2019年高考全国1卷理科数学试题和答案.doc

. .6,2019 年全国统一高考数学试卷 （理科 )（新课标)第 I 卷（选择题)一、单选题1 已知集合2M x 4 x 2 ，N x x x 6 0 ，则 M N =A x 4 x 3 B x 4 x 2 C x 2 x 2 D x 2 x 32 设复数 z 满足 z i =1，z 在复平面内对应的点为 (x，y)，则A2 2( x+1) y 1 B2 2(x 1) y 1 C2 ( 1)2 1x y D2 ( y+1)2 1x3已知0.2 0.3a log 0.2, b 2 ,c 0.2 ，则2A a b c B a c b C c a b D b c a4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 12（5 12 0.618 ， 称为黄金分割比例 )， 著名的 “断臂维纳斯”便是如此 此外 ， 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 12若某人满足上述两个黄金分割比例 ， 且腿长为 105cm ， 头顶至脖子下端的长度为 26 cm ， 则其身高可能是A165 cm B175 cm C185 cm D190cm5函数 f(x)=sincosx x2x x在 ，的 图像大致为eord 完美格式. .A BC D6 我国古代典籍 周易 用“卦”描述万物的变化 每一 “重卦 ”由从下到上排列的 6 个爻组成， 爻分为阳爻 “”和阴爻 “”，如图就是一重卦 在所有重卦中随机取一重卦 ，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是A516B1132C2132D11167 已知非零向量 a，b 满足 a = 2 b ，且（ab） b，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D5618 如图是求22112的程序框图 ， 图中空白框中应填入AA=12 ABA= 21ACA=11 2ADA=112Aeord 完美格式. .9记Sn 为等差数列an 的前 n 项和已知 S4 0，a5 5 ，则A an 2n 5 B an 3n 10 C2S 2n 8n Dn12S n 2nn210已知椭圆C 的焦点为 F1( 1,0 ) ， F2( 1,0) ，过F2 的直线与C 交于 A，B 两点 .若AF2 2F2B， AB BF1 ，则 C 的方程为A2x22 1y B2 2x y3 21C2 2x y4 31D2 2x y5 4111 关于函数 f (x) sin | x| | sin x |有下述四个结论 ：f(x)是偶函数 f(x)在区间（ , ）单调递增2f(x)在 , 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A B C D12 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球 O 的球面上 ，PA=PB= PC， ABC 是边长为 2 的正三角形 ，E，F分别是 PA，PB的中点 ，CEF=90 ，则球 O 的体积为A 8 6 B 4 6 C 2 6 D 6第 II 卷（非选择题)13曲线2 xy x x 在点 (0,0) 处的切线方程为 _3( )e14记Sn 为等比数列an的前 n 项和若12a ， a a ，则 S5=_1 4 6315 甲、 乙两队进行篮球决赛 ， 采取七场四胜制（ 当一队赢得四场胜利时，该队获胜 ，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为 “主主客客主客主 ”设甲队主场取胜的概率为 0.6， 客场取胜的概率为 0.5， 且各场比赛结果相互独立， 则甲队以41获胜的概率是 _eord 完美格式. .16 已知双曲线 C：2 2x y 2 2 1(a 0,b 0)a b的左 、 右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C的两条渐近线分别交于 A，B 两点 若F A AB ， F1B F2B 0，则 C 的离心率为1_17V ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设2 2(sin B sin C) sin A sin B sinC （1）求 A；（2）若 2a b 2c ，求 sinC18如图 ，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形 ，AA1=4 ，AB=2 ，BAD=60 ，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN 平面 C1DE；（2） 求二面角 A-MA 1-N 的正弦值 19 已知抛物线 C：y2=3 x 的焦点为 F， 斜率为32的直线 l 与 C的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+| BF|=4 ，求 l 的方程 ；（2）若 AP 3PB，求|AB|20 已知函数 f (x) sin x ln(1 x) ， f (x)为 f (x) 的导数 证明 ：eord 完美格式. .