2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有答案).pdf

2017 年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题）年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题）一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题）1（2014成都一模）已知椭圆 C：+y2=1 的右焦点为 F，右准线为 l，点 Al，线段 AF 交 C 于点 B，若=3，则|=（）AB2CD32（2014鄂尔多斯模拟）已知直线 y=k（x+2）（k0）与抛物线 C：y2=8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则 k=（）ABCD3（2014和平区模拟）在抛物线 y=x2+ax5（a0）上取横坐标为 x1=4，x2=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）4（2014焦作一模）已知椭圆（ab0）与双曲线（m0，n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0），若 c 是 a、m 的等比中项，n2是 2m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）ABCD5（2014焦作一模）已知点 P 是椭圆+=1（x0，y0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是（）A0，3）B（0，2）C2，3）D0，46（2014北京模拟）已知椭圆的焦点为 F1、F2，在长轴 A1A2上任取一点 M，过 M 作垂直于 A1A2的直线交椭圆于 P，则使得的 M 点的概率为（）ABCD7（2014怀化三模）从（其中 m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为（）ABCD8（2014重庆模拟）已知点 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过 F1且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD9（2014黄冈模拟）已知点 F 是双曲线=1（a0，b0）的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，1+）10（2014凉州区二模）已知双曲线（a0，b0）的左右焦点是 F1，F2，设 P 是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率 e 为（）ABCD11（2015浙江一模）如图，F1、F2是双曲线的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4BCD12（2014河西区二模）双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2离心率为 e过 F2的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2的值是（）A1+2B3+2C42D5213（2014呼和浩特一模）若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）ABCD14（2014太原一模）点 P 在双曲线：（a0，b0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A2B3C4D515（2014南昌模拟）已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为 I，过 F2作直线 PI 的垂线，垂足为 B，则 OB=（）AaBbCeaDeb二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）16（2014江西一模）过双曲线=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为_17（2014渭南二模）已知 F1，F2是双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为_18（2013辽宁）已知椭圆的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，则 C 的离心率 e=_19（2013江西）抛物线 x2=2py（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线=1 相交于 A，B 两点，若ABF为等边三角形，则 p=_20（2014宜春模拟）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=_三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题）21（2014黄冈模拟）已知椭圆的离心率为，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于A、B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为，（）求 a，b 的值；（）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由22（2014南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线 y=kx（k0）与AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点（）若，求 k 的值；（）求四边形 AEBF 面积的最大值23（2014福建）已知双曲线 E：=1（a0，b0）的两条渐近线分别为 l1：y=2x，l2：y=2x（1）求双曲线 E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点（A，B 分别在第一、第四象限），且OAB的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由24（2014福建模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，短轴两个端点为 A、B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点 M 满足 MDCD，连接 CM，交椭圆于点 P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由25（2014宜春模拟）如图，已知圆 G：x2+y22xy=0，经过椭圆=1（ab0）的右焦点 F 及上顶点B，过圆外一点 M（m，0）（ma）倾斜角为的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部，求 m 的取值范围26（2014内江模拟）已知椭圆 C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知动直线 y=k（x+1）与椭圆 C 相交于 A、B 两点若线段 AB 中点的横坐标为，求斜率 k 的值；已知点，求证：为定值27（2014红桥区二模）已知 A（2，0），B（2，0）为椭圆 C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆 C 上异于A，B 的动点，且APB 面积的最大值为（）求椭圆 C 的方程及离心率；（）直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D，当直线 AP 绕点 A 转动时，试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明28（2014南海区模拟）一动圆与圆外切，与圆内切（I）求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程（）设过圆心 