得AO⊥BD即可，即点O是菱形ABCD对角线的交点；如图，连接EC，AF，构造全等三角形△EBC≌△FDA，则EC＝AF，结合已知条件AE＝CF可以判定四边形AECF是平行四边形，则其对角线互相平分，即EF与AO平分，点O是菱形ABCD对角线的交点，所以AO⊥BD，由直角三角形的两锐角互余性质解答．
【解答】解：如图，连接EC，OC，AF．
在菱形ABCD中，∠EBC＝∠ADF，∠ADB＝∠DBC＝25°，AB＝CD，BC＝DA．
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF．
在△EBC与△FDA中，
．
∴△EBC≌△FDA（SAS）
∴EC＝AF．
又AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EF与AC平分，
∴在菱形ABCD中，AO⊥BD，
∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证点O是菱形ABCD对角线的交点．
10．（3分）已知y关于x的函数表达式是y＝ax2﹣4x﹣a，下列结论不正确的是（　　）
A．若a＝﹣1，函数的最大值是5
B．若a＝1，当x≥2时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4x﹣a，
∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，则当x＝2时，函数取得最大值，此时y＝5，故选项A不符合题意；
当a＝﹣1时，该函数图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，则当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
由y＝ax2﹣4x﹣a＝a（x2﹣1）﹣4x知，x2﹣1＝0时，x＝±1，则y＝±4，即无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，±4），故选项C不符合题意；
当a＝0，函数为y＝﹣4x，图象与x轴都只有1个交点，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点A，O，B都在格点上，则tan∠AOB＝　2　．

【分析】利用格点构造直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，取格点E，连接AE，OE．

在Rt△AEO中，tan∠AOB＝＝＝2，
故答案为2．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题．
12．（4分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为　k≥　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：根据题意得，△＝（2k+1）2﹣4k2
＝4k+1≥0，
∴k≥，
故答案为：k≥
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
13．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则△OMN的面积为　　．

【分析】利用相似三角形的性质求出△OMN的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝12，
∵OA＝OC＝OB＝OD，
∴S△OBC＝S矩形ABCD＝3，
∵OM＝MB，ON＝NC，
MN∥BC，MN＝BC
∴△OMN∽△OBC，
∴＝（）2＝，
∴S△OMN＝，
故答案为．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（4分）如图，BA，BC是⊙O的两条弦，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交⊙O于点D；连接OD，OC．若∠COD＝70°，则∠ABD等于　35°　．

【分析】先根据圆周角定理得到∠CBD＝∠COD＝35°，再利用基本作图得到BD平分∠ABC，从而得到∠ABD的度数．
【解答】解：∠CBD＝∠COD＝×70°＝35°，
由作法得BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝35°．
故答案为35°．
【点评】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三、解答题（共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算：（﹣）﹣1+﹣6sin45°﹣|3﹣|
（2）解方程：x（x﹣3）+2x﹣6＝0
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+2﹣6×﹣3+
＝﹣3+2﹣3﹣3+
＝﹣6；

（2）∵x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或x+2＝0，
解得x＝3或x＝﹣2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．（6分）为全面贯彻党的教育方针，坚持“健康第一”的教育理念，促进学生健康成长，提高体质健康水平，成都市调整体育中考实施方案：分值增加至60，男1000米（女800米）必考，足球、篮球、排球“三选一”…，从2019年秋季新入学的七年级起开始实施．某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如下两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）求参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图；
（2）若该中学七年级共有400名学生，请你估计该中学七年级学生中喜爱篮求运动的学生有多少名？
（3）若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）首先求出总人数，进而可求出喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图即可；
（2）由总人数乘以喜爱篮求运动的学生的百分数即可得解；
（3）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意可知调查的总人数＝12÷20%＝60（人），
所以喜爱排球运动的学生人数＝60×35%＝21（人）
补全条形图如图所示：

（2）∵该中学七年级共有400名学生，
∴该中学七年级学生中喜爱篮求运动的学生有400×（1﹣35%﹣20%）＝180名；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
17．（8分）近日，国产航母山东舰成为了新晋网红，作为我国本世纪建造的第一艘真正意义上的国产航母，承载了我们太多期盼，促使我国在伟大复兴路上加速前行．如图，山东舰在一次测试中，巡航到海岛A北偏东60°方向P处，发现在海岛A正东方向有一可疑船只B正沿BA方向行驶．山东舰经测量得出：可疑船只在P处南偏东45°方向，距P处50海里．山东舰立即从P沿南偏西30°方向驶岀，刚好在C处成功拦截可疑船只．求被拦截时，可疑船只距海岛A还有多少海里？（≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1海里）

