基本初等函数历年高考题.doc

基本初等函数I
1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ( )
A． B． C． D．2
答案 A
解析 函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
2.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有
点 （ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
3.（2009天津卷文）设，则 ( )
A a<b<c B a<c<b C b<c<a D b<a<c
答案 B
解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选B。
【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能
4.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
5.（2009全国卷Ⅱ理）设，则
A. B. C. D.
答案 A
解析
.
6.（2009湖南卷文）的值为
A． B． C． D．
答案 D
解析 由,易知D正确.
7.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数
取函数。当=时，函数的单调递增区间为 ( )
A ． B． C ． D ．
答案 C
解析 函数，作图易知，
故在上是单调递增的，选C.
8.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>
的是
A．= B. =
C .= D.
答案 A
解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。
9. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝
，则＝
A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4
∴＝f(3＋log23)
＝
10.（2009四川卷文）函数的反函数是
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由，又因原函数的值域是，
∴其反函数是
11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D.1
答案 B
解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点
（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.
12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
答案 C
解析 由题令得，即，又，所以，故选择C。
13.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 ( )
A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0
答案 D
解析 由得由得，所以选D项。
14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数
的值是 ( )
Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
答案 B
解析 由题得，故选择B。
解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
，可得．故选B．
15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
答案 A
解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
二、填空题
16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= .
解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
由得，；由知，所以4。
17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
答案
解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．
答案 2
解法1 由，得，即，于是由，解得
解法2因为，所以
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 （ ）

O
y
x
A． B．
C． D．
答案 A
解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。
由图易得取特殊点
.
2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值
为 （ ）
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
答案 A
3.（2006年安徽卷）函数的反函数是 （ 　）
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由得：x+1=lny，即x=-1+lny,所以为所求，故选D。
4.（2006年湖北卷）设，则的定义域为 ( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<<2且－2<<2解得－4<x<－1或1<x<4故选B。
5.(07天津)设均为正数，且，，.
则 （ ）
A. B. C. D.
答案 A
二、填空题
6.（2008年山东文科卷）已知，则
的值等于 ．
答案 2008
解析 本小题主要考查对数函数问题。

7.(07山东)函数的图象恒过定点A,若点A在直线上，其中，则的最小值为 .
答案 8
8.（2006年辽宁卷）设则__________
答案 .
解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
9.(2006年重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 .
解析 设，函数有最大值，∵有最小值，∴ 0<a<1， 则不等式的解为，解得2<x<3，所以不等式的解集为.
10.（2005年上海2）方程的解是__________.
解析
三、解答题
11.(07上海)已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
解析 （1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则。
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数。
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
一、选择题
1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数的反函数的图象
是 （ ）

答案 A
2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间上为增函数的
是 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B
3.（2009福建省）函数的图象大致是 ( )

答案 C
4.（2009厦门集美中学）若在上是减函数,则的取值范围
是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
5.（2009岳阳一中第四次月考）函数的图象大致是 ( )

答案 D
二、填空题
6.（2009泉州市）已知函数f(x)=若f(a)= .
答案 -1或
7.（2009厦门十中）定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，
均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件。若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为_____。
答案
8.（2009中学第六次月考）定义区间的长度为,已知函数
的定义域为,值域为,则区间的长度的最大值与最小值的差为 .
答案 3
9.(江西南昌新民外语学校09届高三第一次月考)函数的定义域
为 ．
答案
三、解答题
10．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)
已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
解 （1） 因为是R上的奇函数，所以
从而有 又由，解得
（2）解法一：由（1）知
由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式
等价于
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而
解法二：由（1）知
又由题设条件得
即
整理得，因底数2>1，故
上式对一切均成立，从而判别式
14.（2009广东三校一模）设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
解 （1）函数的定义域为. 1分
由得; 2分
由得, 3分
则增区间为,减区间为. 4分
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, 6分
由,且, 8分
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. 9分
(3)方程即.记,则
.由得;由得.
所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.
而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分
所以，当a＞1时，方程无解；
当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解，
当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解；
当a=2-2ln2时，方程有一个解；
当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分
字上所述，a时，方程无解；
或a=2-2ln2时，方程有唯一解；
时，方程有两个不等的解. 14分
9月份更新
一、选择题
1.（2009聊城一模）已知函数上的奇函数，