O1的直线 l：x=my+1 与轨迹 L 相交于 A、B 两点，请问ABO2（O2为圆 O2的圆心）的内切圆N 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 l 的方程，若不存在，请说明理由29（2014通辽模拟）如图所示，F 是抛物线 y2=2px（p0）的焦点，点 A（4，2）为抛物线内一定点，点 P 为抛物线上一动点，|PA|+|PF|的最小值为 8（1）求抛物线方程；（2）若 O 为坐标原点，问是否存在点 M，使过点 M 的动直线与抛物线交于 B，C 两点，且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点，若存在，求出动点 M 的坐标；若不存在，请说明理由30（2014萧山区模拟）如图，O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1：x2=2py（p0）的焦点，且抛物线 C1上点 P 处的切线与圆 C2：x2+y2=1 相切于点 Q（）当直线 PQ 的方程为 xy=0 时，求抛物线 C1的方程；（）当正数 p 变化时，记 S1，S2分别为FPQ，FOQ 的面积，求的最小值参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 15 小题）小题）1（2014成都一模）已知椭圆 C：+y2=1 的右焦点为 F，右准线为 l，点 Al，线段 AF 交 C 于点 B，若=3，则|=（）AB2CD3考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：过点 B 作 BMl 于 M，设右准线 l 与 x 轴的交点为 N，根据椭圆的性质可知 FN=1，由椭圆的第二定义可求得|BF|，进而根据若，求得|AF|解答：解：过点 B 作 BMl 于 M，并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N，易知 FN=1由题意，故又由椭圆的第二定义，得故选 A点评：本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题2（2014鄂尔多斯模拟）已知直线 y=k（x+2）（k0）与抛物线 C：y2=8x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则 k=（）ABCD考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据直线方程可知直线恒过定点，如图过 A、B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B 的横坐标，则点 B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率解答：解：设抛物线 C：y2=8x 的准线为 l：x=2直线 y=k（x+2）（k0）恒过定点 P（2，0）如图过 A、B 分别作 AMl 于 M，BNl 于 N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点 B 为 AP 的中点、连接 OB，则，|OB|=|BF|，点 B 的横坐标为 1，故点 B 的坐标为，故选 D点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了对抛物线的基础知识的灵活运用3（2014和平区模拟）在抛物线 y=x2+ax5（a0）上取横坐标为 x1=4，x2=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）考点：抛物线的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出 a，求出抛物线的顶点坐标解答：解：两点坐标为（4，114a）；（2，2a1）两点连线的斜率 k=对于 y=x2+ax5y=2x+a2x+a=a2 解得 x=1在抛物线上的切点为（1，a4）切线方程为（a2）xy6=0直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径解得 a=4 或 0（0 舍去）抛物线方程为 y=x2+4x5 顶点坐标为（2，9）故选 A点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径4（2014焦作一模）已知椭圆（ab0）与双曲线（m0，n0）有相同的焦点（c，0）和（c，0），若 c 是 a、m 的等比中项，n2是 2m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率是（）ABCD考点：椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据是 a、m 的等比中项可得 c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a2+b2=m2+n2=c，根据 n2是2m2与 c2的等差中项可得 2n2=2m2+c2，联立方程即可求得 a 和 c 的关系，进而求得离心率 e解答：解：由题意：，a2=4c2，故选 D点评：本题主要考查了椭圆的性质，属基础题5（2014焦作一模）已知点 P 是椭圆+=1（x0，y0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若 M 是F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值范围是（）A0，3）B（0，2）C2，3）D0，4考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：结合椭圆=1 的图象，当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时，点 M 与原点 O 重合，此时|OM|取最小值0当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时，点 M 与焦点 F1重合，此时|OM|取最大值由此能够得到|OM|的取值范围解答：解：由椭圆=1 的方程可得，c=由题意可得，当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时，点 M 与原点 O 重合，此时|OM|取得最小值为 0当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时，点 M 与焦点 F1重合，此时|OM|取得最大值 c=2xy0，|OM|的取值范围是（0，）故选：B点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍6（2014北京模拟）已知椭圆的焦点为 F1、F2，在长轴 A1A2上任取一点 M，过 M 作垂直于 A1A2的直线交椭圆于 P，则使得的 M 点的概率为（）ABCD考点：椭圆的应用；几何概型菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：当F1PF2=90时，P 点坐标为，由，得F1PF290故的 M 点的概率解答：解：|A1A2|=2a=4，设 P（x0，y0），当F1PF2=90时，解得，把代入椭圆得由，得F1PF290结合题设条件可知使得的 M 点的概率=故选 C点评：作出草图，数形结合，事半功倍7（2014怀化三模）从（其中 m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为（）ABCD考点：双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：m 和 n 的所有可能取值共有 33=9 个，其中有两种不符合题意，故共有 7 种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的选法，即 m 和 n 都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率解答：解：设（m，n）表示 m，n 