2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有答案).doc

2017年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题（拔高题）

一．选择题（共15小题）
1．（2014•成都一模）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（　　）

A．

B．
2
C．

D．
3

2．（2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2014•和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（　　）

A．
（﹣2，﹣9）
B．
（0，﹣5）
C．
（2，﹣9）
D．
（1，6）

4．（2014•焦作一模）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（2014•焦作一模）已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（　　）

A．
[0，3）
B．
（0，2）
C．
[2，3）
D．
[0，4]

6．（2014•北京模拟）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．（2014•怀化三模）从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（2014•重庆模拟）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．
（1，+∞）
B．
（1，2）
C．
（1，1+）
D．
（2，1+）

10．（2014•凉州区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（2015•浙江一模）如图，F1、F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A．
4
B．

C．

D．

12．（2014•河西区二模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（　　）

A．
1+2
B．
3+2
C．
4﹣2
D．
5﹣2

13．（2014•呼和浩特一模）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

14．（2014•太原一模）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

15．（2014•南昌模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（　　）

A．
a
B．
b
C．
ea
D．
eb

二．填空题（共5小题）
16．（2014•江西一模）过双曲线=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为　_________　．

17．（2014•渭南二模）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为　_________　．

18．（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　_________　．

19．（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　_________　．

20．（2014•宜春模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　_________　．

三．解答题（共10小题）
21．（2014•黄冈模拟）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

22．（2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

23．（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．

24．（2014•福建模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（2014•宜春模拟）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

26．（2014•内江模拟）已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；
②已知点，求证：为定值．

27．（2014•红桥区二模）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

28．（2014•南海区模拟）一动圆与圆外切，与圆内切．
（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．
（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

29．（2014•通辽模拟）如图所示，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|+|PF|的最小值为8．
（1）求抛物线方程；
（2）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰过坐标原点，若存在，求出动点M的坐标；若不存在，请说明理由．

30．（2014•萧山区模拟）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．
（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣=0时，求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）
1．（2014•成都一模）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（　　）

A．

B．
2
C．

D．
3

考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
过点B作BM⊥l于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，由椭圆的第二定义可求得|BF|，进而根据若，求得|AF|．
解答：
解：过点B作BM⊥l于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意，故．
又由椭圆的第二定义，得
∴．
故选A
点评：
本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．

2．（2014•鄂尔多斯模拟）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
解答：
解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，
点B为AP的中点、连接OB，
则，
∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为，
故选D

点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．

3．（2014•和平区模拟）在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（　　）

A．
（﹣2，﹣9）
B．
（0，﹣5）
C．
（2，﹣9）
D．
（1，6）

考点：
抛物线的应用．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．
解答：
解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1）
两点连线的斜率k=
对于y=x2+ax﹣5
y′=2x+a
∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1
在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4）
切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径

解得a=4或0（0舍去）
抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）
故选A．
点评：
本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．

4．（2014•焦作一模）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（﹣c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质；等差数列的性质；等比数列的性质；圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．
解答：
解：由题意：
∴，
∴，∴a2=4c2，
∴．
故选D．
点评：
本题主要考查了椭圆的性质，属基础题．

5．（2014•焦作一模）已知点P是椭圆+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且•=0，则||的取值范围是（　　）

A．
[0，3）
B．
（0，2）
C．
[2，3）
D．
[0，4]

考点：
椭圆的简单性质；椭圆的定义．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
结合椭圆 =1的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0．
当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值．由此能够得到|OM|的取值范围．
解答：
解：由椭圆 =1 的方程可得，c=．
由题意可得，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取得最小值为0．
当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取得最大值 c=2．
∵xy≠0，∴|OM|的取值范围是（0，）．
故选：B．
点评：
本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．

6．（2014•北京模拟）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的应用；几何概型．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
当∠F1PF2=90°时，P点坐标为，由，得∠F1PF2≥90°．故的M点的概率．
解答：
解：∵|A1A2|=2a=4，，
设P（x0，y0），
∴当∠F1PF2=90°时，，
解得，把代入椭圆得．
由，得∠F1PF2≥90°．
∴结合题设条件可知使得的M点的概率=．
故选C．
点评：
作出草图，数形结合，事半功倍．

7．（2014•怀化三模）从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率
解答：
解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）
其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个
∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为
故选B
点评：
本题考查了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键

8．（2014•重庆模拟）已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠AF2F1=＜1，e2﹣2e﹣1＜0，解不等式求出e 的范围．
解答：
解：在双曲线中，
令x=﹣c 得，y=±，∴A，B两点的纵坐标分别为±．
由△ABF2是锐角三角形知，∠AF2F1＜，tan∠AF2F1=＜tan=1，
∴＜1，c2﹣2ac﹣a2＜0，e2﹣2e﹣1＜0，∴1﹣＜e＜1+．
又 e＞1，∴1＜e＜1+，
故选D．
点评：
本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断∠AF2F1＜，tan=＜1，是解题的关键．