（1） f (x) 在区间 ( 1, )2存在唯一极大值点 ；（2） f (x) 有且仅有 2 个零点 21 为了治疗某种疾病 ，研制了甲 、乙两种新药 ， 希望知道哪种新药更有效 ， 为此进行动物试验 试验方案如下 ：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠 ，随机选一只施以甲药 ， 另一只施以乙药 一轮的治疗结果得出后 ，再安排下一轮试验 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时 ，就停止试验 ，并认为治愈只数多的药更有效 为了方便描述问题 ，约定 ：对于每轮试验 ，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分 ，乙药得 1分 ； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分 ； 若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分 甲、 乙两种药的治愈率分别记为 和 ， 一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求 X 的分布列 ；（2） 若甲药 、 乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i 0,1, ,8) 表示 “甲药的累计得分为 i时， 最终认为甲药比乙药更有效 ”的概率 ，则 p0 0 ， p8 1，p ap bp cp (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X 1) ，b P(X 0) ，i i 1 i i 1c P X 假设 0.5， 0.8 ( 1)(i)证明 ： pi 1 pi (i 0,1,2, ,7) 为等比数列 ；(ii)求 p4 ， 并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性 22选修 4-4 ： 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 ，曲线 C 的参数方程为221 t1 t 4tx，（ 为参数 ）， 以坐标原点 t Oy21t为极点 ，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线 l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0eord 完美格式. .（1）求 C 和 l 的直角坐标方程 ；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 4-5 ： 不等式选讲 已知 a，b，c 为正数 ， 且满足 abc=1 证明 ：（1）1 1 1a b c2 2 2a b c；（2）3 3 3(a b) (b c) (c a) 24参考答案1C【解析 】【分析 】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法 ， 渗透了数学运算素养 采取数轴法 ，利用数形结合的思想解题 【详解 】由题意得 ，M x 4 x 2 , N x 2 x 3 ，则M N x 2 x 2 故选 C【点睛 】不能领会交集的含义易致误 ， 区分交集与并集的不同 ， 交集取公共部分 ， 并集包括二者部分2C【解析 】【分析 】本题考点为复数的运算 ， 为基础题目 ， 难度偏易 此题可采用几何法 ， 根据点 （x，y）和eord 完美格式. .点(0，1)之间的距离为 1， 可选正确答案 C【详解 】z x yi, z i x ( y 1)i ,2 ( 1)2 1,z i x y 则2 ( 1)2 1x y 故选 C【点睛 】本题考查复数的几何意义和模的运算 ， 渗透了直观想象和数学运算素养 采取公式法或几何法 ， 利用方程思想解题 3B【解析 】【分析 】运用中间量 0 比较 a , c， 运用中间量 1比较 b , c【详解 】alog 0.2 log 1 0,2 2b0.2 02 2 1,0.3 00 0.2 0.2 1,则0 c 1,a c b 故选 B【点睛 】本题考查指数和对数大小的比较 ， 渗透了直观想象和数学运算素养 采取中间变量法 ，利用转化与化归思想解题 4B【解析 】【分析 】理解黄金分割比例的含义 ， 应用比例式列方程求解 【详解 】设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm ，肚脐至腿根的长为 y cm ，则eord 完美格式. .26 26 x 5 1x y 105 2，得 x 42.07 cm, y 5.15cm 又其腿长为 105cm ， 头顶至脖子下端的长度为 26cm ， 所以其身高约为 4207+5 15+105+26=178 