的取值组合，则取值的所有情况有（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共 7 个，（注意（1，2），（1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在 x 轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共 4 个此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为故选 B点评：本题考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键8（2014重庆模拟）已知点 F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过 F1且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）ABCD考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先求出 A，B 两点的纵坐标，由ABF2是锐角三角形知，tanAF2F1=1，e22e10，解不等式求出e 的范围解答：解：在双曲线中，令 x=c 得，y=，A，B 两点的纵坐标分别为 由ABF2是锐角三角形知，AF2F1，tanAF2F1=tan=1，1，c22aca20，e22e10，1e1+又 e1，1e1+，故选 D点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断AF2F1，tan=1，是解题的关键9（2014黄冈模拟）已知点 F 是双曲线=1（a0，b0）的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A（1，+）B（1，2）C（1，1+）D（2，1+）考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的对称性，得到等腰ABE 中，AEB 为锐角，可得|AF|EF|，将此式转化为关于 a、c 的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率 e 的取值范围解答：解：根据双曲线的对称性，得ABE 中，|AE|=|BE|，ABE 是锐角三角形，即AEB 为锐角由此可得 RtAFE 中，AEF45，得|AF|EF|AF|=，|EF|=a+ca+c，即 2a2+acc20两边都除以 a2，得 e2e20，解之得1e2双曲线的离心率 e1该双曲线的离心率 e 的取值范围是（1，2）故选：B点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题10（2014凉州区二模）已知双曲线（a0，b0）的左右焦点是 F1，F2，设 P 是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率 e 为（）ABCD考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先根据上的投影的大小恰好为判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为，结合双曲线的定义建立等式求得 a 和 c 的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e解答：解：上的投影的大小恰好为PF1PF2且它们的夹角为，在直角三角形 PF1F2中，F1F2=2c，PF2=c，PF1=又根据双曲线的定义得：PF1PF2=2a，cc=2ae=故选 C点评：本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生综合分析问题和运算的能力解答关键是通过解三角形求得 a，c 的关系从而求出离心率11（2015浙江一模）如图，F1、F2是双曲线的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的左、右 2 个分支分别交于点 A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A4BCD考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|AF2|=2a，|BF2|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，在AF1F2中使用余弦定理可得：=，再利用离心率的计算公式即可得出解答：解：ABF2为等边三角形，|AB|=|AF2|=|BF2|，由双曲线的定义可得|AF1|AF2|=2a，|BF1|=2a又|BF2|BF1|=2a，|BF2|=4a|AF2|=4a，|AF1|=6a在AF1F2中，由余弦定理可得：=，化为 c2=7a2，=故选 B点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键12（2014河西区二模）双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2离心率为 e过 F2的直线与双曲线的右支交于 A、B 两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2的值是（）A1+2B3+2C42D52考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1）m，再利用勾股定理，即可建立 a，c 的关系，从而求出 e2的值解答：解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m2a，|BF2|=m2a，|AB|=|AF2|+|BF2|=m，m2a+m2a=m，4a=m，|AF2|=（1）m，AF1F2为 Rt 三角形，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|24c2=（）m2，4a=m4c2=（）8a2，e2=52故选 D点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF2|，从而利用勾股定理求解13（2014呼和浩特一模）若双曲线=1（a0，b0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（）ABCD考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到 y=x 的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含 b，c的齐次式，再把 b 用 a，c 表示，利用 e=即可求出离心率解答：解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（c，0），渐近线方程为 y=x根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到 y=x 的距离，d=b，又焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，b=2c，两边平方，得 4b2=c2，即 4（c2a2）=c2，3c2=4a2，即 e2=，e=故选 B点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到 a，c 的齐次式14（2014太原一模）点 P 在双曲线：（a0，b0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A2B3C4D5考点：双曲线的简单性质；等差数列的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为 md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值解答：解：因为F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为 md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m（md）=2a，m+d=2c，（md）2+m2=（m+d）2，解得 