初二数学知识点总结.doc

苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结

第一章 轴对称
1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形
2 轴对称的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3 用坐标表示轴对称
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).
4 等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一）
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）
5 等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等，都等于60度；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；
推论：
直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。
在三角形中，大角对大边，大边对大角。

第二章勾股定理、平方根

勾股定理和
平方根
勾股定理
平方根
立方根
实数
近似数、
有效数字
判定直角三角形
勾股定理的验证
定义、性质
开平方运算
开立方运算
定义、性质

一、勾股定理：
1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：直角三角形较短的直角边
股：直角三角形较长的直角边
弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为的线段
二、平方根：（11——19的平方）
1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
一个正数a的正的平方根，记作“”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—”，这两个平方根合起来记作“±”。（ a叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“”）
②0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。
③负数没有平方根。
3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。
4、（1） 平方根是它本身的数是零。
（2）算术平方根是它本身的数是0和1。
（3）
（4）一个数的两个平方根之和为0
三、立方根：（1——9的立方）
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x3=a，那么x就叫做a的立方根。记作“”。
2、立方根的性质：
①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即=
③
3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。
4、立方根是它本身的数是1，0，-1。
5、平方根和立方根的区别：
（1）被开方数的取值范围不同：在中，，在中，a可以为任意数值。
（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。
6、立方根和平方根：
不同点：
（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.
（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；
（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0．
共同点：0的立方根和平方根都是0．
四、实数：
1、定义：有理数和无理数统称为实数
无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。
有理数：有限小数或无限循环小数
注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
2、实数的分类：

实数
有理数
无理数 （无限不循环小数）
整数
分数
有限小数或无限循环小数

实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。
②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。
③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。
④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。
3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到
精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。
取近似值的方法——四舍五入法
4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法：
把一个数记为
6、实数和数轴：
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。

第四章 数量、位置的变化
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
（2）、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
(6)、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于
三、坐标变化与图形变化的规律：

坐标（ x ， y ）的变化
图形的变化
x × a或 y × a
被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
x × a， y × a
放大（缩小）为原来的 a倍
x ×（ -1）或 y ×（ -1）
关于 y 轴或 x 轴对称
x ×（ -1）， y ×（ -1）
关于原点成中心对称
x +a或 y+ a
沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a， y+ a
沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单

第五章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y

0 x

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y

0 x

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y

0 x

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0

y

0 x

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

第六章 数据的集中程度
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
（1）平均数：一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为。
（2）加权平均数：
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

初二数学上册期末试卷
一、耐心填一填：（每题2分，共20分．把最后结果填在每题横线上）
1.的相反数是 ．
2. 当x 时，分式有意义．
3. 如图，，=30°，则的度数为 °．
4. 如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加条件 （只需填上一个你认为合适的条件即可）．

5．如图，是一个正比例函数的图像，则此函数图像的解析式为 ．

6. 一个正数x的平方根为和，则x= ．
7. 已知直线和在平面直角坐标系中的位置如图所示，不等式的解集是 ．
8. 如图，△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，AB=12，则S△ABD= ．
9. 因式分解= ．
10.一次函数的图像过点（1，0），则m= ．
得分 评卷人
二、细心选一选：(每题3分，共24分．下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号写在括号内．)
11. 下列计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
12. 若m+n=3，则的值为 （ ）
A．12 B． C．3 D．0
13. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

A． B． C． D．
14.如果将分式中都扩大10倍，则分式的值 （ ）
A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
15.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形 （ ）
A．角平分线的交点 B．中线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
16. 若等腰三角形的两边长分别为8cm和4cm，则它的周长为 （ ）
A．12cm B．16cm C．16cm或20cm D．20cm

17. 如图，给出下列四组条件：
① ②
③ ④
其中，能使的条件共有 （ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
18. 如图，在矩形中，AB=4，，动点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是 （ ）
得分 评卷人

三、认真算一算，可要细心哦！
（第19题每小题5分，第20、 21题每题6分，共22分）
19.计算题：
(1) (2)

20.已知直线，当时，，求此函数关系式．

21.已知： 求（1）； （2）的值．

四、想一想，做一做，相信你定能成功！不过要注意时间啊！（本大题共34分）
得分 评卷人
22.（本题5分）已知平面内有两点A（－1，3）、B（2，1），x轴上有一点P满足PA+PB的值最小，请在x轴上标出点P的位置，并求出点P的坐标．

得分 评卷人
23.（本题6分）如图，在 △ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE， CD与BE交于点P． 试证：(1) CD=BE ；(2) ∠BPC=90°．

得分 评卷人
24.（本题6分）如图，AD为△ABC的角平
分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连
接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．

得分 评卷人
25. （本题7分）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．
根据图像信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求返程中y与x之间的函数表达式；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．

得分 评卷人
26. （本题10分）已知直线l1经过点（3，5）与（－4，－9），直线l3∥l1，且过直线l2与y轴的交点B，交x轴于点A，已知直线l2：．
（1）画出直线l3的位置，求出直线l1、 l3的解析式和点A的坐标．
（2）若点是线段AB上的一动点，△OPA的面积为S，求：
①S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②请求出S的最大值或最小值．