【分析】作PD⊥AB于点D，由题意知，∠BPD＝45°，∠CPD＝30°，∠PAC＝30°，PB＝50，在Rt△BPD中，PD＝BD＝PBsin∠BPD＝50，在Rt△CPD中，由cos∠CPD＝知PC＝＝，再证∠PAC＝∠APC＝30°得AC＝PC＝．
【解答】解：如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，

由题意知，∠BPD＝45°，∠CPD＝30°，∠PAC＝30°，PB＝50，
在Rt△BPD中，PD＝BD＝PBsin∠BPD＝50×＝50，
在Rt△CPD中，∵cos∠CPD＝，
∴PC＝＝＝，
∵∠PCD＝60°、∠PAC＝30°，
∴∠PAC＝∠APC＝30°，
∴AC＝PC＝≈57.7（海里），
答：被拦截时，可疑船只距海岛A还有57.7海里．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（8分）在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，
AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
19．（10分）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y＝（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．
（1）求直线EF的解析式；
（2）求四边形BEOF的面积；
（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）分别求出点E，点F坐标，由待定系数法可求解析式；
（2）由反比例函数图象的点的坐标特征可求△AOE，△OCF的面积，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，
∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，
∵点E，点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴点E（1，1），点F（2，），
设直线EF的解析式的解析式为：y＝kx+b，
∴
∴
∴直线EF的解析式的解析式为：y＝﹣x+；
（2）∵四边形BEOF的面积＝S四边形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF，
∴四边形BEOF的面积＝2﹣﹣＝1；
（3）∵点E（1，1），
∴OE＝，
若OE＝OP＝，则点P（0，）或（0，﹣），
若OE＝EP，且AE⊥AO，
∴OA＝AP＝1，
∴点P（0，2）
若OP＝PE，
∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），
综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20．（10分）如图1，△ABD内接于⊙O，AD是直径，∠BAD的平分线交BD于H，交⊙O于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E，

（1）求证：AE＝AD；
（2）若＝，求的值；
（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若AH＝HC，AF＝6，求△BEC的面积．
【分析】（1）AD是直径，则∠ACD＝90°，即AC⊥ED，即可求解；
（2）＝，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，BD是∠BAD的平分线，则，故OC∥AB，则OC是△ADE的中位线，则OG＝AB＝a，OC＝AD＝，则CG＝OC﹣OG＝，CG∥AB，则＝；
（3）△AHB≌△CHG（AAS），则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，AB∥CO，则，即，解得：m＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，即AC⊥ED，
BD是∠BAD的平分线，
故AE＝AD；

（2）＝，则设BE＝3a，AB＝2a，AD＝AE＝5a，
O交BD于点G，

BD是∠BAD的平分线，则，
则OC⊥BD，
故OC∥AB，则OC是△ADE的中位线，
则OG＝AB＝a，OC＝AD＝，
则CG＝OC﹣OG＝，
∵CG∥AB，则＝；

（3）设：OG＝m，则AB＝2m，

当AH＝HC时，由（2）知，△AHB≌△CHG（AAS），
则AB＝CG＝2m，则OC＝3m，即圆的半径为3m，
∵AB∥CO，则，即，
解得：m＝1，
故AB＝2，AD＝6，BE＝4，
则BD＝＝4，
∵EC＝DC，
则△BEC的面积＝S△EBD＝×BE×BD＝×4×4＝4．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）B卷（50分）
21．（4分）若a，b是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根，则＝　2　．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝2，ab＝1，再根据＝，然后代值计算即可得出答案．
【解答】解：a，b是一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根，
∴a+b＝2，ab＝1，
∴＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
22．（4分）光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率n＝（α代表入射角，β代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得BC＝7cm，BF＝12cm，DF＝16cm，则光线从空气射入水中的折射率n等于　　．

【分析】过D作DG⊥AB于G，过P作PH⊥DG于H，则四边形BFDG是矩形，求得DG＝BF＝12，BG＝DF＝16，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过P作PH⊥DG于H，
则四边形BFDG是矩形，
∴DG＝BF＝12，BG＝DF＝16，
∴∠BDG＝∠PDH＝α，∠CDG＝β，
∵BC＝7，
∴CG＝9，
∴CD＝＝＝15，BD＝＝＝20，
∴折射率n＝＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为　4　．