m=4d=8a，c=，故离心率 e=5，故选 D点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题15（2014南昌模拟）已知双曲线的左右焦点分别为 F1，F2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为 I，过 F2作直线 PI 的垂线，垂足为 B，则 OB=（）AaBbCeaDeb考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|PF2|=2a，转化为|AF1|AF2|=2a，从而求得点H 的横坐标再在三角形 PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形 F1CF2中，利用中位线定理得出 OB，从而解决问题解答：解：由题意知：F1（c，0）、F2（c，0），内切圆与 x 轴的切点是点 A，|PF1|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，|AF1|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为 x，则|（x+c）（cx）|=2ax=a在三角形 PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，在三角形 F1CF2中，有：OB=CF1=（PF1PC）=（PF1PF2）=2a=a故选 A点评：本题考查双曲线的定义、切线长定理解答的关键是充分利用三角形内心的性质二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）16（2014江西一模）过双曲线=1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先设垂足为 D，根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点 F 的坐标，进而得到 D 点坐标表示直线DF 的斜率与直线 OD 的斜率乘积为1，进而得到 a 和 b 的关系，进而求得离心率解答：解：设垂足为 D，根据双曲线方程可知其中一个渐近线为 y=x，焦点为 F（，0）D 点坐标（，）kDF=ODDFkDFkOD=1，即 a=be=故答案为点评：本题主要考查了双曲线的简单性质要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识17（2014渭南二模）已知 F1，F2是双曲线 C：（a0，b0）的左、右焦点，过 F1的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的定义可求得 a=1，ABF2=90，再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率解答：解：|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，ABF2=90，又由双曲线的定义得：|BF1|BF2|=2a，|AF2|AF1|=2a，|AF1|+34=5|AF1|，|AF1|=3|BF1|BF2|=3+34=2a，a=1在 RtBF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，|F1F2|2=4c2，4c2=52，c=双曲线的离心率 e=故答案为：点评：本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得 a 与 c 的值是关键，属于中档题18（2013辽宁）已知椭圆的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，则 C 的离心率 e=考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆右焦点为 F，连接 AF、BF，可得四边形 AFBF为平行四边形，得|AF|=|BF|=6ABF 中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得AFB=90，所以 c=|OF|=|AB|=5根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF|=14，得 a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆 C 的离心率解答：解：设椭圆的右焦点为 F，连接 AF、BFAB 与 FF互相平分，四边形 AFBF为平行四边形，可得|AF|=|BF|=6ABF 中，|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|BF|cosABF，可得 62=102+|BF|2210|BF|，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF|=14，得 a=7ABF 中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2AFB=90，可得|OF|=|AB|=5，即 c=5因此，椭圆 C 的离心率 e=故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦 AB 与左焦点构成三边分别为 6、8、10 的直角三角形，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题19（2013江西）抛物线 x2=2py（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线=1 相交于 A，B 两点，若ABF为等边三角形，则 p=6考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：常规题型；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出 p 即可解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=，准线方程与双曲线联立可得：，解得 x=，因为ABF 为等边三角形，所以，即 p2=3x2，即，解得 p=6故答案为：6点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力20（2014宜春模拟）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=2考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x2+（62p）x+3=0，进而根据，可知 M 为 A、B的中点，可得 p 的关系式，解方程即可求得 p解答：解：设直线 AB：，代入 y2=2px 得 3x2+（62p）x+3=0，又，即 M 为 A、B 的中点，xB+（）=2，即 xB=2+，得 p2+4P12=0，解得 p=2，p=6（舍去）故答案为：2点评：本题考查了抛物线的几何性质属基础题三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题）21（2014黄冈模拟）已知椭圆的离心率为，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于A、B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为，（）求 a，b 的值；（）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由考点：椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（I）设 F（c，0），则直线 l 的方程为 xyc=0，由坐标原点 O 到 l 的距离求得 c，进而根据离心率求得 a和 b（II）由（I）可得椭圆的方程，设 A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1 代入椭圆的方程中整理得方程0由韦达定理可求得 y1+y2和 