22，接近175cm 故选 B【点睛 】本题考查类比归纳与合情推理 ，渗透了逻辑推理和数学运算素养 采取类比法 ， 利用转化思想解题 5D【解析 】【分析 】先判断函数的奇偶性 ，得 f (x) 是奇函数 ，排除 A， 再注意到选项的区别 ， 利用特殊值得正确答案 【详解 】sin( x) ( x) sin x x由 2 2f ( x) f (x)cos( x) ( x) cos x x，得 f ( x) 是奇函数 ， 其图象关于原点对称 又f1 2 4 2( ) 1,22 ( )22f ( ) 0 故选 D21【点睛 】本题考查函数的性质与图象 ， 渗透了逻辑推理 、 直观想象和数学运算素养 采取性质法或赋值法 ， 利用数形结合思想解题 6A【解析 】【分析 】eord 完美格式. .本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题 ， 渗透了传统文化 、 数学计算等数学素养 ，“重卦 ”中每一爻有两种情况 ， 基本事件计算是住店问题 ， 该重卦恰有 3 个阳爻是相同元素的排列问题 ， 利用直接法即可计算 【详解 】由题知 ， 每一爻有 2 中情况 ， 一重卦的 6 爻有 26 情况 ，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有3C ， 所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为63C662=516，故选 A【点睛 】对利用排列组合计算古典概型问题 ， 首先要分析元素是否可重复 ， 其次要分析是排列问题还是组合问题 本题是重复元素的排列问题 ， 所以基本事件的计算是 “住店 ”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7B【解析 】【分析 】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度 、 夹角与垂直问题 ， 渗透了转化与化归 、数学计算等数学素养 先由 (a b) b 得出向量 a,b 的数量积与其模的关系 ， 再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角 【详解 】因为 (a b) b ，所以2(a b) b a b b =0 ，所以 a b b2 ，所以cos =2a b | b | 12a b 2 |b | 2，所以 a 与b的夹角为，故选 B3【点睛 】对向量夹角的计算 ，先计算出向量的数量积及各个向量的摸 ， 在利用向量夹角公式求出夹eord 完美格式. .角的余弦值 ， 再求出夹角 ， 注意向量夹角范围为 0, 8A【解析 】【分析 】本题主要考查算法中的程序框图 ， 渗透阅读 、 分析与解决问题等素养 ， 认真分析式子结构特征与程序框图结构 ， 即可找出作出选择 【详解 】1A ,k 1 2 是 ， 因为第一次应该计算221121=12 A ， k k 1=2 ，循执行第 1 次，环， 执行第 2 次， k 2 2， 是 ，因为第二次应该计算22112=12 A，1k k 1=3 ， 循环 ，执行第 3 次，k 2 2，否，输出 ，故循环体为A，故选2 AA【点睛 】1 秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点 ， 可知循环体为 A2 A9A【解析 】【分析 】等差数列通项公式与前 n 项和公式 本题还可用排除 ，对 B，a5 5 ，4( 7 2)S 10 0 ，排除 B，对 C，422S4 0, a5 S5 S4 2 5 8 5 0 10 5 ，排除 C对 D，1 52S 0,a S S 5 2 5 0 5 ，排除 D，故选 A4 5 5 42 2【详解 】eord 完美格式. .由题知 ，dS 4a 4 3 04 12a a 4d 55 1，解得a1 3d 2，an 2n 5，故选 A【点睛 】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式 ， 渗透方程思想与数学计算等素养 利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程 ， 解出首项与公差 ，在适当计算即可做了判断 10B【解析 】【分析 】由已知可设 F2 B n ，则 AF2 2n , BF1 AB 3n，得 AF1 2n ，在AF1B 中求1cosF AB ，再在 AF1F2 中 ， 由余弦定理得 3得 1 n ， 从而可求解 .3 2【详解 】法一 ：如图 ，由已知可设 F2B n，则 AF2 2n, BF1 AB 3n ，由椭圆的定义有2a BF BF 4n, AF 2a AF 2n在AF1B 中 ， 由余弦定理推论得1 2 1 2cosF AB12 2 24n 9n 9n 12 2n 3n 3在AF1F2 中 ， 由余弦定理得2 2 14n 4n 2 2n 2n 4 ，解得33n 22 2 22a 4n 2 3 , a 3 , b a c 3 1 2 , 所求椭圆方程为2 2x y3 21，故选 B法二 ：由已知可设 F2B n，则 AF2 2n , BF1 AB 3n， 由椭圆的定义有2a BF BF 4n, AF 2a AF 2n在AF1F2 和BF1F2 中 ，由余弦定理1 2 1 2eord 完美格式. .