9．（2014•黄冈模拟）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．
（1，+∞）
B．
（1，2）
C．
（1，1+）
D．
（2，1+）

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
解答：
解：根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|==，|EF|=a+c
∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0
两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：B

点评：
本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

10．（2014•凉州区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先根据上的投影的大小恰好为判断两向量互相垂直得到直角三角形，进而根据直角三角形中内角为，结合双曲线的定义建立等式求得a和c的关系式，最后根据离心率公式求得离心率e．
解答：
解：∵上的投影的大小恰好为
∴PF1⊥PF2
且它们的夹角为，∴，
∴在直角三角形PF1F2中，F1F2=2c，
∴PF2=c，PF1=
又根据双曲线的定义得：PF1﹣PF2=2a，
∴c﹣c=2a
∴
e=
故选C．
点评：
本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．解答关键是通过解三角形求得a，c的关系从而求出离心率．

11．（2015•浙江一模）如图，F1、F2是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A．
4
B．

C．

D．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得
：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．
解答：
解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．
又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．
∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，
∴，化为c2=7a2，
∴=．
故选B．
点评：
熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键．

12．（2014•河西区二模）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（　　）

A．
1+2
B．
3+2
C．
4﹣2
D．
5﹣2

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e2的值．
解答：
解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，
∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，
∴m﹣2a+m﹣2a=m，
∴4a=m，∴|AF2|=（1﹣）m，
∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，
∵4a=m
∴4c2=（﹣）×8a2，
∴e2=5﹣2
故选D．
点评：
本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF2|，从而利用勾股定理求解．

13．（2014•呼和浩特一模）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到y=x的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用e=即可求出离心率．
解答：
解：双曲线的焦点坐标为（c，0）（﹣c，0），渐近线方程为y=±x
根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，
求（c，0）到y=x的距离，d===b，
又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，
∴b=×2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2﹣a2）=c2，
∴3c2=4a2，，即e2=，e=
故选B
点评：
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，以及双曲线离心率的求法，求离心率关键是找到a，c的齐次式．

14．（2014•太原一模）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（　　）

A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

考点：
双曲线的简单性质；等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，
c=，由此求得离心率的值．
解答：
解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，
分别设为m﹣d，m，m+d，
则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，
解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，
故选D．
点评：
本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．

15．（2014•南昌模拟）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则OB=（　　）

A．
a
B．
b
C．
ea
D．
eb

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．
解答：
解：由题意知：F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A，
∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a
∴x=a．
在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．
故选A．

点评：
本题考查双曲线的定义、切线长定理．解答的关键是充分利用三角形内心的性质．

二．填空题（共5小题）
16．（2014•江西一模）过双曲线=1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为　　．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先设垂足为D，根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标，进而得到D点坐标．表示直线DF的斜率与直线OD的斜率乘积为﹣1，进而得到a和b的关系，进而求得离心率．
解答：
解：设垂足为D，
根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=x，焦点为F（，0）
D点坐标（，）
∴kDF==﹣
∵OD⊥DF
∴kDF•kOD=﹣1
∴，即a=b
∴e===
故答案为
点评：
本题主要考查了双曲线的简单性质．要熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识．

17．（2014•渭南二模）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为　　．

考点：
双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，从而可求得双曲线的离心率．
解答：
解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，
∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，
又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，
∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．
∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，
∴a=1．
在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，
∵|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=．
∴双曲线的离心率e==．
故答案为：．
点评：
本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得a与c的值是关键，属于中档题．

18．（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=　　．

考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．
解答：
解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，
∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2
∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e==
故答案为：

点评：
本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．

19．（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　6　．

考点：
抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
常规题型；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
解答：
解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，
准线方程与双曲线联立可得：，
解得x=±，
因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，
即，解得p=6．
故答案为：6．
点评：
本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．

20．（2014•宜春模拟）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=　2　．

考点：
抛物线的简单性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
解答：
解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，
又∵，即M为A、B的中点，
∴xB+（﹣）=2，即xB=2+，
得p2+4P﹣12=0，
解得p=2，p=﹣6（舍去）
故答案为：2
点评：
本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．

三．解答题（共10小题）
21．（2014•黄冈模拟）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．
（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．
解答：
解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，
由坐标原点O到l的距离为
则，解得c=1
又，∴
（II）由（I）知椭圆的方程为
设A（x1，y1）、B（x2，y2）
由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1
代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：，，①
假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），
点P在椭圆上，即．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．
又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、
故2x1x2+3y1y2+3=0②
将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得
∴，
x1+x2=，即
当；
当
点评：
本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．

22．（2014•南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；向量的共线定理．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．
解答：
解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2