相似三角形的六大证明技巧大全.doc

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相似三角形6大证明技巧
第2讲

相似三角形证明方法
模块一

相似三角形的判定方法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
相似三角形的模型方法总结：
“反A”型与“反X”型.
示意图
结论

反A型：
如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，则△ADE∽△ACB（AA），∴AE·AC=AD·AB.
若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)

反X型：
如图，已知角∠BAO=∠CDO，则△AOB∽△DOC（AA），∴OA·OC=OD·OB. 若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.
“类射影”与射影模型
示意图
结论

类射影：
如图，已知△ABC，∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB（AA），∴=AD·AC.

射影定理
如图，已知∠ACB=90°，CH⊥AB于H，则

“旋转相似”与“一线三等角”
示意图
结论

旋转相似：
如图，已知△ABC∽△ADE，则 ，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE（SAS）

一线三等角：
如图，已知∠A=∠C=∠DBE，则△DAB∽△BCE（AA）
巩固练习
反A型与反X型
已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）（2）∠BEO=∠CFO， ∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB

类射影
如图，已知，求证：

射影定理
已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：，，

比例式的证明方法
模块二

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.
技巧一：三点定型法
技巧二：等线段代换
技巧三：等比代换
技巧四：等积代换
技巧五：证等量先证等比
技巧六：几何计算

技巧一：三点定型

【例1】 如图，平行四边形中，是延长线上的一点，交于，求证：．

【例2】 如图，中，，为的中点，交的延长线于，交于．求证：

【例3】 如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于，交于．求证：．

技巧二：等线段代换

悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】 如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：

【例5】 如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，交于，．求证：．

【例6】 如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：

【例7】 如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于．求证：．

技巧三：等比代换

【例8】 如图，平行四边形中，过作直线、于，、交的延长线于，求证：．

【例9】 如图，在中，已知时，于，为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．求证：．

【例10】 如图，在中（AB＞AC）的边上取一点，在边上取一点，使，直线和的延长线交于点．求证：

技巧四：等积代换

【例11】 如图，中，、是高，于、交于、交的延长线于．求证：．

【例12】 如图，在中，于，于，于，连EF，求证：∠AEF=∠C

【例13】 如图，在中，，为中点，，为垂足，求证：．

【例14】 在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证

技巧五：证等量先证等比

【例15】 已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.

【例16】 已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E. 求证：AM=NC，MN//DE.

【例17】 如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：PM=PN，MN//AB.

【例18】 如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE与AF交于点P. 求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.

【例19】 （※）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，Q在CE上，DQ//BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证：

【例20】 （※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.

技巧六：几何计算

【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求的值.

【例22】 （2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF＋EG＝AE （2）求证：CE＋CG＝AF

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