得2 24n 4 2 2n 2 cos AF F 4n ,2 12 2n 4 2 n 2 cos BF F 9n2 1，又 AF2F1 , BF2F1 互补 ，cos AF F cos BF F 0 ，两式消去 cos AF2 F1 , cos BF2F1，得2 1 2 12 23n 6 11n ，解得3n 22 2 22a 4n 2 3 , a 3 , b a c 3 1 2 , 所求椭圆方程为2 2x y3 21，故选 B【点睛 】本题考查椭圆标准方程及其简单性质 ， 考查数形结合思想 、 转化与化归的能力 ，很好的落实了直观想象 、逻辑推理等数学素养 11C【解析 】【分析 】化简函数 f x sin x sin x ， 研究它的性质从而得出正确答案 【详解 】f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数 ，故正确 当2x 时， f x 2sin x，它在区间 , 2单调递减 ，故错误 当 0 x时， f x 2sin x， 它有两个零点 ： 0 ；当 x 0时，eord 完美格式. .f x sin x sin x 2sin x， 它有一个零点 ： ，故 f x 在 , 有3个零点： 0 ，故错误 当 x 2k , 2k k N 时， f x 2sin x；当x k k k N 时， f x sin x sin x 0，又 f x 为偶函数 ，2 , 2 2f x 的最大值为 2， 故正确 综上所述 ， 正确 ，故选 C【点睛 】画出函数 f x sin x sin x 的图象 ， 由图象可得 正确 ，故选 C12D【解析 】【分析 】先证得 PB 平面 PAC， 再求得 PA PB PC 2 ， 从而得 P ABC 为正方体一部分 ， 进而知正方体的体对角线即为球直径 ， 从而得解 .【详解 】解法一 : PA PB PC, ABC 为边长为 2 的等边三角形 ， P ABC 为正三棱锥 ，PB AC ，又 E ， F 分别为 PA、 AB 中点，EF PB， EF AC ，又 EF CE ，CE AC C, EF 平面 PAC ，/ /PB 平面 PAC ， PAB PA PB PC 2 ， P ABC 为正方体一部分， 2R 2 2 2 6 ，即6 4 4 6 63R , V R 6 ，故选 D2 3 3 8eord 完美格式. .解法二 :设 PA PB PC 2x， E,F 分别为 PA, AB 中点，EF / /PB，且1EF PB x ， ABC 为边长为 2 的等边三角形 ，2CF 又 CEF 9032 1CE 3 x , AE PA x2AEC中余弦定理cos EAC2 4 3 2x x2 2 x，作 PD AC 于 D ， PA PC ，Q D 为 AC 中点 ，cosEACAD 1PA 2x，2 4 3 2 1x x4x 2x，2 2 1 22 1 2x x x ， PA PB PC 2 ，又 AB=BC =AC=2 ，2 2PA , PB , PC 两两垂直 ， 2R 2 2 2 6 ， 6R ， 24 4 6 63V R 6 ，故选 D.3 3 8eord 完美格式. .【点睛 】本题考查学生空间想象能力 ， 补体法解决外接球问题 可通过线面垂直定理 ， 得到三棱两两互相垂直关系 ， 快速得到侧棱长 ， 进而补体成正方体解决 133x y 0 .【解析 】【分析 】本题根据导数的几何意义 ， 通过求导数 ，确定得到切线的斜率 ， 利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解 】详解：/ 3(2 1) x 3( 2 ) x 3( 2 3 1) x ,y x e x x e x x e所以，/k y|x 30所以 ，曲线2 xy x x 在点 (0,0) 处的切线方程为 y 3x ，即3x y 0 3( )e【点睛 】准确求导数是进一步计算的基础 ， 本题易因为导数的运算法则掌握不熟 ， 二导致计算错误 求导要 “慢 ”，计算要准 ， 是解答此类问题的基本要求 141213.【解析 】【分析 】本题根据已知条件 ，列出关于等比数列公比 q的方程 ， 应用等比数列的求和公式 ， 计算得到 S5 题目的难度不大 ， 注重了基础知识 、基本计算能力的考查 【详解 】设等比数列的公比为 q， 由已知12a ,a a ，所以1 4 631 13 2 5( ) , 3 3q q 又q 0，eord 完美格式. .所以 q 3,所以S5155(1 3 )a q(1 ) 3 12111 q 1 3 3【点睛 】准确计算 ， 是解答此类问题的基本要求 本题由于涉及幂的乘方运算 、 繁分式分式计算， 部分考生易出现运算错误 150.216.