正余弦定理练习题(含答案)[1].doc

正弦定理练习题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于(　　)
A.　　　　　　B. C. D．2
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4 C．4 D.
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为(　　)
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　)
A．1∶5∶6　　　　　　B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝(　　)
A．1 B. C．2 D.
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C.或 D.或
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2 C. D.
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
15．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sin Bsin C＝cos2，求A、B及b、c.

19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．

20．△ABC中，ab＝60，sin B＝sin C，△ABC的面积为15，求边b的长．

余弦定理练习题
源网
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(　　)
A．6　　　 　B．2 C．3 D．4
2．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于(　　)
A. B. C. D．2
3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于(　　)
A．60° B．45° C．120° D．150°
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则∠B的值为(　　)
A. B. C.或 D.或
5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于(　　)
A．a B．b C．c D．以上均不对
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
7．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
8．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为(　　)
A. B．2 C.或2 D．2
9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．
11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则边c的值为________．
12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
13．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·的值为________．
15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.
16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．

18．已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．

19．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－)的值．

20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．

正弦定理

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于(　　)
A.　　　　　　B. C. D．2
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝.
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4 C．4 D.
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝4.
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为(　　)
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　)
A．1∶5∶6　　　　　　　　 B．6∶5∶1
C．6∶1∶5 D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝(　　)
A．1 B. C．2 D.
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
6．在△ABC中，若＝，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵＝，∴＝，
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.
7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.
再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2
C. D.
解析：选D.由正弦定理得＝，
∴sinC＝.
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝.
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.
解析：由正弦定理得：＝，
所以sinA＝＝.
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.
答案：
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
解析：由正弦定理得＝
⇒sinB＝＝＝.
答案：
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
由＝得，a＝＝4，
∴a＋c＝8.
答案：8
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，
代入式子a＝2bcosC，得
2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，
所以sinA＝2sinB·cosC，
即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，
化简，整理，得sin(B－C)＝0.
∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，
∴－180°＜B－C＜180°，
∴B－C＝0°，B＝C.
答案：等腰三角形

13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝18，
∴c＝6.
答案：12　6
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴2R＝＝＝2，
又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴＝＝2R＝2.
答案：2
15．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析：依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝4，
解得b＝2.
答案：2
16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵bsinC＝4×＝2且c＝2，
∴c<bsinC，∴此三角形无解．
答案：0

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
解：在△ABC中，BC＝40×＝20，
∠ABC＝140°－110°＝30°，
∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理得
AC＝
＝＝10(km)．
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 km.

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sin Bsin C＝cos2，求A、B及b、c.
解：由sincos＝，得sinC＝，
又C∈(0，π)，所以C＝或C＝.
由sin Bsin C＝cos2，得
sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]，
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得
cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)，
A＝π－(B＋C)＝.
由正弦定理＝＝，得
b＝c＝a＝2×＝2.
故A＝，B＝，b＝c＝2.
19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝，sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝－1，求a，b，c的值．
解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝＝.
又cos 2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cos A＝，
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.
(2)由(1)知，C＝，∴sin C＝.
由正弦定理：＝＝得
a＝b＝c，即a＝b，c＝b.
∵a－b＝－1，∴b－b＝－1，∴b＝1.
∴a＝，c＝.
20．△ABC中，ab＝60，sin B＝sin C，△ABC的面积为15，求边b的长．
解：由S＝absin C得，15＝×60×sin C，
∴sin C＝，∴∠C＝30°或150°.
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.
当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
又∵ab＝60，＝，∴b＝2.
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
故边b的长为2.
余弦定理
源网
1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于(　　)
A．6　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A.由余弦定理，得
AC＝
＝ ＝6.
2．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC
＝22＋(－1)2－2×2×(－1)cos30°
＝2，
∴c＝.
3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于(　　)
A．60° B．45°
C．120° D．150°
解析：选D.cos∠A＝＝＝－，
∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则∠B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝ac，联想到余弦定理，代入得
cosB＝＝·＝·.
显然∠B≠，∴sinB＝.∴∠B＝或.
5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于(　　)
A．a B．b
C．c D．以上均不对
解析：选C.a·＋b·＝＝c.
6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.
设增加的长度为m，
则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，
又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，
∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．
7．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选A.S△ABC＝＝||·||·sinA
＝×4×1×sinA，
∴sinA＝，又∵△ABC为锐角三角形，
∴cosA＝，
∴·＝4×1×＝2.
8．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为(　　)
A. B．2
C.或2 D．2
解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3a，
∴a2－3a＋6＝0，解得a＝或2.
9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.
在△ABD中，
AD＝
＝ ＝.
答案：
10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，求最大角的度数．
解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(－1)∶(＋1)∶，
∴a∶b∶c＝(－1)∶(＋1)∶.
设a＝(－1)k，b＝(＋1)k，c＝k(k＞0)，
∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得
cosC＝＝－，
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则边c的值为________．
解析：S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.
∴cosC＝±，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴c2＝21或61，∴c＝或.
答案：或
12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.
解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，
设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，
cos B＝＝＝，
同理可得：cos A＝，cos C＝－，
∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．
答案：14∶11∶(－4)
13．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析：∵cos C＝，∴sin C＝.
又S△ABC＝absinC＝4，
即·b·3·＝4，
∴b＝2.
答案：2

14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·的值为________．
解析：在△ABC中，cosB＝
＝
＝，
∴·＝||·||·cos(π－B)
＝7×5×(－)
＝－19.
答案：－19
15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.
解析：absinC＝S＝＝·
＝abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.
答案：45°

16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．
解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，
则⇒2＜k＜4，
∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，
∴最小角的余弦值为＝.
答案：
17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．
解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，
∴cos(π－C)＝，即cosC＝－.
又∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴a＋b＝2，ab＝2.
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC
＝a2＋b2－2ab(－)
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab
＝(2)2－2＝10，
∴AB＝.
18．已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.
(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．
解：(1)由题意及正弦定理得
AB＋BC＋AC＝＋1，BC＋AC＝AB，
两式相减，得AB＝1.
(2)由△ABC的面积BC·AC·sin C＝sin C，得BC·AC＝，
由余弦定理得cos C＝
＝＝，
所以C＝60°.
19．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A.
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A－)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
得AB＝BC＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，根据余弦定理，得
cos A＝＝，
于是sin A＝＝.
从而sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝.
所以sin(2A－)＝sin 2Acos－cos 2Asin＝.

20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．
解：由正弦定理，得＝.
由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝＝.
又根据余弦定理，得
cos A＝，所以＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，
所以b＝c，所以a＝b＝c，
因此△ABC为等边三角形．