【分析】根据正方形的面积可求出正方形的边长，在根据CE＝DE，可得DE：AD＝1：2＝OE：OC，进而求出OC、OE，再根据中点可求出DF、OF，确定点D的坐标，确定k的值．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为20，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝＝2，
∴CE＝DE＝，
∵∠COE＝∠ADE＝90°，∠CEO＝∠AED，
∴△COE∽ADE，
∴＝＝，即，＝＝，
∴＝，
∵CE＝，
∴OE＝1，OC＝2，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵CE＝DE，
∴OF＝OC＝2，DF＝2OE＝2，
∴D（2，2）代入反比例函数关系式得，k＝2×2＝4，
故答案为：4．

【点评】考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质等知识，求出点D的坐标是解决问题的关键．
24．（4分）如图，已知△ABC中，CA＝CB＝4，∠C＝45°，D是线段AC上一点（不与A，C重合），连接BD，将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F．若△BEF是直角三角形，则AF的长为　4或4﹣4　．

【分析】如图1，当∠EBF＝90°时，根据折叠的性质得到∠EBA＝∠DBA＝45°，推出点F在以C为圆心，AC为半径的圆上，连接CF，根据等腰直角三角形的性质得到结论；如图2，当∠BEF＝90°，根据折叠的性质得到∠BDA＝∠BEA＝90°，∠EAB＝∠DAB＝67.5°，推出△ADF和△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CA＝CB＝4，∠C＝45°，
∴∠CAB＝∠CBA＝67.5°，
如图1，当∠EBF＝90°时，
∵将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，
∴∠EBA＝∠DBA＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AFB＝90°﹣∠E＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴点F在以C为圆心，AC为半径的圆上，
连接CF，
∴∠ACF＝2∠ABF＝90°，
∴AC＝CF＝4，
∴AF＝AC＝4；
如图2，当∠BEF＝90°，
∵将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，
∴∠BDA＝∠BEA＝90°，∠EAB＝∠DAB＝67.5°，
∴∠FAD＝45°，
∴∠FAD＝∠C＝45°，
∴AF∥BC，△ADF和△BDC是等腰直角三角形，
∴CD＝BC＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2，
∴AF＝AD＝4﹣4，
综上所述，若△BEF是直角三角形，则AF的长为4或4﹣4，
故答案为：4或4﹣4．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
25．（4分）如图，在▱ABCD中，BC＝6，对角线BD＝10，tan∠DBC＝，点E是线段BC上的动点，连接DE，过点D作DP⊥DE，在射线DP上取点F，使得∠DFE＝∠DBC，连接CF，则△DCF周长的最小值为　2+10　．

【分析】过D点作DN⊥BC，交BC于点N，过点F作FM⊥AD，交延长线与点M，作C点关于直线MF的对称点C'，连接CD与MF交点即为F；由已知可求CD＝2，CN＝2，易证明△BDN≌△DNM（AAS），则可求DM＝BN＝4，NC＝6，在Rt△DC'N中，C'D＝10，所以△DCF周长的最小值为2+10．
【解答】解：过D点作DN⊥BC，交BC于点N，过点F作FM⊥AD，交延长线与点M，
作C点关于直线MF的对称点C'，连接CD与MF交点即为F；
∵tan∠DBC＝，BD＝10，
∴DN＝2，BN＝4，
∵BC＝6，
∴CN＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝C'F，
∴△DCF周长＝CD+DF+CF＝2+DC'，此时周长最小；
∵DM∥BC，
∴∠DNM＝∠DNB＝90°，
∵∠DFE＝∠DBC，
∴△BDN≌△DNM（AAS），
∴DM＝BN＝4，
∴NC＝6，
在Rt△DC'N中，C'D＝10，
∴△DCF周长的最小值为2+10，
故答案为2+10．

【点评】本题考查轴对称求最短路径；熟练掌握利用轴对称求最短路径的方法，作出合适的图形，借助平行四边形和直角三角形的性质解题是关键．
二、解答题（共3个小题，满分30分）
26．（8分）非洲猪瘟疫情发生以来，猪肉市场供应阶段性偏紧和猪价大幅波动时有发生．为稳定生猪生产，促进转型升级，增强猪肉供应保障能力，国务院办公厅于2019年9月印发了《关于稳定生猪生产促进转型升级的意见》．某生猪饲养场积极响应国家号召，努力提高生产经营管理水平，稳步扩大养殖规模，增加猪肉供应量．该饲养场2019年每月生猪产量y（吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出当0＜x≤4（x为整数）和4＜x≤12（x为整数）时，y与x的函数关系式；
（2）若该饲养场生猪利润p（万元/吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）满足关系式：p＝﹣x+．请问：该饲养场哪个月的利润最大？最大利润是多少？

【分析】（1）当0＜x≤4（x为整数）时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据一次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）当0＜x≤4（x为整数）时，y与x的函数关系式为：y＝140，（0＜x≤4）（x