【解析 】【分析 】本题应注意分情况讨论 ， 即前五场甲队获胜的两种情况 ， 应用独立事件的概率的计算公式求解 题目有一定的难度 ， 注重了基础知识 、基本计算能力及分类讨论思想的考查 【详解 】前四场中有一场客场输 ， 第五场赢时 ， 甲队以 4:1 获胜的概率是30.6 0.5 0.5 2 0.108,前四场中有一场主场输 ， 第五场赢时 ， 甲队以 4:1 获胜的概率是2 20.4 0.6 0.5 2 0.072,综上所述 ，甲队以 4:1 获胜的概率是 q 0.108 0.072 0.18.【点睛 】由于本题题干较长 ，所以 ， 易错点之一就是能否静心读题 ，正确理解题意 ； 易错点之二是思维的全面性是否具备 ， 要考虑甲队以 4:1 获胜的两种情况 ； 易错点之三是是否能够准确计算162.【解析 】eord 完美格式. .【分析 】通过向量关系得到 F1 A AB 和OA F1A ，得到 AOB AOF1 ， 结合双曲线的渐近线可得 BOF2 AOF1,0BOF2 AOF1 BOA 60 ,从而由ba0tan 60 3可求离心率 .【详解 】如图，由 F1 A AB,得 F1 A AB.又OF1 OF2 ,得 OA 是三角形 F1F2B 的中位线 ，即BF2 / / OA, BF2 2OA.由F1B F2B 0，得 F1B F2 B,OA F1 A, 则OB OF1 有AOB AOF ，1又 OA 与 OB 都是渐近线 ，得 BOF2 AOF1, 又 BOF2 AOB AOF1 ，得0BOF2 AOF1 BOA 60 ,又渐近线 OB 的斜率为ba0tan 60 3，所以该双曲线的离心率为ec b2 2 1 ( ) 1 ( 3) 2a a【点睛 】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率 ， 渗透了逻辑推理 、 直观想象和数学运算素养 采取几何法 ，利用数形结合思想解题 17（1）A ；（ 2）3sin6 2C .4【解析 】eord 完美格式. .【分析 】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得 ：2 2 2b c a bc ， 从而可整理出 cosA，根据 A 0, 可求得结果 ；（2） 利用正弦定理可得 2 sin A sin B 2sin C ，利用sin B sin A C 、两角和差正弦公式可得关于 sin C 和cosC 的方程 ， 结合同角三角函数关系解方程可求得结果 .【详解 】（1）2 2 2 2sin B sin C sin B 2sin B sin C sin C sin A sin B sinC即：2 2 2sin B sin C sin A sin B sin C由正弦定理可得 ：2 2 2b c a bccos A2 2 2 1b c a2bc 2A 0, A=3（2） 2a b 2c ， 由正弦定理得 ： 2 sin A sin B 2sin C又 sin B sin A C sin A cosC cosAsin C ， A33 3 12 cosC sin C 2sin C2 2 2整理可得 ：3sinC 6 3cosC2 2sin C cos C 1223si nC 6 3 1 siCn解得：sin6 2C 或46 24因为6sin B 2sin C 2 sin A 2sin C 0所以2sin6C ，故4sin6 2C .4（2）法二 ： 2a b 2c ， 由正弦定理得 ： 2 sin A sin B 2sin C又 sin B sin A C sin A cosC cosAsin C ， A3eord 完美格式. .3 3 12 cosC sin C 2sin C2 2 2整理可得 ：3sinC 6 3cosC ，即3sin 3 cos 2 3 sin 6C C C 6sin C26 2由2C (0, ),C ( , ) ，所以 C ,C 3 6 6 2 6 4 4 66 2sin C sin( ) .4 6 4【点睛 】本题考查利用正弦定理 、 余弦定理解三角形的问题 ， 涉及到两角和差正弦公式 、同角三角函数关系的应用 ， 解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简 ， 得到余弦定理的形式或角之间的关系 .18（1） 见解析 ；（2）105.【解析 】【分析 】（1） 利用三角形中位线和 A1D/ /B1C可证得 ME/ /ND， 证得四边形 MNDE 为平行四边形， 进而证得 MN / /DE ，根据线面平行判定定理可证得结论 ；（ 2）以菱形 ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系 ， 通过取 AB中点 F ， 可证得 DF 平面 AMA1 ，得uuru ； 再通过向量法求得平面 MA1N 的法向量 n ， 利用向量夹角公到平面 AMA1 的法向量 DF式求得两个法向量夹角的余弦值 ， 进而可求得所求二面角的正弦值 .