当x>0时，的大致图象为 （ ）

答案 B
2.（2009临沂一模）已知函数f(x)=，若x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为
A．恒为正值 B.等于0 C.恒为负值 D.不大于0
答案 A
3.（2009临沂一模）设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f(2x)=f()的所有x之和为
A、 B、 C、－8 D、8
答案 C
4.（2009青岛一模）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
答案 D
5.（2009日照一模）（6）函数的零点一定位于区间
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
答案 A
6.（2009日照一模）（函数的图象如右图所示，则函数的图象大致是

答案 C
7.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为
（A）-e (B) (C) (D) e
答案 C
8.（2009枣庄一模）已知则关于右图中函数图象的表述正确的是 （ ）
A．是的图象
B．是的图象
C．是的图象
D．以上说法都不对
答案 D
9.（2009枣庄一模）设函数 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．9
答案 C
二、填空题
1.（2009青岛一模）定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.
答案 1
2.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 。
答案
3.（2009闵行三中模拟）若函数的值域是，则函数的值域是
答案
4.（2009上海普陀区）已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 .
答案 2
5.（2009上海十校联考）已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．
答案
6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 ．
答案

三、解答题
1.（2009聊城一模）已知函数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。
解：（1）
[
]
[
]
.
1
2
)
(
.
3
4
,
2
2
3
)
1
(
),
1
(
)
1
(
,
2
3
2
)
1
(
,
2
3
)
1
(
,
1
)
0
(
.
1
,
0
,
0
,
1
)
(
,
1
,
,
0
,
0
)
(
'
2
3
2
1
上为减函数
在
上为增函数
在
得
令
Q

Q
+
-
=
\
=
-
=
-
=
-
\
<
-
\
-
=
-
=
-
=
=
\
-
\
>
=
=
=
x
x
x
f
a
a
f
f
f
a
f
a
f
b
f
x
f
a
a
x
x
x
f

（2）

由，
知
， 即

2.（2009临沂一模）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即
记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.
求得
当时;;当时，
故在x=e处取得极小值，也是最小值，
即，故.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当时，,当时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。
若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若,由可得2x2-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。

2007—2008年联考题
一、选择题
1.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f（x）=ax与g(x)=bx的图象 （ ）
A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于原点对称
答案 C
解析 取满足可得答案C.
2.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知a>1，则函数f（x）= loga x的图象与其反函数y=f-1（x）的图象 （ ）
A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点
C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点
答案 D
3.（2007届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数
(xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f(x)的值域为（－1，1）；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；
丙：若规定，对任意N*恒成立.
你认为上述三个命题中正确的个数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 D
二、填空题
4.（2008年高考数学各校月考试题）已知函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，令则关于函数有下列命题:
①的图象关于原点对称； ②为偶函数；
③的最小值为0； ④在（0，1）上为减函数.
其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）
答案 ②③
5.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则
满足＝27的x的值是 .
答案
三、解答题
6.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数
(1)判断函数的奇偶性。 (2)判断函数的单调性。
解 （1）
=
∴为奇函数
（2）是R上的增函数，（证明略）
7.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1） 求证：f(0)=1；
（2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴
由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0
∴又x=0时，f(0)=1>0
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，
f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0<x<3
8.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知函数
（1）求反函数
（2）判断是奇函数还是偶函数并证明。
解 （1）令则
∵t2-2yt-1=0
∴t=y+
∵10x=y+
∴f-1(x)=lg(x+)(xR)
（2）
==-lg(x+)=-f-1(x)
为奇函数

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