y1y2的表达式，假设存在点 P，使成立，则其充要条件为：点 P 的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把 A，B 两点代入椭圆方程，最后联立方程求得 c，进而求得 P 点坐标，求出 m 的值得出直线 l 的方程解答：解：（I）设 F（c，0），直线 l：xyc=0，由坐标原点 O 到 l 的距离为则，解得 c=1又，（II）由（I）知椭圆的方程为设 A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知 l 的斜率为一定不为 0，故不妨设 l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my4=0，显然0由韦达定理有：，假设存在点 P，使成立，则其充要条件为：点 P 的坐标为（x1+x2，y1+y2），点 P 在椭圆上，即整理得 2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6又 A、B 在椭圆上，即 2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故 2x1x2+3y1y2+3=0将 x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1 及代入解得，x1+x2=，即当；当点评：本题主要考查了椭圆的性质处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够所谓“算”，主要讲的是算理和算法算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质有时候算理和算法并不是截然区分的例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点22（2014南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线 y=kx（k0）与AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点（）若，求 k 的值；（）求四边形 AEBF 面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量的共线定理菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）依题可得椭圆的方程，设直线 AB，EF 的方程分别为 x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且 x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得 x2的表达式，进而根据求得 x0的表达式，由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2，进而求得 x0的另一个表达式，两个表达式相等求得 k（）由题设可知|BO|和|AO|的值，设 y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形 AEBF 的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值解答：解：（）依题设得椭圆的方程为，直线 AB，EF 的方程分别为 x+2y=2，y=kx（k0）如图，设 D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中 x1x2，且 x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，故由知 x0 x1=6（x2x0），得；由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2，得所以，化简得 24k225k+6=0，解得或（）由题设，|BO|=1，|AO|=2由（）知，E（x1，kx1），F（x2，kx2），不妨设 y1=kx1，y2=kx2，由得 x20，根据 E 与 F 关于原点对称可知 y2=y10，故四边形 AEBF 的面积为 S=SOBE+SOBF+SOAE+SOAF=（y1）=x2+2y2=，当 x2=2y2时，上式取等号所以 S 的最大值为点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大23（2014福建）已知双曲线 E：=1（a0，b0）的两条渐近线分别为 l1：y=2x，l2：y=2x（1）求双曲线 E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点（A，B 分别在第一、第四象限），且OAB的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，可知=2，易知 c=a，从而可求双曲线 E 的离心率；（2）由（1）知，双曲线 E 的方程为=1，设直线 l 与 x 轴相交于点 C，分 lx 轴与直线 l 不与 x轴垂直讨论，当 lx 轴时，易求双曲线 E 的方程为=1当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为 y=kx+m，与双曲线 E 的方程联立，利用由 SOAB=|OC|y1y2|=8 可证得：双曲线 E 的方程为=1，从而可得答案解答：解：（1）因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1：y=2x，l2：y=2x，所以=2所以=2故 c=a，从而双曲线 E 的离心率 e=（2）由（1）知，双曲线 E 的方程为=1设直线 l 与 x 轴相交于点 C，当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|AB|=8，因此 a4a=8，解得 a=2，此时双曲线 E 的方程为=1以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E 的方程为=1 也满足条件设直线 l 的方程为 y=kx+m，依题意，得 k2 或 k2；则 C（，0），记 A（x1，y1），B（x2，y2），由得 y1=，同理得 y2=，由 SOAB=|OC|y1y2|得：|=8，即 m2=4|4k2|=4（k24）因为 4k20，所以=4k2m2+4（4k2）（m2+16）=16（4k2m216），又因为 m2=4（k24），所以=0，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点因此，存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为=1点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想24（2014福建模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2，短轴两个端点为 A、B，且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形（1）求椭圆的方程；（2）若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点 M 满足 MDCD，连接 CM，交椭圆于点 P证明：为定值（3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP、MQ 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）由题意知 a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为（2）设 M（2，y0），P（x1，y1），直线 CM：，代入椭圆方程 x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值（3）设存在 Q（m，0）满足条件，则 MQDP，再由，由此可知存在 Q（0，0）满足条件解答：解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，b2=2