【详解 】（1）连接 ME ， B1Ceord 完美格式. .M ， E分别为 BB1 ， BC 中点 ME为B BC 的中位线1ME/ /BC且11ME B C12又 N 为 A1D 中点 ，且 A1D/ /B1C ND/ /B1C且1ND B C12ME/ /ND 四边形 MNDE 为平行四边形MN / /DE ，又 MN 平面 C1DE ， DE 平面 C1DEMN / / 平面 C1DE（2）设 AC BD O， A1C1 B1D1 O1由直四棱柱性质可知 ：OO1 平面 ABCD四边形 ABCD为菱形 ACBD则以 O为原点 ，可建立如下图所示的空间直角坐标系 ：则： A 3,0,0 ，M 0,1,2 ，A1 3,0, 4 ，D（0，-1,0 ）N3 1, ,22 2 3 1取 AB 中点 F ，连接 DF ，则 F , ,0 2 2eord 完美格式. .四边形 ABCD为菱形且 BAD 60 BAD为等边三角形 DF AB又 AA1 平面 ABCD， DF 平面 ABCD DF AA1DF 平面 ABB1A1 ，即 DF 平面 AMA1DF 为平面 AMA1 的一个法向量 ，且DF3 3, ,02 2设平面 MA1N 的法向量 n x, y,z ，又MA1 3, 1,2 ， MN3 3, ,02 2n MA1 3x y 2z 03 3n MN x y2 20，令 x 3 ，则 y 1 ， z 1 n 3 , 1, 1cos DF, nDF nDF n3 1515 5sin DF ,n105二面角 A MA1 N 的正弦值为 ： 105【点睛 】本题考查线面平行关系的证明 、空间向量法求解二面角的问题 .求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系 ， 从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值， 属于常规题型 .19（1）12 x 8 y 7 0 ；（ 2） 4 133.【解析 】【分析 】（1） 设直线 l ：3y = x m2， A x1, y1 ， B x2 ,y2 ；根据抛物线焦半径公式可得x + x ； 联立直线方程与抛物线方程 ， 利用韦达定理可构造关于 m 的方程 ， 解方程求1 2 1得结果 ；（2） 设直线 l ：2x y t ； 联立直线方程与抛物线方程 ， 得到韦达定理的形3式； 利用 AP 3PB 可得 y1 3y2 ， 结合韦达定理可求得 y1 y2 ； 根据弦长公式可求得结eord 完美格式. .果.【详解 】（1） 设直线 l 方程为 ：3y = x m 2， A x1,y1 ， B x2, y23由抛物线焦半径公式可知 ： 1 2AF BF x x 4 x1 x2252联立3y x m 22y 3x得：2 29x 12m 12 x 4m 0则2 212m 12 144m 0m1212 m 12 5x x ，解得：1 29 2m78直线 l 的方程为 ：3 7y x ，即：12 x 8 y 7 02 8（2）设 P t,0 ， 则可设直线 l 方程为 ：2x y t 3联立2x y t 32y 3x得：2 2 3 0y y t则 4 12t 0t13y1 y2 2， y1y2 3tAP PB y1 3y2 y2 1，3y y1y2 31 3则4 13 4 132AB 1 y y 4y y 4 121 2 1 29 3 3【点睛 】本题考查抛物线的几何性质 、 直线与抛物线的综合应用问题 ， 涉及到平面向量 、弦长公式的应用 .关键是能够通过直线与抛物线方程的联立 ， 通过韦达定理构造等量关系 .20（1） 见解析 ；（2） 见解析【解析 】【分析 】eord 完美格式. .（1） 求得导函数后 ， 可判断出导函数在 1,2上单调递减 ，根据零点存在定理可判断出x0 0, ，使得 g x0 0， 进而得到导函数在 1,22上的单调性 ， 从而可证得结骣p论；（ 2）由 （1） 的结论可知 x 0为 f x 在 1,0 上的唯一零点 ；当 0,? x西?桫 时，首2先可判断出在 ( )0,x 上无零点 ， 再利用零点存在定理得到 f x 在 x0, 上的单调性 ，02可知 f x 0， 不存在零点 ；当 x , 时 ， 利用零点存在定理和 f x 单调性可判断2出存在唯一一个零点 ；当 x , ， 可证得 f x 0； 综合上述情况可证得结论 .【详解 】（1） 由题意知 ： f x 定义域为 ： 1, 且f x cos xx111g x cos x ， x 1, 令x 121g x sin x， x 1, 2x 12112在 1,2上单调递减 ，1 1 1a an 1 n7,在 1,2上单调递减xg x 在 1,2上单调递减又 g 0 sin0 1 1 0 ，g4 4sin 1 02 22 2 2 2x0 0, ，使得 g x0 0 2当 x 1, x0 时， g x 0 ； x x0 , 时， g x 02即 g x 在1,x 上单调递增 ；在 x0, 上单调递减02eord 完美格式. .则 x x0 为 g x 唯一的极大值点即： f x 在区间 1,2上存在唯一的极大值点 x0 .1f x cos x ， x 1,（2）由（1）知：x 1当 x 1,0 时， 由（1）可知 f x 在 1,0 上单调递增f x f 0 0 f x 在 1,0 上单调递减又 f 0 0x 为 f x 在 1,0 上的唯一零点0x 时， f x 在( )当 0, 0,x 上单调递增 ，在 x0, 上单调递减